2024-2025学年湖北省武汉市江汉区九年级（上）期中数学试卷

这是一份2024-2025学年湖北省武汉市江汉区九年级（上）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在一元二次方程2x2+x﹣1＝0中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，1，﹣1B．2，﹣1，1C．2，1，1D．2，﹣1，﹣1
2．（3分）下列APP图标中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
4．（3分）关于抛物线y＝﹣2（x+5）2﹣4，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣5
C．函数有最小值﹣4
D．可由抛物线y＝﹣2x2向右平移5个单位再向下平移4个单位而得
5．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，连OA，OB，若∠BOA﹣∠C＝35°，则∠OAB的度数是（ ）
A．70°B．65°C．55°D．50°
6．（3分）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转，点A的对应点为D，点B的对应点为E，若B恰好是线段CD与AE的交点，且∠DCE＝34°，则∠A的度数是（ ）
A．34°B．39°C．42°D．45°
7．（3分）在平面直角坐标系中，点P坐标（3，﹣4），以P为圆心，4个单位长度为半径作圆，下列说法正确的是（ ）
A．原点O在⊙P内
B．原点O在⊙P上
C．⊙P与x轴相切，与y轴相交
D．⊙P与y轴相切，与x轴相交
8．（3分）已知抛物线y＝x2﹣x+c上有三个点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），若﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，1＜x3＜2，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1
9．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝90°，⊙O的直径为10，四边形ABCD的周长为y，BD的长为x，则y关于x的函数关系式是（ ）
A．y=2x2+102B．y=2x+102
C．y=22x2+102D．y=22x+102
10．（3分）在平面直角坐标系中，将函数y＝x2﹣2x+t的图象记为C1，将C1绕原点旋转180°得到图象C2，把C1和C2合起来的图形记为图形C．则当﹣1≤t≤1时，直线y＝x+1与图形C的交点的个数是（ ）
A．2B．4C．2或3D．3或4
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置。
11．（3分）点A（2，﹣1）关于原点对称的点B的坐标为 ．
12．（3分）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟了一条航线，一共开辟了6条航线，这个航空公司共有 个飞机场．
13．（3分）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+1﹣k＝0的两个实数根互为相反数，则k的值是 ．
14．（3分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，则直径AB长为 寸．
15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过点（m，0），m＞0，且4a﹣2b+c＝0，则下列四个结论：①c＞0；②b﹣3a＞0；③若方程ax2+bx+c＝b有两个不相等的实数根x1，x2（且x1＜x2），则x2＜m；④若0＜m＜2，抛物线过点（0，1），且s＝a+b+c，则s＜34．其中正确的结论是 （填序号）．
16．（3分）如图，已知△ABC，△DEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEF＝90°，A为DF的中点，BF的延长线交线段EC于点G，连接GD．若GD＝10，GE＝4，则GF＝ ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）解方程：x2﹣x﹣5＝0．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D从点C开始沿边CA运动，速度为1cm/s．与此同时，点E从点B开始沿边BC运动，速度为2cm/s．当点E到达点C时，点D，E同时停止运动．连接AE，DE，设运动时间为t s，△ADE的面积为S cm2．
（1）用含t的代数式表示：CD＝ cm，CE＝ cm；
（2）当CD为何值时S=58S△ABC？
19．（8分）二次函数y＝ax2+bx﹣3中的x，y的部分取值如下表：
根据表中数据填空：
（1）该函数图象的对称轴是 ；
（2）该函数图象与x轴的交点的坐标是 ；
（3）当0＜x＜3时，y的取值范围是 ；
（4）不等式ax2+bx﹣3＞x﹣3的解集是 ．
20．（8分）如图，已知直线MA交⊙O于A，B两点，BD为⊙O的直径，E为⊙O上一点，BE平分∠DBM，过点E作EF⊥AB于点F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若已知⊙O的半径为5，且EF﹣BF＝2，求AB的长．
21．（8分）如图是由小正方形组成的5×5的网格，小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E五个点均为格点，F是线段CD与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个画图任务的画线不得超过三条．
（1）在图（1）中，若点A和B关于点O中心对称，画点O；
（2）在图（1）中，若点F绕点E逆时针旋转90°后得到点G，画点G；
（3）在图（2）中，在线段BC上画点M，使∠AMB＝∠BAC；
（4）在图（2）中，画满足条件的格点N，使∠ANC＝2∠ABC．
22．（10分）在2024年巴黎奥运会上，全红婵凭借总分425.60分的成绩蝉联奥运会女子10米跳台的冠军，成为中国奥运史上最年轻的三金王．在进行跳水训练时，运动员身体（视作一点）在空中的运动路线可视作一条抛物线，如图所示，建立平面直角坐标系xOy．已知AB为3米，OB为10米，跳水曲线在离起跳点A水平距离为0.5米时达到距水面最大垂直高度k米．
（1）当k＝11.25时：
①求这条抛物线的解析式；
②求运动员落水点与点A的距离；
（2）图中OE＝4.5米，OF＝5.5米，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，请直接写出k的取值范围．
23．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点P为△ABC内一点．
（1）如图（1），CP＝CQ，∠QCP＝120°，连接BP，AQ，求证：BP＝AQ；
（2）如图（2），D为AB的中点，若PC＝2，PA＝5，∠CPD＝150°，求线段PD的长；
（3）如图（3），在（2）的条件下，若点M为平面内一点，PM＝PC，连BM，将线段BM绕点B顺时针旋转120°至BN，连PN，请直接写出PN的最大值．
24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（1），Q为抛物线上第一象限内一点，若∠AQC＝2∠BAQ，求点Q的坐标；
（3）如图（2），P为x轴上方一动点，直线PM，PN与抛物线均只有唯一公共点M，N，OH⊥MN于点H，且△PAB的面积是10，求线段OH长度的最大值．
2024-2025学年湖北省武汉市江汉区九年级（上）期中数学试卷
选择题、填空题答案速查
选择题、填空题解法提示
9．解：过点B作BE⊥BD交DA的延长线于E，连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴AC为⊙O的直径，△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝10，∠BAC＝∠BCA＝45°，
由勾股定理得：AC＝√AB2+BC2=2AB，
∴AB＝BC=22AB=52，
∴AB+BC=102，
∴∠1＝∠BAC＝45°，∠ADB＝∠BCA＝45°，
∵BE⊥BD，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BE＝BD＝x，∠E＝∠ADB＝45°，
由勾股定理得：DE=BD2+BE2=2x，
∵∠E＝45°，∠1＝45°，
∴∠E＝∠1，
∵BE⊥BD，∠ABC＝90°，
∴∠2+∠ABD＝90°，∠ABD+∠3＝90°，
∴∠2＝∠3，
在△EBA和△DBC中，
∠E=∠1∠2=∠3AB=BC，
∴△EBA≌△DBC（AAS），
∴AE＝CD，
∴AD+CD＝AD+AE＝DE=2x，
∴AD+CD+AB+BC=2x+102，
∴y=2x+102．
故选：B．
10．解：∵抛物线y＝x2﹣2x+t＝（x﹣1）2+t﹣1，
∴顶点坐标为（1，t﹣1），
∵将C1绕坐标原点旋转180°得到图象C2，
∴图象C2的顶点坐标为（﹣1，﹣t+1），
∴图象C2的解析式为：y＝﹣（x+1）2+1﹣t，
当﹣1≤t≤1时，则图形C如图，
观察图象，直线y＝x+1与图形C的交点的个数是4个．
当两条抛物线和直线交在同一个点时，直线y＝x+1与图形C的交点的个数是3个．
故选：D．
15．解：∵4a﹣2b+c＝0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过点（﹣2，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过点（m，0），m＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）交y轴的正半轴，
∴c＞0，
故①正确；
由题意可知x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∵4a﹣2b+c＝0，
∴c＝2b﹣4a，
∴a﹣b+2b﹣4a＞0，
即b﹣3a＞0，
故②正确；
∵若方程ax2+bx+c＝b有两个不相等的实数根x1，x2（且x1＜x2），若b＞0，则x2＜m；
若b＜0，则x2＞m，
若b＝0，则x2＝m．
故③不正确；
∵抛物线过点（0，1），
∴c＝1．
∵4a﹣2b+c＝0，
∴a=12b−14，
∴s＝a+b+c=12b−14+b+1=32b+34．
∵已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过点（m，0），m＞0，（﹣2，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=m−22，
∵0＜m＜2，
∴m−22＜0，
∴抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴a，b同号，
∵a＜0，
∴b＜0，
∴32b+34＜34，
∴s＜34．
∴④的结论正确．
故正确的有：①②④．
故答案为：①②④．
16．解：如图，连接AE，AG，在BF上取一点O，使FO＝EG＝4，连接AO，EO，
∵A为DF的中点，△DEF为等腰直角三角形，∠DEF＝90°，
∴AE＝AF，∠EAF＝90°，
∴∠CAE+∠FAC＝90°，
又∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠BAF+∠FAC＝90°，
∴∠BAF＝∠CAE，
∴△BAF≌△CAE（SAS），
∴∠AFB＝∠AEC，
∴△AFO≌△AEG（SAS），
∴AO＝AG，∠FAO＝∠EAG，
∴∠OAG＝∠EAF＝90°，
又∵AE＝AF，
∴∠AGE＝∠AOF＝∠AGO＝45°，
∴∠EGO＝∠AGE+∠AGO＝90°，
∵∠DEG＝∠DEA+∠AEC＝45°+∠AEC，∠EOF＝∠EFA+∠AFB＝45°+∠AFC，∠AFB＝∠AEC，
∴∠DEG＝∠EFO，
又∵ED＝EF，EG＝FO＝4，
∴△DGE≌△EOF（SAS），
∴DG＝EO＝10，
在Rt△EGO中，
由勾股定理，得GO=EO2−EG2=102−42=221，
∴GF＝GO﹣FO＝221−4．
故答案为：221−4．
解答题参考答案
17．解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣5
∴Δ＝b2﹣4ac＝21＞0
∴x=1±212
∴x1=1+212，x2=1−212．
18．解：（1）∵点D从点C开始沿CA边运动，速度为1cm/s，
∴CD＝t cm，
∵BC＝8cm，点E从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s，
∴BE＝2t cm，
∴CE＝BC﹣BE＝（8﹣2t）cm，
故答案为：t，（8﹣2t）；
（2）由题意可知，0≤t≤4，CD＝t cm，BE＝2t cm，CE＝（8﹣2t）cm，AD＝（6﹣t）cm，
∵∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，S=58S△ABC，
∴S=12AD•CE=12（6﹣t）（8﹣2t）=58×12×6×8，
整理得：t2﹣10t+9＝0，
解得：t1＝1，t2＝9（不合题意，舍去），
∴CD＝1cm，
答：CD＝1cm时，S=58S△ABC．
19．解：（1）由表格可知，当x＝0时，y＝﹣3，当x＝2时，y＝﹣3，
∴该函数图象的对称轴是直线x=0+22=1．
故答案为：直线x＝1．
（2）由表格可知，当x＝3时，y＝0，
即该函数图象与x轴的一个交点的坐标是（3，0）．
∵该函数图象的对称轴是直线x＝1，
∴该函数图象与x轴的另一个交点的坐标是（﹣1，0），
∴该函数图象与x轴的交点的坐标是（3，0）和（﹣1，0）．
故答案为：（3，0）和（﹣1，0）．
（3）将（2，﹣3），（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，
得4a+2b−3=−39a+3b−3=0，
解得a=1b=−2，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．
画出二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象如图所示，
由图可知，当0＜x＜3时，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的最小值为﹣4，最大值为0，
∴当0＜x＜3时，y的取值范围是﹣4＜y＜0．
故答案为：﹣4＜y＜0．
（4）画出函数y＝x﹣3的图象如图所示，
由图可得，不等式ax2+bx﹣3＞x﹣3的解集是x＜0或x＞3．
故答案为：x＜0或x＞3．
20．（1）证明：连接OE，
∵BE平分∠DBM，
∴∠MBE＝∠DBE，
∵EF⊥AM，
∴∠EFB＝90°，
∴∠∠FBE+∠BEF＝90°，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠∠OEB＝∠FBE，
∴∠OEB+∠BEF＝90°，
∴∠OEF＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF为⊙O的切线；
（2）解：∵EF﹣BF＝2，
∴设BF＝x，则EF＝x+2，
∴BE2＝BF2+EF2＝x2+（x+2）2，
连接DE，过E作EH⊥BD于H，
∵BE平分∠DBM，
∴EF＝EH，
∴Rt△BEF≌Rt△BEH（HL），
∴BE＝BH＝x，EF＝EH＝x+2，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BED＝90°，
∴∠EHB＝∠BED，
∵∠EBH＝∠DBE，
∴△BEH∽△BDE，
∴BEBD=BHBE，
∴BE2＝BD•BH，
∴x2+（x+2）2＝10x，
∴x＝1或x＝2，
∴当BF＝1时，EF＝3，
连接AE，
则∠A＝∠D＝∠AEF，
∵∠EFB＝∠AFE，
∴△BFE∽△EFA，
∴EFAF=BFEF，
∴3AF=13，
∴AF＝9，
∴AB＝8；
当BF＝2，则EF＝4，
∴4AF=24，
∴AF＝8，
∴AB＝6，
综上所述，AB的长为8或6．
21．解：（1）如图1中，点O即为所求；
（2）如图1中，点G即为所求；
（3）如图2中，点M即为所求
（4）如图2中，点N即为所求
22．解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x﹣3.5）2+k，
①y＝a（x﹣3.5）2+11.25，
将点A（3，10）代入上式得：10＝a（3﹣3.5）2+11.25，
解得：a＝﹣5，
则抛物线的表达式为：y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25；
②令y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25＝0，
解得：x＝5或2（舍去），
即落水点的坐标为：（5，0），
则距离为：(5−3)2+102=226（米），
即落水点与点A的距离为226米；
（2）y＝a（x﹣3.5）2+k，
将点A（3，10）代入上式得：10＝a（3﹣3.5）2+k，
解得：a＝4（10﹣k），
则抛物线的表达式为：y＝4（10﹣k）（x﹣3.5）2+k，
将（4.5，0）和（5.5，0）代入上式得：0=4(10−k)(4.5−3.5)2+k0=4(10−k)(5.5−3.5)2+k，
解得：k=403k=323，
故323≤k≤403．
23．（1）证明：∵∠QCP＝∠ACB＝120°，
∴∠QCP﹣∠ACP＝∠ACB﹣∠ACP，
∴∠ACQ＝∠BCP，
∵AC＝BC，CQ＝CP，
∴△ACQ≌△BCP（SAS），
∴BP＝AQ；
（2）解：如图，
连接CD，作∠PCQ＝60°，作∠CPQ＝90°，作PE⊥AQ，交AQ的延长线于点Q，
∴CQ＝2PC＝4，PQ＝23，
∵AC＝BC，D是AB的中点，
∴∠ACD=12∠ACB=60°，
∴∠ACD＝∠PCQ，AC＝2CD，
∴∠ACQ＝∠PCD，CDAC=PCCQ=12，
∴△ACQ∽△DCP，
∴∠AQC＝∠CPD＝150°，AQPD=ACCD=12，
∴∠AQP＝∠AQC﹣∠PQC＝150°﹣30°＝120°，
∴∠PQE＝60°，
∴EQ=12PQ=3，EP=32PQ＝3，
∵AP＝5，∠E＝90°，
∴AE＝4，
∴AQ＝AE﹣EQ＝4−3，
∴PD=12AQ=4−32；
（3）解：如图2，
连接BP，作∠PBO＝120°，截取BO＝PB，
∵线段BM绕点B顺时针旋转120°至BN，
∴∠MBN＝120°，BM＝BN，
∴∠MBN＝∠PBP，
∴∠MBP＝∠OBN，
∴△PBM≌△OBN（SAS），
∴ON＝PM＝PC＝2，
∴点N在以O为圆心，2为半径的圆上运动，
作射线PO，交⊙O于N′，
当点N在N′处时，PN最大，PN′＝OP+ON′=3PB+2，
作∠PBC＝60°，交PB于E，
∵∠ABC+∠CPD＝30°+150＝180°，
∴点C、P、D、共圆，
∴∠CPB＝∠CDB＝90°，
同理（2）可得，
△CPD∽△CEB，
∴BEPD=BCCD=2，
∴BE＝2PD＝4−3，
∵PE=3PC＝23，
∴PB＝PE+BE＝4+3，
∴OP＝43+3，
∴PN′＝43+5，
∴PN的最大值为：43+5．
24．解：（1）由题意可得：a−b+3=09a+3b+3=0，
解得：a＝﹣1，b＝2，
故抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）过点Q作QM⊥y轴于点M，如下图所示，
设Q点坐标为（t，﹣t2+2t+3），则点M坐标为（0，﹣t2+2t+3），
∴∠MQA＝∠BAQ，
当∠AQC＝2∠BAQ时，则∠CQM＝∠MQA，
从而可证得CM＝MN，而C（0，3），
∴N（0，﹣2t2+4t+3），
∵A（﹣1，0），故由待定系数法可求得直线AQ的解析式为y＝（3﹣t）x+3﹣t，
把N点坐标代入解析式可得：3﹣t＝﹣2t2+4t+3，
解得：t1＝0（舍去），t2=52，
故点Q坐标为（52，74）．
（3）先来证明一个引理：
设抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m两交点的横坐标分别为x1，x2，
则ax2+bx+c＝kx+m，整理得ax2+（b﹣k）x+c﹣m＝0，
由根系关系可得：x1+x2=k−bax1x2=c−ma，
∴k＝a（x1+x2）+b，m＝c﹣a（x1+x2），
故直线y＝kx+m＝[a（x1+x2）+b]x+c﹣a（x1+x2），证毕．
设M（m，﹣m2+2m+3），N（n，﹣n2+2n+3），
根据以上引理可得直线PM的解析式：y＝（﹣2m+2）x+m2+3，
同理得直线PN的解析式：y＝（﹣2n+2）x+n2+3，
联立直线PM、PN的解析式可得交点P坐标为P（m+n2，m+n﹣mn+3），
∵S△PAB＝10，
∴12AB⋅yP=10，
∵AB＝4，
∴yP＝5，
即m+n﹣mn+3＝5，
∴﹣m﹣n+mn＝﹣2，
由引理可得直线MN的解析式：y＝（﹣m﹣n+2）x+mn+3，
当x＝1时，y＝3，
即直线MN经过定点S（1，3），
∵OH⊥MN，
∴OH≤OS=10，
当OS⊥MN时，OH的最大值为10．x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
m
﹣3
n
﹣3
0
…
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
B
C
B
C
D
B
D
11.（﹣2，1） 12. 4 13. 2 14. 26 15. ①②④ 16.221−4