河北省石家庄市第四十中学2024-2025学年上学期九年级12月考试数学试卷

这是一份河北省石家庄市第四十中学2024-2025学年上学期九年级12月考试数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 一组数据3，0，，5，x，2，的平均数是1，则这组数据的众数是（ ）
A. B. 2C. 3和D. 2和
2. 如图，在中，A、B、D、F在上，点C在外．下面对角的叙述错误的是（ ）
A. 是圆心角B. 是圆周角
C. D. 是圆周角
3. 若，则的值是（ ）
A 3B. 4C. D.
4. 安溪雁塔，位于安溪县城凤城镇的东南面，是县级文物保护单位．如图是安溪雁塔及其部分示意图，已知，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 问题“解方程”，嘉嘉说“其中一个解是”，琪琪说“方程有两个实数根，这两个实数根和为”，珍珍说“，此方程无实数根”，判断下列结论正确的是（ ）
A. 嘉嘉说得对B. 琪琪说得对
C. 珍珍说得对D. 三名同学说法都不对
6. 唢呐是山西八大套的乐器之一，如图，一个中号唢呐的长约为．若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点P处进行装饰．则该装饰与吹口的距离为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，某型号电动车开门时，车门与车身的最大展开度数，若车门宽度，则司机恰好进入车体时他身体的宽度的最大值约为（结果精确到0.1米，参考数据：，，）（ ）

A. B. C. D.
9. 如图①，是一个壁挂铁艺盆栽，花盆外围为圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和所围成的区域为种植区．已知，的半径为17，则种植区的最大深度为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
10. 如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为，，．给出以下结论：①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形；②Ⅲ中最大的内角是；③．其中正确的是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
11. 己知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点A，交于一点M，则当取得最大值时，k的值为（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，在中，，，．如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们速度均为．连接，设运动时间为，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（3*4=12）
13. 如图是一个自动扶梯的示意图，则______．

14. 图1是装了红酒的高脚杯示意图（数据如图），喝去一部分红酒后如图2所示，此时液面的长为______．
15. 如图，有一直径是的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC，用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为 米．
16. 如图，在中，，、，点是内部一个动点，连接，且满足．
（1）________；
（2）当线段最短时，的面积为________．
三、解答题
17. （1）计算：；
（2）解方程．
18. 已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，．与是以点P为位似中心的位似图形．

（1）请写出点P的坐标是______；
（2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使其与的相似比为；
（3）计算的面积．（写出计算过程）
19. 开学后李老师为了解某班学生寒假语文阅读情况，对全班35名同学进行了阅读专项测试（满分100分），并对全班成绩进行了整理，给制了如下的不完整统计图1，下面给出了部分信息．结合以下信息，解答下列问题：
（1）统计图1中成绩在分的人数为______，请补全成绩频数分布直方图；
（2）全班阅读成绩的中位数所在的分数段为______（填序号）
①；②；③；④；⑤，
（3）李老师进一步调查了全班学生寒假阅读的时间情况，并将阅读时间和成绩进行整理，绘制了统计图2，下列说法合理的是______（填序号）；
①寒假阅读时间在400分钟以上，且阅读成绩取得90分以上的学生恰有3人
②小颖推断阅读成绩分布在的同学阅读时间主要分布在的时间段
20. 如图，在中，，点D，E在边上（在的左边），且．
（1）求证：；
（2）若，求BD的长．
21. 材料阅读：
问题解答：
如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题：
（1）求的正弦值；
（2）求的长（结果精确到，参考数据：，，）．
22. 综合与探究
如图，在平行四边形中，分别是边，上的点，与交于点．
（1）【特例感知】
如图（a），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是________；
（2）【深入探究】
如图（b），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？
请证明你的猜想；
关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题．
（3）【类比迁移】
如图（c），若四边形是菱形，为中点，，请求出的值；
（4）【联系拓广】
如图（d），在平行四边形中，，，，是边的中点，当点在直线上运动，且直线与直线所夹的锐角为时，请直接写的长．
参考答案
选择题、填空题答案速查
选择题、填空题解法提示
12.A如图，连接，交相交于点，当四边形为菱形时，垂直平分，即，，，，，，
点由点出发沿方向向点匀速运动，点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为∴，，，，∴，，
，，，又，，解得，，当四边形是菱形时，的值为.
16.（1） ； （2） （1）∵，∴，∵，
∴，∴.（2）设的中点为，连接，则(直角三角形斜边中线等于斜边一半)，∴点在以为直径的上，连接交于点，此时最小，
在中，，∴∴．
∴，
解答题参考答案
17.解：（1）
（2）在中
，，，
，
，
，．
解：（1）
连接，，，并分别延长，相交于点，∴与是以点为位似中心的位似图形，∴点P的坐标为．
（2）如图，即为所求．

（3），
∵与的相似比为，
∴，
∴.
19.解：（1）（人），
∴成绩在分的人数为8人，
补全成绩频数分布直方图如下；
（2）③
由频数分布直方图中的数据可得这35名学生成绩的中位数会落在的分数段．
（3）①
由表可知：寒假阅读时间在400分钟以上，且阅读成绩取得90分以上的学生恰有3人，故①说法合理；
不能得出成绩分布在的同学阅读时间主要分布在200分300分的时间段，故②说法不合理．
20.（1）证明：，
，
，
又，
，
又，
.
（2）解：∵，
∴，即，
．
21.解：（1）在中，，，
，
∵我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为．
∴，
.
（2），
，
∴在中，，
设，则，
，
，
解得，
，
，
答：的长约为．
22.解：（1）[特例感知]
∵四边形是正方形，∴，
当时，即，∴，∴，
∴，在和中，，∴，∴.
（2）[深入探究]
思路一：∵四边形是菱形，
∴，，
当时，，
∵是三角形外角，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，在边上取一点使，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
思路二：由思路一可得，
在的延长线上取一点使，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴.
（3）[例比迁移]
如图所示，连接交于点，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，，
∴，
∴，即，
∵，
∴；
（4）[联系拓广]
第一种情况，直线与直线所夹的锐角时，如图所示，连接，过点作延长线于点，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
过点作于点，，
在中，，
∴，，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
第二种情况，直线与直线所夹的锐角时，如图所示，连接交与点，
由第一种情况可得，，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴设，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
在中，，
∴；
综上所述，的长为或．
光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为．
思路一
思路二
如图，在边上取一点使，……
如图，在的延长线上取一点使，，……
1
2
3
4
5
6
C
D
D
C
C
A
7
8
9
10
11
12
D
D
D
B
D
A
13. 14. 15. 16.（1） ； （2）