物理必修 第二册预言未知星体计算天体质量优质导学案及答案

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▉题型1 万有引力与重力的关系（黄金代换）
【知识点的认识】
对地球上的物体而言，受到的万有引力要比地球自转引起的物体做圆周运动所需的向心力大的多，所以通常可以忽略地球自转带来的影响，近似认为万有引力完全等于重力。即
GMmR2=mg
化简得到：GM＝gR2
其中g是地球表面的重力加速度，R表示地球半径，M表示地球的质量，这个式子的应用非常广泛，被称为黄金代换公式。
1．2023年8月18日消息，“中国夫眼”发现脉冲星辐射新形态，对揭示脉冲星磁层的极端物理环境等具有重要科学意义。科学家通过对木星的观测发现木星有79颗卫星，质量为m的木卫一，在距木星表面h高处绕木星做匀速圆周运动。已知木星质量为M、半径为R，引力常量为G，则木卫一做圆周运动的线速度大小v和木卫一做圆周运动的周期T分别为（ ）
A．v=GMR+h；T＝2π(R+h)3GM
B．v=GMR+h；T＝π(R+h)3GM
C．v=2GMR+h；T=2π(R+h)3GM
D．v=2GMR+h；T＝π(R+h)3GM
【答案】A
【解答】解：木卫一受到的万有引力提供做圆周运动的向心力，则
GMm(R+h)2=mv2R+h
解得：v=GMR+h
根据周期与线速度的关系可得：
T=2π(R+h)v
代入解得：T＝2π(R+h)3GM，故A正确，BCD错误；
故选：A。
2．火星的质量约为地球质量的110，半径约为地球半径的12，则同一物体在地球表面与在火星表面受到的引力的比值约为（ ）
A．0.4B．0.5C．2.0D．2.5
【答案】D
【解答】解：根据万有引力表达式可得F万=GMmR2∝MR2，可知同一物体在地球表面与在火星表面受到的引力的比值约为F地F火=M地M火⋅R火2R地2=101×14=2.5，故D正确，ABC错误。
故选：D。
3．利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是（ ）
A．地球的半径及重力加速度（不考虑地球自转）
B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
【答案】D
【解答】解：A、根据地球表面物体重力等于万有引力可得：GMmR2=mg，所以，地球质量M=gR2G，故A可计算；
B、由万有引力做向心力可得：GMmR2=mv2R=m4π2RT2，故可根据v，T求得R，进而求得地球质量，故B可计算；
CD、根据万有引力做向心力可得：GMmr2=m4π2rT2，故可根据T，r求得中心天体的质量M，运动天体的质量m的质量无法求解，故C可求解，D无法求解；
本题选不能计算出的，
故选：D。
4．如图所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，假设把地球看成是一个质量分布均匀的球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A．Q质点受地球的万有引力小于P质点受地球的万有引力
B．P、Q做匀速圆周运动的向心加速度大小相等
C．P质点所受重力小于Q质点所受重力
D．P、Q质点所受重力的方向均指向地心
【答案】C
【解答】解：AD、根据题意，由公式F=GMmR2可知，由于P、Q两个质点的质量相等，则Q质点受地球的万有引力的等于P质点，方向均指向地心；而对于Q质点重力是万有引力的一个分力，故重力方向不是指向地心，故AD错误；
B、P、Q两个质点为同轴转动，角速度相等，由公式v＝ω2r可知，由于P、Q两个质点做圆周运动的半径不同，则P、Q做匀速圆周运动的向心加速度大小不相等，故B错误；
C、根据题意可知，若考虑地球的自转，则有
GMmR2=mg+mω2r
可知，由于P质点做圆周运动的半径较大，则P质点做圆周运动所需向心力较大，可得P质点的重力小于Q质点的重力，故C正确。
故选：C。
5．牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间（如地球与月球）的引力具有相同的性质，且都满足F∝Mmr2。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为（ ）
A．30πrgB．30πgrC．120πrgD．120πgr
【答案】C
【解答】解：设地球半径为R，在地球表面，忽略地球自转，万有引力等于重力：Gm 地mR2=mg
月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力等于向心力：Gm地m月r2=m月4π2T2r
由题意得：r＝60R
联立解得：T＝120πrg
故ABD错误，C正确。
故选：C。
6．若太阳系内某个行星贴近其表面运行的卫星的周期用T表示，该行星的平均密度是ρ，到太阳的距离是R，已知引力常量G．则下列说法正确的是（ ）
A．可以求出该行星的质量
B．可以求出太阳的质量
C．ρT2是定值
D．T2R3是定值
【答案】C
【解答】解：A、设该行星的半径为R0，根据万有引力提供近地卫星的向心力可得：GMmR02=m4π2T2R0，行星密度：ρ=MV，体积V=43πR03，因为不知道行星的半为R0，故不能求出行星的质量，故A错误；
B、设该行星的质量为M，太阳的质量为M太，对该行星绕太阳公转，运用万有引力提供向心力可得：GM太MR2=Ma＝Mv2R=Mω2R＝M4π2T2R，虽然已知公转半径R，但是由于行星绕太阳公转的加速度a、线速度v、角速度ω、周期T均不知道，故不能求出太阳的质量，故B错误；
C、设该行星的半径为R0，根据万有引力提供近地卫星的向心力可得：GMmR02=m4π2T2R0，行星密度：ρ=MV，体积V=43πR03，联立可得：ρT2=3πG，故ρT2是定值，故C正确；
D、根据开普勒第三定律可得：R3T′2=k是定值，则T′2R3=1k也是定值，但式子中的T′是行星绕太阳的公转周期，而不是近地卫星绕行星的周期T，故D错误。
故选：C。
7．“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直。卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈。已知地球半径为地轴R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为（ ）
A．(gR2T22n2π2)13−R
B．(gR2T22n2π2)13
C．(gR2T24n2π2)13−R
D．(gR2T24n2π2)13
【答案】C
【解答】解：卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈，可知卫星运行的周期T'=Tn，其万有引力提供向心力有：GMm(R+h)2=m4π2T′2（R+h）
在地表附近，任意物体所受到的万有引力近似等于重力有：GMmR2=mg
联立解得：h=(gR2T24n2π2)13−R
故ABD错误，C正确；
故选：C。
8．2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400km的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们（ ）
A．所受地球引力的大小近似为零
B．所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零
C．在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小
D．所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等
【答案】D
【解答】解：ABD、航天员可以自由地漂浮，是由于所受地球引力提供向心力，所以引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等，故AB错误，D正确；
C、其随飞船运动所需向心力的大小近似等于在离地球表面约400km的轨道上所受的万有引力大小，根据万有引力定律可知，在地球表面上所受引力的大小大于在离地球表面约400km的轨道上所受的万有引力大小，故C错误。
故选：D。
9．下列说法正确的是（ ）
A．开普勒研究了行星运动得出了开普勒三大定律，并发现了万有引力定律
B．开普勒利用扭秤实验测出了万有引力常量G的大小
C．由F=Gm1m2r2可知，当r趋近于零时，万有引力趋于无穷大
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积相等
【答案】D
【解答】解：A、开普勒研究了行星运动得出了开普勒三大定律，牛顿发现了万有引力定律，故A错误；
B、卡文迪许利用扭秤实验测出了万有引力常量G的大小，故B错误；
C、万有引力定律公式适用于质点间的万有引力，当距离r趋向于0时，公式不再适用，不能得出r趋近于零时，万有引力趋于无穷大的结论，故C错误；
D、根据开普勒第二定律知，火星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等，故D正确。
故选：D。
10．2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆，在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：设地球半径为R，地球的质量为M，探测的质量为m，根据万有引力定律可得地球对探测器的引力为：F=GMm(R+h)2，可知F随h的变化应该是D图，故D正确，ABC错误。
故选：D。
11．设地球自转周期为T，质量为M，引力常量为G，假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R．同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为（ ）
A．GMT2GMT2−4π2R3B．GMT2GMT2+4π2R3
C．GMT2−4π2R3GMT2D．GMT2+4π2R3GMT2
【答案】A
【解答】解：在赤道上：GMmR2−FN=mR4π2T2，可得FN=GMmR2−mR4π2T2 ①
在南极：GMmR2=FN′ ②
由①②式可得：FN′FN=GMT2GMT2−4π2R3。
故选：A。
12．太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表：
则相邻两次“冲日”时间间隔约为（ ）
A．火星365天B．火星800天
C．天王星365天D．天王星800天
【答案】B
【解答】解：由开普勒第三定律，其轨道半径r的三次方与周期T的平方的比值都相等，设地球外另一行星的周期为T'，则有：
r地3T2=r行3T′2
则两次冲日时间间隔为t，则tT−tT′=1
可得：t=T1−TT′
对火星和地球，代入数据得：t≈800天
对天王星和地球，代入数据得：t≈369天
故B正确，ACD错误。
故选：B。
13．万有引力定律的简单应用两个完全相同的实心均质小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F。若将两个用同种材料制成的半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则两个大铁球之间的万有引力为（ ）
A．2FB．4FC．8FD．16F
【答案】D
【解答】解：两个小铁球之间的万有引力为：
F＝G(4πR33ρ)2R2=16π2 Gρ2R49
实心大铁球的是小铁球的半径的2倍，故：
F′F=(2R)4R4=16，
故两个大铁球间的万有引力为F′＝16F，故D正确，ABC错误。
故选：D。
14．地球的半径为R，某卫星在地球表面所受地球对其万有引力为F，则该卫是在离地面高度约5R的轨道上，受到地球对其万有引力约为（ ）
A．5FB．6FC．F25D．F36
【答案】D
【解答】解：卫星在地面受到的万有引力：F=GMmR2
卫星在离地面高度为5R的圆形轨道上受到的万有引力：F′=GMm(R+h)2=GMm(R+5R)2=136GMmR2=136F，故D正确、ABC错误。
故选：D。
15．说起移居星球，人类目前的目标就是火星。“天问系列”将完成对火星等的探测活动，“天问一号”不仅在火星上首次留下中国的印迹，而且首次成功实现了通过一次任务完成火星环绕、着陆和巡视三大目标。若所有天体的运动均视为匀速圆周运动，引力常量G已知，下列说法中不正确的是（ ）
A．若已知地球绕太阳运转的轨道半径和公转周期，可求得太阳的密度
B．若已知火星与地球绕太阳运动的公转轨道半径之比，可求得火星与地球运动的角速度之比
C．若已知人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的周期，可求得地球的密度
D．若已知“天问一号”绕火星做圆周运动的半径及运行周期，可求得火星的质量
【答案】A
【解答】解：A、若已知地球绕太阳运转的轨道半径和公转周期，根据万有引力提供向心力有：GMmr2=mr4π2T2，可解得：M=4π2r3GT2，可解得太阳质量，由于太阳的半径未知，无法求得太阳的密度，故A错误；
B、若已知火星与地球绕太阳运动的公转轨道半径之比，根据GMmr2=mrω2，解得：ω=GMr3，可求得火星与地球运动的角速度之比，故B正确；
C、若已知人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的周期，根据GM′m′R2=m'R4π2T2，结合ρ=M′43πR3，联立可求得地球的密度ρ=3πGT2，故C正确；
D、若已知“天问一号”绕火星做圆周运动的半径及运行周期，根据GM″m″r2=m''r4π2T2，可求得火星的质量M''=4π2r3GT2，故D正确；
本题选择错误选项；
故选：A。
16．随着我国登月计划的实施，我国宇航员登上月球将不是梦想；假如我国宇航员登上月球并在月球表面附近以初速度v0竖直向上抛出一个小球，经时间t后回到出发点．已知月球的半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A．月球的质量为2v0R2Gt
B．月球表面的重力加速度为v0t
C．宇航员在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为Rtv0
D．宇航员在月球表面获得v0Rt的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周运动
【答案】A
【解答】解：B、小球在月球表面做竖直上抛运动，根据匀变速运动规律得：12t=v0g，解得：g=2v0t，故B错误；
A、物体在月球表面上时，由重力等于其受到的万有引力得：GMmR2=mg，解得：M=2v0R2Gt，故A正确；
C、宇航员乘坐飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动，根据重力提供向心力得：mg＝mR4π2T2，解得：T=π2Rtv0，故C错误；
D、宇航员离开月球表面围绕月球做圆周运动至少应获得的速度大小即月球第一宇宙速度大小，所以GMmR2=mv2R，解得：v=2v0Rt，故D错误。
故选：A。
17．如图所示，地球半径为R，卫星在半径为2R的圆轨道Ⅰ做圆周运动，当卫星运行到A点时再变轨到轨道Ⅱ上运动。已知地球表面重力加速度大小为g，下列说法错误的是（ ）
A．卫星需要在A点加速，才能到轨道Ⅱ上运行
B．卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上运行时与地球球心连线单位时间内扫过的面积相等
C．卫星在轨道Ⅱ上A点的加速度大小为g4
D．卫星在轨道Ⅰ上运行的周期小于在轨道上Ⅱ上运行的周期
【答案】B
【解答】解：A．卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ需要加速做离心运动，故A正确；
B．根据开普勒第二定律，卫星在同一轨道上运行时与地球球心连线单位时间内扫过的面积相等，故B错误；
C．根据万有引力和重力关系可得：GMmR2=mg，根据牛顿第二定律可得GMm(2R)2=ma，解得：a=g4，故C正确；
D．根据开普勒第三定律可得：r3T2=k，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动的轨道半径小于在轨道上Ⅱ上做椭圆运动的半长轴，所以卫星在轨道Ⅰ上运行的周期小于在轨道上Ⅱ上运行的周期，故D正确。
本题选错误的，故选：B。
18．2022年1月20日，中国国家航天局发布了由环绕火星运行的天问一号探测器及其正在火星表面行走的祝融号火星车发送回来的一组包含探测器与火星合影新图像引起了西方媒体的广泛关注。已知天问一号探测器绕火星运动的周期为T，火星的半径为R，“祝融号”火星车的质量为m，在火星表面的重力大小为G1，万有引力常量为G，忽略火星的自转，则下列不正确的是（ ）
A．火星表面的重力的加速度为G1m
B．火星的质量为R2GmG1
C．火星的平均密度为3G14πRGm
D．天问一号距火星地面的高度为3G1R2T24π2m−R
【答案】B
【解答】解：A.设“祝融号”火星车的质量为 m，设火星表面的重力加速度为 g1，“祝融号”质量不变，在火星表面
G1＝mg1
解得g1=G1m，故A正确；
B.忽略火星的自转，设火星质量为 M，在火星表面上则有
GMmR2=mg1
解得M=R2G1mG，故B错误；
C.ρ=M43πR3=3G14πRGm，故C正确；
D.天问一号绕火星运动过程有
GMm0(R+h)2=m0(R+h)4π2T2
天问一号距地面的高度为3G1R2T24π2m−R，故D正确。
本题选不正确项，故选：B。
19．两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a为近地卫星，b卫星到地心的距离为4R，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，则a、b卫星绕地球运行的（ ）
A．线速度之比为2：1
B．角速度之比为1：8
C．周期之比为8：1
D．向心加速度之比为1：2
【答案】A
【解答】解：A．卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由GMmr2=mv2r
得线速度v=GMr
则a、b卫星绕地球运行的线速度之比vavb=21
故A正确；
B．由GMmr2=mrω²
得ω=GMr3
则a、b卫星绕地球运行的角速度之比ωaωb=81
故B错误；
C．由GMmr2=mr4π2rT2
得T=4π2r3GM
则a、b卫星绕地球运行的周期之比TaTb=18
故C错误；
D．由GMmr2=ma
知a=GMr2
则a、b卫星绕地球运行的向心加速度之比aaab=161
故D错误。
故选：A。
20．2020年12月3日，嫦娥五号上升器成功从月球表面发射，这是我国首次实现地外天体起飞。已知地球半径为月球半径的k倍，地球表面的重力加速度是月球表面重力加速度的n倍，忽略天体自转的影响，则地球第一宇宙速度与月球第一宇宙速度的比值为（ ）
A．knB．1knC．knD．1kn
【答案】A
【解答】解：第一宇宙速度是卫星做圆周运动的最大环绕速度，是近地卫星的线速度，根据万有引力提供向心力：GMmR2=mv2R，得到v=GMR
忽略天体自转的影响，在天体表面，万有引力等于重力：GMmR2=mg
两式联立得：v=gR
已知地球半径为月球半径的k倍，地球表面的重力加速度为月球表面重力加速度的n倍，则地球第一宇宙速度与月球第一宇宙速度的比值为v地v月=g地R地g月R月=nk，故A正确，BCD错误；
故选：A。
21．宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，如图所示，设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为L的正方形的四个顶点上．已知引力常数为G，关于四星系统，下列说法正确的是（ ）
A．四颗星的向心加速度的大小均为22GmL2
B．四颗星运行的线速度大小均为12(4+2)GmL
C．四颗星运行的角速度大小均为1L(1+22)GmL
D．四颗星运行的周期均为2πL2L(1+22)Gm
【答案】B
【解答】解：星体在其他三个星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，四颗星的轨道半径为r=22L，
根据万有引力提供向心力，有：
Gm2(2L)2+2Gm2L2cs45°=mv2(2L2)=m4π2T2⋅22L=mω2⋅22L=ma
解得：a=GmL21+222；v=12(4+2)GmL；ω=1L(2+2)GmL；T=2πL(2−2)L2Gm
故B正确，ACD错误；
故选：B。
22．两个可视为质点的物体，质量分别为m1、m2。当它们之间的距离为r时，引力的大小为F；当它们之间的距离为2r时，引力的大小为（ ）
A．F4B．F2C．2FD．4F
【答案】A
【解答】解：根据万有引力定律可得：F=Gm1m2r2
当它们之间的距离为2r时，引力的大小为：F′=Gm1m2(2r)2=14F，故A正确、BCD错误。
故选：A。
23．质量为m的物体放在地球表面，已知地球的质量为M、半径为R，万有引力常量为G。则地球表面的重力加速度大小可表示为（ ）
A．GmRB．GMRC．GmR2D．GMR2
【答案】D
【解答】解：根据地表附近万有引力近似等于重力有：GMmR2=mg，解得g=GMR2，故ABC错误，D正确；
故选：D。
（多选）24．如图，火星与地球近似在同一平面内，绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的轨道半径大约是地球的1.5倍。地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动，称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行。当火星、地球、太阳三者在同一直线上，且太阳和火星位于地球两侧时，称为火星冲日。忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是（ ）
A．火星的公转周期大约是地球的827倍
B．在图示的冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行
C．在图示的冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为逆行
D．在图示的冲日处，火星相对于地球的速度最小
【答案】CD
【解答】解：A、由开普勒第三定律可得r火3r地3=T火2T地2
由火星的轨道半径大约是地球的1.5倍可得
T火=278T地，故A错误；
BC、由于火星的半径比地球的半径大，太阳对行星的引力提供行星做圆周运动的向心力
GMmr2=mv2r
解得：v=GMr 可知火星运动的线速度小于地球的线速度，火星相对地球自东向西运动，即逆行，故B错误，C正确；
D、根据矢量的运算法则，在冲日处，火星和地球的速度同向时，火星相对于地球的速度最小，故D正确。
故选：CD。
（多选）25．2021年5月15日，天问一号火星探测器所携带的祝融号火星车及其着陆组合体成功着陆于火星，这标志着我国首次火星探测任务火星车着陆火星取得圆满成功。假设火星为质量分布均匀的球体，已知火星质量是地球质量的a倍，火星半径是地球半径的b倍，地球表面的重力加速度为g，质量均匀的球壳对其内部物体的引力为零，则（ ）
A．火星表面重力加速度为agb2
B．火星表面重力加速度为b2ga
C．火星表面正下方距表面距离为火星半径12处的重力加速度为ag2b2
D．火星表面正下方距表面距离为火星半径12处的重力加速度为ag4b2
【答案】AC
【解答】解：AB、设地球质量是M，则火星质量是aM，地球半径是R，则火星半径是bR，一物体的质量是m，
在地球上，根据万有引力等于重力有GMmR2=mg
在火星上，GaMm(bR)2=mg火
则联立解得：g火=agb2，故A正确，B错误；
CD、在火星表面正下方与表面距离是火星半径12处，有GaMm(bR+12bR)2=mg火′，则解得g火′=ag2b2，故C正确，D错误。
故选：AC。
（多选）26．已知地球质量约为火星质量的9倍，地球半径约为火星半径的2倍，若某天你能到火星上旅行，跟你在地球上相比较，忽略星球自转的影响下列判断正确的有（ ）
A．体重会变大
B．体重会变小
C．以相同速度竖直跳起会跳得较高
D．以相同速度竖直跳起会跳得较低
【答案】BC
【解答】解：由GMmR2=mg，得到：g=GMR2，已知火星半径是地球半径的12，质量是地球质量的19，则火星表面的重力加速度是地球表重力加速度的49，即为g′=49g。
A、重力G＝mg，重力加速度减小，则体重减小，故A错误，B正确；
C、根据2gh＝v2得：
h=v22g，重力加速度减小，以相同速度竖直跳起会跳得较高，故C正确，D错误。
故选：BC。
（多选）27．已知引力常量G，下列说法正确的是（ ）
A．已知地球的自转周期，可求出地球的平均密度
B．已知绕地球做匀速圆周运动卫星的线速度v和周期T，可求出地球的质量
C．已知绕地球做匀速圆周运动卫星离地面的高度h和周期T，可求出地球的质量
D．已知某星球表面以初速度v0竖直上抛一物体上升的最大高度H和该星球的半径R，可求出该星球的平均密度
【答案】BD
【解答】解：A．知道地球的自转周期，不知道地球质量、半径等信息，无法求得地球的平均密度。故A错误；
B．根据万有引力提供向心力和匀速圆周运动中线速度与周期的关系有GMmr2=mv2r，v=2πrT，解得M=v3T2πG，故B正确；
C．根据万有引力提供向心力和匀速圆周运动中线速度与周期的关系有GMm(R+h)2=m4π2(R+h)T2
因为地球半径R未知，无法求出地球的质量。故C错误；
D．某星球表面以初速度v0竖直上抛一物体上升的最大高度H，根据竖直上抛规律可得H=v022g
在该星球表面GMmR2=mg
星球密度ρ=MV=M43πR3
联立以上各式得ρ=3v028πGHR
故D正确。
故选：BD。
（多选）28．为了探寻金矿区域的位置和金矿储量，常利用重力加速度反常现象．如图所示，P点为某地区水平地面上的一点，假定在P点正下方有一空腔或密度较大的金矿，该地区重力加速度的大小就会与正常情况有微小偏离，这种现象叫做“重力加速度反常”．如果球形区域内储藏有金矿，已知金矿的密度为ρ，球形区域周围均匀分布的岩石密度为ρ0，且ρ＞ρ0．又已知引力常量为G，球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），则下列说法正确的是（ ）
A．有金矿会导致P点重力加速度偏小
B．有金矿会导致P点重力加速度偏大
C．P点重力加速度反常值约为Δg＝G(ρ−ρ0)Vd2
D．在图中P1点重力加速度反常值大于P点重力加速度反常值
【答案】BC
【解答】解：如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ0的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值。
重力加速度的反常值是Δg，填充岩石的质量M0＝ρ0V，设在P点有一质量为m的物体，则G(M−M0)md2=mΔg，Δg＝G(M−M0)d2=G(ρ−ρ0)Vd2；
A、B、由于金矿密度大于岩石密度，金矿对P处m的引力大于岩石的引力，所以有金矿处会导致重力加速度偏大，故A错误，B正确；
C、P点重力加速度的反常值约为，Δg＝G(ρ−ρ0)Vd2，故C正确；
D、由重力反常值的表达式Δg＝GρVd2可知，重力加速度的反常值与深度V、d有关，在图中P1点到球心的距离大于P点到球心的距离，所以在图中P1点重力加速度反常值小于P点重力加速度反常值，故D错误；
故选：BC。
（多选）29．假如地球自转加快，下列说法中正确的是（ ）
A．放在赤道地面上的物体所受的万有引力不变
B．放在赤道地面上的物体重力减小
C．放在两极地面上的物体的重力不变
D．放在两极地面上的物体的重力减小
【答案】ABC
【解答】解：A.假如地球自转加快，放在赤道地面上的物体到地心的距离不变，所受的万有引力不变，故A正确；
B.对于放在赤道地面上的物体，万有引力的一部分提供其随地球自转所需的向心力即Fn=mω2R，当地球自转加快时，物体所需向心力增大，另一部分作为重力，而万有引力不变，所以重力减小，故B正确；
CD.放在两极地面上的物体线速度为零，所需向心力为零，所以重力始终等于万有引力，故C正确，D错误。
故选：ABC。
（多选）30．如图所示，水星和金星绕太阳的运动可视为匀速圆周运动。若测得在相同时间内水星、金星转过的角度分别为θ1、θ2（均为锐角），则由此条件可求得水星和金星（ ）
A．质量之比为θ1：θ2
B．绕太阳运动的周期之比为θ2：θ1
C．绕太阳运动的轨道半径之比为3θ22：3θ12
D．与太阳连线扫过的面积之比为1：1
【答案】BC
【解答】解：A、水星、金星绕太阳匀速圆周运动，据万有引力提供圆周运动向心力只能分析中心天体质量，不能计算环绕天体的质量，无法得出两环绕天体的质量比，故A错误；
B、据ω=θt，可得：ω水ω金=θ1θ2，又据T=2πω可得T水T金=ω金ω水=θ2θ1，故B正确；
C、据GmMr2=mrω2有：r=3GMω2，即r水r金=3GMω水23GMω金2=3ω金2ω水2=3θ22θ12=3θ223θ12，故C正确；
D、根据开普勒定律可知，同一行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积相等，不同的行星与太阳的连线在相等时间扫过的面积则不相等，故D错误。
故选：BC。
（多选）31．2021年5月15日，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星，在登陆火星前，天问一号在距火星表面高度为h的轨道上绕火星做匀速圆周运动，周期为T。已知火星的半径为R，引力常量为G，忽略其他天体对探测器的引力作用。下列说法正确的是（ ）
A．天问一号绕火星做匀速圆周运动的速度v=2πRT
B．火星的质量M=4π2(R+h)3GT2
C．天问一号绕火星做匀速圆周运动的向心加速度a=4π2(R+h)T2
D．火星表面的重力加速度g=4π2(R+h)T2R2
【答案】BC
【解答】解：A、根据题中的物理量可知，v=xt=2π(R+h)T，故A错误；
B、火星对天问一号的万有引力提供天问一号的向心力，则GMm(R+h)2=m4π2(R+h)T2，解得：M=4π2(R+h)3GT2，故B正确；
C、根据向心加速度的公式可知，向心加速度a=ω2(R+h)=4π2(R+h)T2，故C正确；
D、在火星表面，物体的万有引力提供向心力，则mg=GMmR2，解得：g=4π2(R+h)3R2T2，故D错误；
故选：BC。
（多选）32．要使两物体间万有引力减小到原来的14，可采用的方法是（ ）
A．使两物体的质量各减少一半，距离变为原来的2倍
B．两物体间距离增至原来的2倍，质量不变
C．使两个物体质量减为原来的14，距离变为原来的一半
D．使两物体质量及它们之间的距离都减为原来的14
【答案】BC
【解答】解：A、使两物体的质量各减少一半，距离变为原来的2倍，根据F＝GMmr2可知，万有引力减小到原来的116，故A错误；
B．两物体间距离增至原来的2倍，质量不变，根据F＝GMmr2可知，两物体间的万有引力变为原来的14，故B正确；
C．使两个物体质量减为原来的14，距离变为原来的一半，根据F＝GMmr2可知，两物体间的万有引力变为原来的14，故C正确；
D．使两物体质量及它们之间的距离都减为原来的14，根据F＝GMmr2可知，物体间的万有引力不变，故D错误。
故选：BC。
33．某星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球半径的一半，该星球表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比 36：1 。
【答案】36：1。
【解答】解：在地球表面附近重力与万有引力近似相等，则有：GMmR2=mg
解得：g=GMR2
所以：g星g地=M星R地2M地R星2=91×2212=361。
故答案为：36：1。
34．某行星“一昼夜”时间为T，在该行星上用弹簧秤测同一物体的重力，发现其“赤道”上的读数比在其“两极”处小9%，万有引力常量为G，则该行星的密度 100π3GT2 。若设想该行星自转的角速度加快，恰好使赤道上的物体飘起来，这时该行星的“一天”为 310T 。
【答案】100π3GT2；310T
【解答】解：由万有引力公式可知行星表面的物体受到的万有引力为F=GMmR2
由于“赤道”上的读数比在其“两极”处小9%，说明9%的万有引力提供物体随行星自转做圆周运动的向心力，则有9%GMmR2=m4π2T2R
行星的体积为V=43πR3
则行星的密度为ρ=MV=100π3GT2
当行星自转的角速度加快，恰好使赤道上的物体飘起来，万有引力提供物体做圆周运动的向心力，则有GMmR2=m4π2T12R
又有9%GMmR2=m4π2T2R
联立解得：T1=4π2R3GM=310T
故答案为：100π3GT2；310T
35．“称量”地球的质量
（1）思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于 地球对物体的引力 ；
（2）关系式：mg＝Gmm地R2；
（3）结果：m地=gR2G，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量；
（4）推广：若知道某星球表面的 重力加速度 和星球 半径 ，可计算出该星球的质量。
【答案】（1）地球对物体的引力；（4）重力加速度；半径。
【解答】解：（1）根据重力的产生原因可知，重力是万有引力的一个分力。地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于地球对物体的吸引力；
（4）根据m地=gR2G，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量；
所以若知道某星球表面的重力加速度g和星球半径R，可计算出该星球的质量。
故答案为：（1）地球对物体的引力；（4）重力加速度；半径。
36．如图所示，运行轨道在同一平面内的两颗人造卫星A、B同方向绕地心做匀速圆周运动。已知地球的半径为R，A的轨道半径为B的n倍，地球表面的重力加速度大小为g，卫星B绕地球运行的周期为T。求：
（1）卫星B离地面的平均高度h；
（2）卫星B、A的角速度之比ωBωA。
【答案】（1）卫星B离地面的平均高度为3gR2T24π2−R；
（2）卫星B、A的角速度之比为nn。
【解答】解：（1）设地球的质量为M，在地球表面附近万有引力近似等于重力GMmR2=mg
由万有引力充当向心力可得GMm(R+h)2=m（R+h）4π2T2
解得卫星B离地面的平均高度h=3gR2T24π2−R
（2）由开普勒第三定律TA2TB2=rA3rB3
又因ωBωA=TATB
则卫星B、A的角速度之比ωBωA=nn
答：（1）卫星B离地面的平均高度为3gR2T24π2−R；
（2）卫星B、A的角速度之比为nn。
37．中国未来将进行深空探测，探测太阳系、火星、小行星等，探寻地外生命信息。某探测器绕一小行星做匀速圆周运动，轨道半径为r。地球的半径为R，地球的质量是小行星质量的k（k＞1）倍，地球表面的重力加速度大小为g，引力常量为G，忽略地球自转的影响。求：
（1）地球的质量M；
（2）探测器绕小行星做圆周运动的线速度大小v以及周期T。
【答案】（1）地球的质量是gR2G；
（2）探测器绕小行星做圆周运动的线速度大小是Rgkr，周期是2πrRkrg。
【解答】解：（1）根据万有引力等于重力得GMmR2=mg，
解得地球的质量M=gR2G；
（2）根据万有引力提供向心力可知GMmkr2=mv2r，
解得v=Rgkr，
又T=2πrv，
联立解得T=2πrRkrg。
答：（1）地球的质量是gR2G；
（2）探测器绕小行星做圆周运动的线速度大小是Rgkr，周期是2πrRkrg。
38．假设在某星球表面上，把一个物体从距离地面15m处静止释放，经过2s落到地面，已知该星球半径为R＝1.2×103km．求：
（1）该星球表面上的重力加速度g的大小；
（2）该星球的第一宇宙速度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）物体运动过程只受重力作用，故物体做自由落体运动，那么由自由落体运动位移规律可知：h=12gt2，所以，g=2ht2=7.5m/s2；
（2）根据星球的近地卫星重力等于万有引力，近地卫星做圆周运动，万有引力做向心力可得：mg=GMmR2=mv2R，所以，第一宇宙速度v=gR=3×103m/s；
答：（1）该星球表面上的重力加速度g的大小为7.5m/s2；
（2）该星球的第一宇宙速度为3×103m/s．
39．火星探测器绕火星做半径为r的圆形轨道绕上飞行，该运动可看作匀速圆周运动。已知探测器飞行一周的时间为T，火星视为半径为R的均匀球体，引力常量为G，求：
（1）火星的质量M；
（2）火星表面的重力加速度g。
【答案】（1）火星的质量为4π2r3GT2；
（2）火星表面的重力加速度为4π2r3T2R2。
【解答】解：（1）设火星的质量为M，火星探测器质量为m。
对火星探测器，有
GMmr2=m4π2T2r
整理解得
M=4π2r3GT2
（2）物体在火星表面受到的重力等于万有引力，即
GmMR2=mg
联立解得火星表面的重力加速度
g=GMR2=4π2r3T2R2
答：（1）火星的质量为4π2r3GT2；
（2）火星表面的重力加速度为4π2r3T2R2。
40．“玉兔号”月球车与月球表面的第一次接触实现了中国人“奔月”的伟大梦想。“玉兔号”月球车在月球表面做了一个自由下落试验，测得物体从静止自由下落h高度的时间为t，已知月球半径为R，自转周期为T，引力常量为G。求：
（1）月球表面重力加速度；
（2）月球的质量；
（3）月球的第一宇宙速度。
【答案】（1）月球表面重力加速度为2ht2；
（2）月球的质量为2R2hGt2；
（3）月球的第一宇宙速度为2hRt2。
【解答】解：（1）由自由落体运动规律有
h=12gt2
解得g=2ht2
（2）在月球表面的物体受到的重力等于万有引力mg=GMmR2
联立解得M=2R2hGt2
（3）月球的第一宇宙速度为近月卫星的运行速度，根据重力提供向心力mg=mv12R
解得v1=2hRt2
答：（1）月球表面重力加速度为2ht2；
（2）月球的质量为2R2hGt2；
（3）月球的第一宇宙速度为2hRt2。
41．一颗在赤道上空运行的人造卫星，其轨道半径为r＝2R（R为地球半径），卫星的转动方向与地球自转方向相同。已知地球自转的角速度为ω0，地球表面处的重力加速度为g。求：
（1）该卫星所在处的重力加速度；
（2）该卫星绕地球转动的角速度；
（3）若某时刻卫星通过赤道上某建筑物的正上方，求它下次通过该建筑物上方需要的时间。
【答案】（1）该卫星所在处的重力加速度为g4；
（2）该卫星绕地球转动的角速度为g8R；
（3）它下次通过该建筑物上方需要的时间为2πg8R−ω0。
【解答】解：（1）在地球表面处物体受到的重力等于万有引力
mg=Gm地mR2
在轨道半径为r＝2R处，仍有万有引力等于重力
mg′=Gm地m(2R)2
解得
g′=g4
（2）根据万有引力提供向心力，有
Gm地m(2R)2=mω2⋅2R
在地球表面处物体受到的重力等于万有引力
m′g=Gm地m′R2
联立可得
ω=g8R
（3）卫星绕地球做匀速圆周运动，建筑物随地球自转做匀速圆周运动，当卫星转过的角度与建筑物转过的角度之差等于2π时，卫星再次出现在建筑物上空，以地面为参照物，卫星再次出现在建筑物上方时，建筑物随地球转过的弧度比卫星转过弧度少2π，即
ωΔt﹣ω0Δt＝2π
解得
Δt=2πg8R−ω0。
答：（1）该卫星所在处的重力加速度为g4；
（2）该卫星绕地球转动的角速度为g8R；
（3）它下次通过该建筑物上方需要的时间为2πg8R−ω0。
42．已知某星球半径为R且质量分布均匀，星球两极表面的重力加速度大小为g，赤道表面重力加速度大小为ng（n＜1），引力常量为G。求：
（1）该星球的密度ρ；
（2）该星球自转的周期T。
【答案】（1）该星球的密度ρ为3g4πGR；
（2）该星球自转的周期T为2πRg(1−n)。
【解答】解：（1）（2）物体在两极处，有GMmR2=mg，物体在赤道处有GMmR2−mR4π2T2=mng，又有ρ=43πR3，联立解得ρ=3g4πGR，T=2πRg(1−n)。
答：（1）该星球的密度ρ为3g4πGR；
（2）该星球自转的周期T为2πRg(1−n)。
43．假如宇航员乘坐宇宙飞船到达某行星，在该行星“北极”距地面h处由静止释放一个小球（引力视为恒力，阻力可忽略），经过时间t落到地面。已知该行星半径为R，自转周期为T，引力常量为G。求：
（1）该行星的平均密度ρ；
（2）该行星的第一宇宙速度v；
（3）如果该行星有一颗同步卫星，其距行星表面的高度H为多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设行星表面的重力加速度为g，对小球，根据自由落体运动表达式得：
h=12gt2
解得：g=2ht2
根据在地球表面万有引力等于重力得：
GMmR2=mg
解得行星的质量：M=gR2G=2hR2Gt2
故行星的密度为：
ρ=MV=2hR2Gt243πR3=3h2πGt2R
（2）在行星表面附近，根据万有引力提供向心力得：
GMmR2=mg＝mv2R
解得第一宇宙速度为：
v=gR=2ht2R=2hRt
（3）同步卫星的周期与星球自转的周期相同，根据万有引力提供向心力得：
GMm(R+H)2=m4π2T2(R+H)
解得H=3hT2R22π2t2−R
答：（1）该行星的平均密度ρ为3h2πGt2R。
（2）该行星的第一宇宙速度v为2hRt。
（3）如果该行星有一颗同步卫星，其距行星表面的高度H为3hT2R22π2t2−R。
44．如图所示，返回式月球软着陆器在完成了对月球表面的考察任务后，由月球表面回到绕月球做圆周运动的轨道舱。已知月球的半径为R，轨道舱到月球表面的距离为h，引力常量为G，月球表面的重力加速度为g，不考虑月球的自转。求：
（1）月球的质量M；
（2）月球的第一宇宙速度；
（3）轨道舱绕月飞行的周期T。
【答案】（1）月球的质量为R2gG；
（2）月球的第一宇宙速度为gR；
（3）轨道舱绕月飞行的周期为2π(R+h)RR+hg。
【解答】解：（1）根据万有引力和重力的关系可得：GMmR2=mg
解得：M=R2gG；
（2）月球的第一宇宙速度等于贴近月球表面卫星的环绕速度，则有：mg＝mv12R
解得：v1=gR；
（3）根据万有引力提供向心力可得：GMm(R+h)2=m（R+h）4π2T2，
解得：T=2π(R+h)RR+hg。
答：（1）月球的质量为R2gG；
（2）月球的第一宇宙速度为gR；
（3）轨道舱绕月飞行的周期为2π(R+h)RR+hg。
45．宇航员在某星球表面以初速度v0竖直向上抛出一个物体，物体上升的最大高度为h。已知该星球的半径为R，且物体只受该星球的引力作用，忽略该星球的自转，求：
（1）该星球的质量；
（2）从这个星球上发射卫星的第一宇宙速度。
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）物体做竖直上抛运动，有h=v022g
忽略星球自转，物体的重力等于星球给的万有引力，有mg=GMmR2
联立，可得M=R2v022Gh
（2）卫星贴近星球做匀速圆周运动，有GMmR2=mv2R
联立，可得v=v0R2h
答：（1）该星球的质量为R2v022Gh；
（2）从这个星球上发射卫星的第一宇宙速度为v0R2h。
46．半径为R的某天体的一颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该高度做圆周运动的周期为T，已知引力测量为G，求：
（1）该天体的质量M；
（2）该天体的密度ρ。‍
【答案】（1）该天体的质量为4π2(R+h)3GT2；
（2）该天体的密度为3π(R+h)3GT2R3。
【解答】解：（1）根据卫星所受到的万有引力提供向心力可得：GMmr2=mr4π2T2，其中：r＝R+h
解得M=4π2(R+h)3GT2。
（2）天体的密度ρ=MV，其中V=43πR3
解得：ρ=3π(R+h)3GT2R3。
答：（1）该天体的质量为4π2(R+h)3GT2；
（2）该天体的密度为3π(R+h)3GT2R3。
47．人类发射的空间探测器进入某行星的引力范围后，绕该行星做匀速圆周运动，已知该行星的半径为R，探测器运行轨道在其表面上空高为h处，运行周期为T，引力常量为G。求：
（1）探测器的线速度大小；
（2）该行星的质量；
（3）该行星的平均密度.
【答案】（1）探测器的线速度大小为2π(R+h)T；
（2）该行星的质量为4π2(R+h)3GT2；
（3）该行星的平均密度为3π(R+h)3GT2R3。
【解答】解：（1）圆周运动的轨道半径r＝R+h
根据圆周运动公式可得：v＝rω=2π(R+h)T；
（2）探测器绕行星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力可得：GMmr2=mr4π2T2，
解得M=4π2(R+h)3GT2；
（3）行星的密度为ρ=MV，其中V=43πR3
联立可得：ρ=3π(R+h)3GT2R3。
答：（1）探测器的线速度大小为2π(R+h)T；
（2）该行星的质量为4π2(R+h)3GT2；
（3）该行星的平均密度为3π(R+h)3GT2R3。
48．我国发射的火星探测器“天问一号”正绕火星做匀速圆周运动，轨道半径为r，周期为T，探测器的质量为m，已知火星的半径为R，引力常量为G，求：
（1）火星的质量M；
（2）火星的表面重力加速度g；
（3）火星的第一宇宙速度v。
【答案】（1）火星的质量为4π2r3GT2；
（2）火星的表面重力加速度为4π2r3T2R2；
（3）火星的第一宇宙速度为2πrTrR。
【解答】解：（1）根据万有引力提供向心力，有GMmr2=mr4π2T2
解得M=4π2r3GT2
（2）在火星表面，万有引力等于重力，有GMmR2=mg
解得g=4π2r3T2R2
（3）火星的第一宇宙速度为卫星贴近火星做匀速圆周运动时的速度，有GMmR2=mv2R
解得v=2πrTrR
答：（1）火星的质量为4π2r3GT2；
（2）火星的表面重力加速度为4π2r3T2R2；
（3）火星的第一宇宙速度为2πrTrR。
49．已知地球的质量约是M＝6.0×1024kg，地球半径为R＝6370km，地球表面的重力加速度g＝9.8m/s2，万有引力常量G＝6.67×10﹣11N•m2/kg2。求：
（1）地球表面一质量为m＝10kg受到的重力G1是多少N？
（2）地球表面一质量为m＝10kg受到的万有引力是多少N（保留一位小数）？
（3）比较同一个物体在地球表面的重力和万有引力，说明了什么？
【答案】（1）地球表面一质量为m＝10kg受到的重力G1是98N；
（2）地球表面一质量为m＝10kg受到的万有引力是98.6N；
（3）万有引力的一个分力提供了物体随地球做圆周运动所需的向心力，另一个分力才是物体所受的重力。
【解答】解：（1）地球表面一质量为m＝10kg的物体受到的重力为：G1＝mg＝10×9.8N＝98N；
（2）地球表面一质量为m＝10kg的物体受到的万有引力为：F=GMmR2，其中R＝6370km＝6.37×106m
代入数据解得：F＝98.6N；
（3）比较同一个物体在地球表面的重力和万有引力，说明了万有引力比重力略大一些，万有引力的一个分力提供了物体随地球做圆周运动所需的向心力，另一个分力才是物体所受的重力。
答：（1）地球表面一质量为m＝10kg受到的重力G1是98N；
（2）地球表面一质量为m＝10kg受到的万有引力是98.6N；
（3）万有引力的一个分力提供了物体随地球做圆周运动所需的向心力，另一个分力才是物体所受的重力。
50．已知某星球的半径为R，在该星球表面航天员以速度v0水平抛出的小球，经过时间t其速度方向与水平方向成θ角，忽略星球的自转，引力常量为G0，求：
（1）该星球表面的重力加速度；
（2）如果要在这个星球上发射一颗贴近它表面运行的卫星，该卫星做匀速圆周运动的线速度。
【答案】（1）该星球表面的重力加速度为v0tanθt；
（2）该卫星做匀速圆周运动的线速度为v0Rtanθt。
【解答】解：（1）小球经过时间t其速度方向与水平方向成θ角，根据平行四边形定则知，tanθ=vyv0，
根据vy＝gt得星球表面的重力加速度为：g=v0tanθt；
（2）忽略球体自转影响，重力等于万有引力，设该星球的质量为M，则在星球表面上
G0MmR2=mg
G0MmR2=mv2R
联立解得：v=v0Rtanθt
答：（1）该星球表面的重力加速度为v0tanθt；
（2）该卫星做匀速圆周运动的线速度为v0Rtanθt。
51．已知万有引力常量为G，在月球表面高为h的位置自由释放一小球经t后落地，月球的平均密度为ρ，月球可视为球体，球体积计算公式V=43πR3。求：月球质量M。
【答案】月球质量为9h32π2ρ2G3t6。
【解答】解：设月球半径为R，根据万有引力等于重力GMmR2=mg
月球的质量为M＝ρV
自由落体位移—时间关系为：h=12gt2
联立解得：M=9h32π2ρ2G3t6
答：月球质量为9h32π2ρ2G3t6。
52．一个到达月球的宇航员随身携带一质量为1.0kg的物体A。在月球某处他捡起一块岩石B，然后他把A和B用轻绳连接并挂在一个定滑轮上（不计滑轮与绳的摩擦），如图所示，测量得到B下落的加速度为1.2m/s2。已知地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径113倍，地球表面重力加速度约为10m/s2，计算结果均保留两位有效数字。求：
（1）月球表面重力加速度约为多少？
（2）B的质量约为多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）在月球表面物体重力等于月球对物体的万有引力：m0g1=GM1m0R12
地球表面物体重力等于地球对物体的万有引力：m0g=GMm0R2
根据题意，有：M＝81M1，R=113R1，地球表面重力加速度约为g＝10m/s2
得月球表面的重力加速度：g1＝1.6m/s2；
（2）A和B的加速度大小相等，设轻绳的拉力为T，以B为研究对象，根据牛顿第二定律可得：mBg1﹣T＝mBa
以A为研究对象，根据牛顿第二定律可得：T﹣mAg1＝mAa
联立解得：mB＝6.5kg。
答：（1）月球表面重力加速度约为1.6m/s2；
（2）B的质量约为6.5kg。
53．某天体约是地球质量的32倍，半径越是地球半径的2倍，已知地球表面的重力加速度为9.8m/s2．求：
（1）该天体表面的重力加速度为多大？
（2）如果分别在该天体表面和地球表面以同样的初速度竖直上抛一物体，物体在该天体上上升的最大高度与在地球上上升的最大高度之比是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）在星球表面重力与万有引力大小相等有：GmMR2=mg，可得星球表面重力加速度g=GMR2
可得该天体表面的重力加速度g′=GMR2=G⋅32M地(2R地)2=8GM地R地2=8g=8×9.8m/s2＝78.4m/s2
（2）据竖直上抛运动规律可知，以v0竖直上抛一物体，上升的最大高度h=v022g
所以可知，h星h地=v022g星v022g地=g地g星=18
答：（1）该天体表面的重力加速度为78.4m/s2；
（2）如果分别在该天体表面和地球表面以同样的初速度竖直上抛一物体，物体在该天体上上升的最大高度与在地球上上升的最大高度之比是1：8．
54．宇航员在某星球表面让一个小球从h高度做自由落体运动，经过时间t小球落到星球表面．
（1）求该星球表面附近的重力加速度g；
（2）已知该星球的半径为R，求该星球的质量M．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由自由落体规律得h=12gt2，解得g=2ht2．
（2）由星球表面的万有引力与重力关系得GMmR2=mg，
解得M=2hR2Gt2．
答：（1）该星球表面附近的重力加速度为2ht2．
（2）该星球的质量为2hR2Gt2．
▉题型2 用万有引力定律发现未知天体以及预言彗星回归
【知识点的认识】
（1）海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，各自利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。人们称之为笔尖下的行星。
（2）其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。
（3）预言哈雷彗星回归：英国天文学家哈雷依据万有引力，计算了三颗彗星的轨道，并大胆预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为76年。
55．下列对天体的认识正确的是（ ）
A．牛顿运用万有引力定律预测并发现了海王星
B．由F＝Gm1m2r2可知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大，距离r趋于零时，万有引力无限大
C．行星绕太阳椭圆轨道运动时，太阳位于椭圆轨道的一个焦点处
D．宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于没有受到万有引力的作用
【答案】C
【解答】解：A、伽利略首次观测到，并由英法多位科学家共同计算、发现海王星（1846年被发现），牛顿（1643﹣1724）没有参与，故A错误；
B、万有引力定律应用于质点间，r趋于零时，物体不可以看成质点，故B错误；
C、由开普勒第一定律可知：太阳系九大行星绕太阳椭圆轨道运动时，太阳位于椭圆轨道的一个焦点处，故C正确；
D、宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于万有引力做向心力，故D错误；
故选：C。
（多选）56．下列说法符合史实的是（ ）
A．第谷通过长期观察，建立了日心说
B．开普勒总结了行星运动的三大定律
C．卡文迪什测出了引力常量G，被称为“称量地球重量的人”
D．利用万有引力定律发现的海王星，被称为“笔尖下的行星”
【答案】BCD
【解答】解：A、哥白尼建立日心说，故A错误；
B、开普勒根据第谷的资料总结了行星运动的三大定律，符合史实，故B正确；
C、卡文迪什测出了引力常量G，被称为“称量地球重量的人”，故C正确；
D、利用万有引力定律发现的海王星，被称为“笔尖下的行星，符合史实，故D正确。
故选：BCD。
▉题型3 计算天体的质量和密度
【知识点的认识】
1.天体质量的计算
（1）重力加速度法
若已知天体（如地球）的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg=Gm1m2R2，解得天体的质量M=gR2G，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。这是黄金代换公式的一个常见应用。
（2）环绕法
借助环绕中心天体做匀速圆周运动的行星（或卫星）计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：
2.天体密度的计算
若天体的半径为R，则天体的密度ρ=M43πR3，将M=4π2r3GT2代入上式，可得ρ=3πr3GT2R3。
特殊情况：当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ=3πGT2。
57．2019年1月3日“嫦娥四号”在月球背面成功着陆，在人类历史上首次实现了航天器在月球背面软着陆和巡视勘测。假定测得月球表面的自由落体加速度g，已知月球半径R和月球绕地球运转周期T，引力常量为G，根据万有引力定律，就可以“称量”出月球质量了（忽略月球自转影响）。月球质量为（ ）
A．GR2gB．gR2G
C．4π2R3GT2D．T2R34π2G
【答案】B
【解答】解：AB、在月球表面重力与万有引力相等，有：GMmR2=mg，可得月球质量M=gR2G，故A错误，B正确；
CD、由题意知T为月球绕地球运动的周期，据此如果知道地月距离可以计算中心天体地球的质量，而不能求得不环绕天体月球的质量，故CD均错误。
故选：B。
58．假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0；在赤道的大小为g；地球自转的周期为T；引力常量为G．据此可求得地球的第一宇宙速度为（ ）
A．T2πg(g−g0)B．T2πg0(g−g0)
C．T2πg0(g0−g)D．T2πg(g0−g)
【答案】C
【解答】解：在两极地区，物体受到地球的万有引力，其大小为mg0，在赤道处，地球对物体的万有引力大小仍为mg0，
万有引力和重力的合力提供圆周运动向心力有即有：m（g0﹣g）＝m(2πT)2R，解得：R=(g0−g)T24π2；
质量为m的物体在两极所受地球的引力等于其所受的重力，有：GMmR2=mg0，
解得：M=g0(g0−g)2T416π4G，
万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：GMmR2=mv2R，
解得，地球的第一宇宙速度：v=T2πg0(g0−g)，故C正确，ABD错误；
故选：C。
（多选）59．2021年10月16日、神舟十三号载人飞船顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，假设神舟十三号载人飞船在距地面高度为h的轨道做圆周运动，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．神舟十三号载人飞船的线速度大于地球第一宇宙速度
B．神舟十三号载人飞船运行的周期为T=2π(R+h)3gR2
C．神舟十三号载人飞船轨道处的重力加速度为gR2(R+h)2
D．地球的平均密度ρ=3g4πGR2
【答案】BC
【解答】解：ABC．根据万有引力提供向心力可得
GMmr2=mv2r
GMmr2=m4π2rT2
GMmr2=man
且在地球表面满足
GMmR2=mg
即
GM＝gR2
由题意知神舟十三号载人飞船轨道半径为
r＝R+h
所以解得周期为
T=2π(R+h)3gR2
线速度为
v=gR2R+h
由于神舟十三号载人飞船的轨道半径大于地球近地卫星的轨道半径，所以其线速度小于地球近地卫星线速度，即小于第一宇宙速度；
向心加速度即重力加速度为
an=gR2(R+h)2
故A错误，BC正确；
D．由
mg=GMmR2
可得地球质量
M=gR2G
地球的体积
V=43πR3
根据密度公式得
ρ=MV=gR2G43πR3=3g4πGR
故D错误。
故选：BC。
60．（1）某物理小组的同学设计了一个粗制玩具小车通过凹形桥最低点时的速度的实验．所用器材有：玩具小车、压力式托盘秤、凹形桥模拟器（圆弧部分的半径为R＝0.20m）。
完成下列填空：
①将凹形桥模拟器静置于托盘秤上，如图（a）所示，托盘秤的示数为1.00kg；
②将玩具小车静置于凹形桥模拟器最低点时，托盘秤的示数如图（b）所示，该示数为 1.40 kg；
③将小车从凹形桥模拟器某一位置释放，小车经过最低点后滑向另一侧，此过程中托盘秤的最大示数为m；多次从同一位置释放小车，记录各次的m值如下表所示：
④根据以上数据，可求出小车经过凹形桥最低点时对桥的压力为 7.9 N；小车通过最低点时的速度大小为 1.4 m/s。（重力加速度大小取9.80m/s2，计算结果保留2位有效数字）
（2）一般宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入靠近该行星表面的圆形轨道绕行数圈后，着陆在行星上，宇宙飞船上备有以下实验仪器。
A．弹簧测力计一个
B．精确秒表一只
C．天平一台（附砝码一套）
D．物体一个
为测定该行星的密度，宇航员在绕行中进行了一次测量，依据测量数据可以求出密度。
①绕行时测量所用的仪器为 B （用仪器的字母序号表示），所测物理量为 周期T （用文字说明和相应符号表示）。
②密度表达式： ρ=3πGT2 （万有引力常量为G）。
【答案】（1）①1.40；②7.9；③1.4；（2）①B；周期T；②ρ=3πGT2
【解答】解：（1）②根据秤盘指针可知量程为10kg，分度值为0.1kg，要估读一位，则示数为1.40kg；
④记录的托盘示数的平均值为m=1.80+1.75+1.85+1.75+1.905kg=1.80kg
所以小车经过凹桥最低点时小车对桥的压力为N＝mg﹣m′g＝1.81×9.80N﹣1.00×9.80N≈7.9N
由题可知小车的质量为m车＝1.40kg﹣1.00kg＝0.40kg
由牛顿第二定律可得N−m车g=m车v2R
解得v＝1.4m/s
（2）①由GMmR2=m4π2T2R
M=ρ×43πR3
可得该行星的密度ρ=3πGT2
所以为测定该行星的密度，需要秒表测量飞船做圆周运动的周期，即选B；
②由上可知，该行星的密度为ρ=3πGT2
故答案为：（1）①1.40；②7.9；③1.4；（2）①B；周期T；②ρ=3πGT2题型1 万有引力与重力的关系（黄金代换）
题型2 用万有引力定律发现未知天体以及预言彗星回归
题型3 计算天体的质量和密度

行星名称
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
轨道半径R/AU
1.0
1.5
5.2
9.5
19
30
序号
1
2
3
4
5
m（kg）
1.80
1.75
1.85
1.75
1.90