2024-2025学年吉林省吉林市九年级（上）期中数学试卷

这是一份2024-2025学年吉林省吉林市九年级（上）期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）一元二次方程x（x+2）＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝2
C．x1＝2，x2＝0D．x1＝﹣2，x2＝0
2．（2分）下列四种化学仪器的示意图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2分）抛物线y＝（x+2）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）
4．（2分）若关于x的一元二次方程x2+4x+a＝0有两个相等实数根，则a的值是（ ）
A．4B．﹣4C．﹣2D．2
5．（2分）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠1＝150°，则∠BCD的度数为（ ）
A．75°B．105°C．50°D．115°
6．（2分）如图，在△AOB中，AO＝2，BO＝AB＝3．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A'OB'，连接AA'．则线段BB'的长为（ ）
A．2B．22C．3D．32
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）若一元二次方程x2+x+6m＝0的一个解是x＝3，则1﹣1012m的值为 ．
8．（3分）如图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，该同学投掷铅球最好成绩的点为 （填C，D，E，F中的一个字母）．
9．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝30°，则∠BAO的度数为 °．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，与抛物线交于点D，若OA＝2，AB＝4，则线段CD的长为 ．
11．（3分）用一根细铁丝可以折成边长为10cm的等边三角形，也可以折成面积为50cm2的长方形．设所折成的长方形的一边长为x cm，可列方程为 ．
12．（3分）如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为（1，90°），（2，240°），则点C的位置可以表示为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，适当的长度为半径画弧分别交AB，BC边于点P，Q，再分别以点P，Q为圆心，以大于12PQ为半径画弧，两弧交于点M，连接BM交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D，若AB＝6，AE＝3，则△ADE的周长为 ．
14．（3分）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416，如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为332，若用圆内接正八边形近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）解方程：x2﹣4x+3＝2．
16．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△DEC，若AC＝4，CE＝7．求BD的长．
17．（5分）目前，以5G为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2021年底有5G用户数2万户，2023年全市5G用户数达到9.68万户．求该市5G用户数年平均增长率．
18．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣2≤x≤5时，求函数y的取值范围．
晨晨同学的解答如下：
解：当x＝﹣2时，则y＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣3＝5；
当x＝5时，则y＝52﹣2×5﹣3＝12；
所以函数y的取值范围为5≤y≤12．
你认为晨晨的解答过程是否正确，请说明你的理由．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）图 ①、图 ②、图 ③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上，点G是图 ③中边AC上的任意一点：只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
（1）在图①中作边BC上的高AD；
（2）在图②中作△ABC的中位线EF，使点E、F分别在边AC、AB上；
（3）在图③中△ABC的边AB上找到一点H，使AH＝AG．
20．（7分）如图，等边三角形ABC内一点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE，DE．
（1）请判断△ADE的形状 ，并写出判断的依据 ；
（2）若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．
21．（7分）《念奴娇•赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．）
22．（7分）如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在AB的延长线上，PC与半圆相切于点C，与OF的延长线相交于点D，AC与OF相交于点E，DC＝DE．
（1）求证：OD⊥AB．
（2）若半圆O的半径为8，且OA＝2OE，求DF的长．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）某文具店购进了一种品牌笔袋，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（单位：件）与每件售价x（单位：元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件品牌笔袋售价为9元时，每天的销售量为105件：当每件品牌笔袋售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该文具店销售这种品牌笔袋每天获得425元的利润，求每件品牌笔袋的售价．
（3）设该文具店销售这种品牌笔袋每天获利w元，求当每件品牌笔袋的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
24．（8分）综合与实践
【情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在△ABC中，点M，N分别为AB，AC上的动点（不含端点），且AN＝BM．
【尝试】（1）如图①，当△ABC为等边三角形时，欢欢发现：将MA绕点M逆时针旋转120°得到MD，连接BD，则MN＝DB，请思考并证明．
【探究】（2）欣欣尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE⊥MN于点E，交BC于点F，将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，连接DA，DB．试猜想四边形AFBD的形状，并说明理由．
【拓展】（3）彬彬在（2）的条件下继续探究：当MN∥BC时，且点E为AF的中点，直接写出四边形AFBD的形状．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12cm，点E，F分别为AB，AC的中点，动点P，Q同时从点A出发，均以2cm/s速度，分别沿线段AB和线段AC的方向匀速运动，当点P运动到点B停止运动时，点Q也随之停止运动，连接PQ，以PQ为边向下作正方形PQGH，设点P运动的时间为x s，正方形PQGH和四边形BEFC重合部分图形的面积为y cm2．
（1）直接写出PQ的长（用含x的代数式表示）．
（2）当HG落在EF上时，求x的值．
（3）当y＞0时，求y与x之间函数关系，并写出x的取值范围．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝2x2+bx+c经过点A（﹣1，2），B（0，﹣4），点C，D，E，F在抛物线上，其横坐标分别为m，m+1，m+2，m+3（m≥﹣1），连接AC，AD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点E与抛物线顶点重合时，求点F的坐标；
（3）当∠CAD的边与y轴垂直时，求点E与点F的纵坐标；
（4）设y1＝yD﹣yC，y2＝yE﹣yD，y3＝yF﹣yE，探索y1，y2，y3之间的关系，请直接写出结论．
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选择题、填空题答案速查
选择题、填空题解法提示
6.解：∵将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，
∴BO＝B'O＝3，∠BOB'＝90°，
∴BB′=BO2+B′O2=9+9=32．
故选：D．
14．解：如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接OA，OB，过点A作AM⊥OB于点M，
∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴∠AOB=360°8=45°，
在Rt△AOM中，OA＝1，∠AOM＝45°，
∴AM=22OA=22，
∴正八边形的面积为8S△AOB＝8×12×1×22=22，
即可估计π的近似值为22，
故答案为：22．
解答题参考答案
15．解：x2﹣4x+3＝2，
方程整理得：x2﹣4x＝﹣1，
配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3，
开方得：x﹣2＝±3，
解得：x1＝2−3，x2＝2+3．
16．解：∵将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△DEC，
∴∠ACD＝90°，DC＝AC＝4，CE＝CB＝7，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠ACB，
∴点D在BC上，
∴BD＝CB﹣DC＝7﹣4＝3，
∴BD的长为3．
17．解：设该市5G用户数年平均增长率为x，
依题意得：2（1+x）2＝9.68，
解得：x1＝1.2＝120%，x2＝﹣3.2（不合题意，舍去）．
答：这该市5G用户数年平均增长率为120%．
18．解：晨晨的解答过程不正确，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，函数顶点坐标是（1，﹣4），
∴当x＝1时，函数有最小值为﹣4，
∴当﹣2≤x≤5时，函数y的取值范围为﹣4≤y≤12．
解答题参考答案
19．解：（1）如图①中，线段AD即为所求；
（2）如图②中，线段EF即为所求；
（3）如图③中，点H即为所求．
20．解：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）；
故答案为：等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，∠CAB＝60°，
∴∠CAB＝∠DAE＝60°，
∴∠CAD＝∠BAE，
在△ACD和△ABE中，
AC=AB∠CAD=∠BAEAD=AE，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴∠ADC＝∠AEB＝105°，
∵∠AED＝60°，
∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝45°．
21．解：设周瑜去世的年龄十位数字为x，则个位数字为x+3，
则根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”得，
10x+（x+3）＝（x+3）2，
解得x1＝2，x2＝3，
由题意，而立之年督东吴，则x＝2舍去，
∴周瑜去世的年龄为36岁，
22．（1）证明：连接OC，则OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵DC＝DE，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴∠OEA＝∠DEC＝∠DCE，
∵PC与⊙相切于点C，与OF的延长线相交于点D，
∴PC⊥OC，
∴∠BOD＝∠OEA+∠OAC＝∠DCE+∠OCA＝∠OCD＝90°，
∴OD⊥AB．
（2）解：∵⊙O的半径为8，
∴OA＝OF＝OC＝8，
∵OA＝2OE＝8，
∴OE＝4，
∴FE＝OF﹣OE＝8﹣4＝4，
∴DC＝DE＝DF+4，
∵OC2+DC2＝OD2，且OD＝DF+8，
∴82+（DF+4）2＝（DF+8）2，
解得DF＝2，
∴DF的长是2．
解答题参考答案
23．解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx+b，
由题意可知9k+b=10511k+b=95，
解得k=−5b=150，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150；
（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝425，
解得：x1＝13，x2＝25（舍去），
∴若该商店销售品牌笔袋每天获得425元的利润，则每件品牌笔袋的售价为13元；
（3）w＝y（x﹣8），
＝（﹣5x+150）（x﹣8），
w＝﹣5x2+190x﹣1200，
＝﹣5（x﹣19）2+605，
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x＜19时，w随x的增大而增大，
∴当x＝15时，w有最大值，最大值为525．
答：每件品牌笔袋的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
24．（1）证明：当△ABC为等边三角形时，将MA绕点M逆时针旋转120°得到MD，
∴∠A＝60°，AM＝MD，∠AMD＝120°，
∴∠DMB＝180°﹣∠AMD＝60°＝∠A，
在△AMN和△MDB中，
AN=MB∠A=∠DMBAM=MD，
∴△AMN≌△MDB（SAS），
∴MN＝DB；
（2）解：四边形AFBD为平行四边形；理由如下：
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE⊥MN于点E，交BC于点F，将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，
∴∠ABC=∠ACB=12×90°=45°，AM＝MD，∠AMD＝90°，
∴∠MAD=∠MDA=12(180°−∠AMD)=45°，∠BMD＝180°﹣∠AMD＝90°＝∠BAC，
∴∠MAD＝∠ABC＝45°，
∴AD∥BF，
在△AMN和△MDB中，
AN=MB∠BAC=∠DMB=90°AM=MD，
∴△AMN≌△MDB（SAS），
∴∠ANM＝∠MBD，
∵AE⊥MN，
∴∠ANM+∠NAE＝∠NAE+∠BAF＝90°，
∴∠ANM＝∠BAF，
∴∠MBD＝∠BAF，
∴BD∥AF，
又∵AD∥BF，
∴四边形AFBD为平行四边形；
（3）解：四边形AFBD的形状为正方形；理由如下：
当MN∥BC时，且点E为AF的中点，如图②，
∴∠AMN＝∠ABC＝45°，∠ANM＝∠ACB＝45°，
∴∠AMN＝∠ANM＝45°，
∴AM＝AN，
由（2）可知，△AMN≌△MDB，
∴AN＝MB，MN＝DB，
∴AM＝BM，
又∵MN∥BC，
∴MN为△ABC的中位线，
∴DB=MN=12BC，
∵AE⊥MN，
∴∠MAE＝∠NAE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAD＝∠MAE+∠MAD＝90°，
由∵AB＝AC，
∴BF=CF=12BC，
∴BF＝BD，
∵四边形AFBD为平行四边形，
∴四边形AFBD的形状为正方形．
解答题参考答案
25．解：（1）由题意得：AP＝AQ＝2x cm，
∵∠BAC＝90°，
∴△APQ等腰直角三角形，
∴PQ＝22x cm；
（2）如图1，HG在EF上，
∵AB＝AC＝12cm，点E，F分别为AB，AC的中点，
∴AE＝AF＝6cm，
∵∠A＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AEF＝45°，
∵四边形PQGH是正方形，
∴PQ＝PH＝22x cm，∠PHG＝90°，
∴∠PHE＝90°，
∴△PHE是等腰直角三角形，
∴EP=2PH＝4x cm，
∴4x+2x＝6，
∴x＝1；
（3）∵y＞0，
∴1＜x＜6，
如图2，HG落在BC上，
同理得：2x+4x＝12，
∴x＝2；
分三种情况：
①当1＜x≤2时，如图3，正方形PQGH和四边形BEFC重合部分的图形是矩形MNGH，
∵AP＝2x cm，AE＝6cm，
∴PE＝（6﹣2x）cm，
∵△PEM是等腰直角三角形，
∴PM＝EM=6−2x2=（32−2x）cm，
∴HM＝PH﹣PM＝22x﹣（32−2x）＝32（x﹣1）cm，
∴y＝GH•HM＝22x•32（x﹣1）＝12x2﹣12x；
②当2＜x≤3时，如图4，正方形PQGH和四边形BEFC重合部分的图形是四边形MNSL，
过点E作EK⊥BC于K，
∴∠BKE＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△BEK是等腰直角三角形，
∵BE＝6cm，
∴EK＝BK＝32cm，
∵点E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∵四边形PQGH是正方形，
∴PQ∥GH，
∵∠APQ＝∠B＝45°，
∴PQ∥BC∥EF∥GH，
∴∠LMN＝∠HPQ＝90°，
同理得：∠MNG＝∠NSL＝90°，
∴四边形MNSL是矩形，
∴y＝ML•MN＝PQ•EK＝22x⋅32=12x；
③当3＜x＜6时，如图5，正方形PQGH和四边形BEFC重合部分的图形是矩形PQNM，
∵AP＝2x cm，AB＝12cm，
∴PB＝（12﹣2x）cm，
∴PM=12−2x2=2（6﹣x）cm，
∴y＝PQ•PM＝22x•2（6﹣x）＝﹣4x2+24x；
综上，y与x之间函数关系式为：y=12x2−12x(1＜x≤2)12x(2＜x≤3)−4x2+24x(3＜x＜6)．
26．解：（1）把A（﹣1，2），B（0，﹣4）代入y＝2x2+bx+c得：
2−b+c=2c=−4，
解得b=−4c=−4，
∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣4x﹣4；
（2）∵y＝2x2﹣4x﹣4＝2（x﹣1）2﹣6，
∴抛物线y＝2x2﹣4x﹣4的顶点为（1，﹣6），对称轴为直线x＝1，
∵点E与抛物线顶点重合，E，F在抛物线上，横坐标分别为m+2，m+3（m≥﹣1），
∴m+2＝1，
∴m+3＝2，
在y＝2x2﹣4x﹣4中，令x＝2得：y＝2×22﹣4×2﹣4＝﹣4，
∴F（2，﹣4）；
（3）当AD⊥y轴时，如图：
∴A，D关于抛物线的对称轴对称，
∵A（﹣1，2），抛物线y＝2x2﹣4x﹣4的对称轴为直线x＝1，
∴D（3，2）；
∵D在抛物线上，横坐标分别为m+1，
∴m+1＝3，
∴m+2＝4，m+3＝5，
在y＝2x2﹣4x﹣4中，令x＝4得y＝2×42﹣4×4﹣4＝12，
∴E（4，12），
在y＝2x2﹣4x﹣4中，令x＝5得y＝2×52﹣4×5﹣4＝26，
∴F（5，26）；
当AC⊥y轴时，如图：
同理可得C（3，2），
∴m＝3，
∴m+2＝5，m+3＝6，
在y＝2x2﹣4x﹣4中，令x＝5得y＝2×52﹣4×5﹣4＝26，
∴E（5，26）；
在y＝2x2﹣4x﹣4中，令x＝6得y＝2×62﹣4×6﹣4＝44，
∴F（6，44）；
综上所述，当∠CAD的边与y轴垂直时，E的纵坐标为12，F的纵坐标为26或E的纵坐标为26，F的纵坐标为44；
（4）y1+y3＝2y2，理由如下：
∵点C，D，E，F在抛物线上，其横坐标分别为m，m+1，m+2，m+3，
∴yC＝2m2﹣4m﹣4，yD＝2（m+1）2﹣4（m+1）﹣4＝2m2﹣6，yE＝2（m+2）2﹣4（m+2）﹣4＝2m2+4m﹣4，yF＝2（m+3）2﹣4（m+3）﹣4＝2m2+8m+2，
∵y1＝yD﹣yC，y2＝yE﹣yD，y3＝yF﹣yE，
∴y1＝yD﹣yC＝2m2﹣6﹣2m2+4m+4＝4m﹣2，
y2＝yE﹣yD＝2m2+4m﹣4﹣2m2+6＝4m+2，
y3＝yF﹣yE＝2m2+8m+2﹣2m2﹣4m+4＝4m+6，
∴y1+y3＝4m﹣2+4m+6＝8m+4＝2y2．题号
1
2
3
4
5
6
答案
D
C
B
A
B
D
7.2025 8.F 9. 60 10. 8 11. x（15﹣x）＝50 12.（3，30°） 13. 9 14. 22