2024-2025学年北京市通州区八年级（上）期中数学试卷

这是一份2024-2025学年北京市通州区八年级（上）期中数学试卷，共13页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）在代数式中，分式的个数为
A．1B．2C．3D．4
2．（2分）下列式子从左到右变形一定正确的是
A．B．
C．D．
3．（2分）如图所示，为估计池塘两岸，间的距离，小明在池塘一侧选取一点，测得，，那么，之间的距离不可能是
A．B．C．D．
4．（2分）下列分式中是最简分式的是
A．B．C．D．
5．（2分）如图，，为的两个外角，，，则的度数是
A．20B．30C．40D．50
6．（2分）如图，若△△，，，则的长为
A．2B．3C．4D．5
7．（2分）对于分式，为常数），若当时，该分式总有意义；当时，该分式的值为负数．则，与0的大小关系正确的是
A．B．C．D．
8．（2分）如图，在正方形网格内，，两点都在小方格的顶点上，如果点也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点的个数为
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）若分式有意义，则的取值范围是 ．
10．（2分）若分式的值为0，则的值为 ．
11．（2分）分式，，的最简公分母为 ．
12．（2分）如图，，分别是，上的点，，请添加一个条件，使得△△．这个条件可以为 （只填一个条件即可）．
13．（2分）借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动．若，则 ．
14．（2分）等腰三角形一个角等于40度，那么它的底角是 ．
15．（2分）是物理学中的一个公式，请用，，表示，则 ．
16．（2分）如图，△中，，点在线段上（不与点，重合）．
①过点作交于点，则△为等腰三角形；
②过点作交于点，在直线上取一点，连结、，若，则△△；
③过点作交于点，在线段上截取，使，连结，，则△△；
④过点作交于点，过点作交于点，连结，则△△．
以上说法一定成立的是 （填写正确的序号）
三、解答题（本题共68分，第17-24题每题5分；第25题7分；第26题6分；第27题7分；第28题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．（5分）计算：．
18．（5分）计算：．
19．（5分）计算：．
20．（5分）已知：如图，，且．求证：△△．
21．（5分）解方程：．
22．（5分）如图，在中，，是边上的中点，于点，于点．求证：．
23．（5分）已知，求代数式的值．
24．（5分）在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．
（1）在图1中计算格点三角形的面积是 ；（每个小正方形的边长为
（2）是格点三角形．
①在图2中画出一个与全等且有一条公共边的格点三角形；
②在图3中画出一个与全等且有一个公共点的格点三角形．
25．（7分）如图，在△中，，，是边上一点，连结，过点作于点，交于点，过点作交延长线于点．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：；
（3）当时，求证：平分．
26．（6分）随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项繁重工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由5台机器分拣6000件快件的时间，比20个人工分拣同样数量的快件节省4小时，求人工每人每小时分拣快件的数量．
27．（7分）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“优式”，这个常数称为关于的“优值”．
例如：分式，，，则是的“优式”， 关于的“优值”为1．
（1）已知分式，，判断是否为的“优式”，若不是，请说明理由，若是，请证明，并求出关于的“优值”；
（2）已知分式，，是的“优式”，且关于的“优值”是1，为整数，且的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值．
28．（8分）如图，△中，，为边上一点，过点作交的延长线于点，连结，若，
（1）请用等式表示与的数量关系，并证明；
（2）求证：是的中点．
2024-2025学年北京市通州区八年级（上）期中数学试卷
选择题、填空题答案速查
选择题、填空题解法提示
8．解：当为腰时，点的个数有2个；
当为底时，点的个数有1个，
故选：．
16．解：，，
对于①：如图1所示，
过点作交于点，，，
，△为等腰三角形，故①正确；
对于②：如图2所示，
，，
又，，此时无法判定△△（属于“边边角“，故②错误；
对于③：如图3所示，
，，
则四边形为平行四边形，
，，
则可根据“”判定△△，故③正确；
对于④：如图4所示，
，
四边形为平行四边形，
，，
则可根据“”判定△△，故④正确．
综上，①③④正确，
故答案为：①③④．
解答题参考答案
17．解：原式
．
18．解：原式
．
19．解：
．
20．证明：，
，
在△和△中，
，
△△．
21．解：原方程两边都乘，去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为．
22．证明：如图，连接．
，点是边上的中点，
平分，
、分别垂直、于点和．
．
23．解：
，
，
，
原式．
24．解：（1）如图1中，，
故答案为：6．
（2）①如图2中，即为所求作（答案不唯一）．
②如图3中，即为所求作（答案不唯一）．
25．1）解：图形如图所示；
（2）证明：，，，
，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
；
（3）证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分．
26．解：设人工每人每小时分拣件，则每台机器每小时分拣件，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：人工每人每小时分拣60件．
27．解：（1），，
，
是的“优式”， 关于的“优值”为2；
（2）关于的“优值”是1，
，
，，
，
去分母，将等式两边同时乘以，得，
整理，得，
．
为整数，且的值也为整数，
是3的因数，
的值可能是，，
由，解得：，
由，解得：，
由，解得：，
由，解得：，
根据分式有意义的条件可知，，
，
所有符合条件的值是2，4，0，6．
28．（1）解：，
证明：如图，过点作于点，过点作交的延长线于点．
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图，过点作于，过点作交的延长线于，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
是的中点．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
D
B
C
A
A
C
9. 10.1 11. 12.（或或） 13.80 14.或 15. 16.①③④