2025-2026学年下学期江西南昌高三数学3月一模试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期江西南昌高三数学3月一模试卷含答案，共9页。试卷主要包含了 已知圆 O等内容，欢迎下载使用。
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的。
1. 已知集合 A={x∈ℕ∣x≤4},B={x∣lnx≥1} ，则 A∩B= ( )
A. {4} B. {3,4} C. {2,3,4} D. {1,2,3,4}
2. 已知复数 z=−2+3i ，则 z= ( )
A. 1 B. 5 C. 13 D. 5
3. 若 3a=2 ，则 a 所在的范围是( )
A. −1,0 B. 0,12 C. 12,1 D. 1,2
4. 某圆锥的轴截面是一个斜边长为 4 等腰直角三角形, 则此圆锥的侧面积为( )
A. 42π B. 82π C. 162π D. 42+4π
5. 已知 fx=2−x,x≤−1−x2+4x+1,x>−1 ,则不等式 fx0,00 B. 2b>1
C. 1a+9b≥16 D. a2+b2≥12
10. 在正三棱柱 ABC−A1B1C1 中， AB=AA1,M,N,P 分别为 CC1,BC,AA1 的中点，则下列说法中正确的有( )
A. A1B// 平面 NPC1 B. 平面 ANC1⊥ 平面 BB1C1C
C. B1M⊥AC1 D. B1M⊥ 平面 NPC1
11. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A−2,0,B2,0 ,动圆 C:x−12+y−r2=r2r>0 ,过点 A,B 分别作斜率为 k1,k2k1k2≠0 的两条直线与动圆 C 相切,两切线交于第一象限的点 Px0,y0 ，设点 B 到直线 PA 的距离为 d ，则下列说法中正确的是( )
A. PB>1 B. k13 D. d1a .
19. (本题 17 分)已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 22 ，对角线 AC1 的中点为 F ，动点 P 在平面 AA1C1C 内,且点 P 到平面 AA1B1B 的距离等于 22PF .
(1)求四棱锥 P−AA1B1B 体积的最小值；
(2)记点 P 的轨迹为曲线 M ，点 G,R,Q 是曲线 M 上不同三点.
(i) 若平面 AB1F 与轨迹 M 相交于 RG 两点,求线段 RG 的长;
(ii) 若点 G 在点 F 上方,且 GF⊥AC,GR,GQ 与平面 ABCD 所成角相等,平面 α 过 RQ 且与 AB 平行，判断平面 α 与平面 ABCD 的夹角是否为定值，若是定值，求出这个夹角的余弦值； 若不是定值, 请说明理由.
2026届高三年级三月测试 数学 参考答案及评分意见
一、单项选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题所给的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的。
二、多项选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题所给的四个选项中, 有多项是符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有错选的得 0 分。
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 80 ; 13. 7+3 ; 14. 611296 .
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(1) 由正弦定理可得 sinBsinA=2sinBcsA ,即 tanA=12 ; 5 分
(2)因为 tanA=12 ，所以 sinA=15,csA=25 ，
所以 S△ABC=12bcsinA=b5 ,即 b5=2,b=25 , 8 分
所以 a2=b2+c2−2bccsA=20+4−2×25×2×25=8 ,即 a=22 , 11 分所以 csC=a2+b2−c22ab=8+20−42×22×25=31010 . 13 分
16.(1)在 A (平均每天使用手机时间 1 小时以下)条件下，
近似的频率为 40100=0.4 ,
用频率估计概率,得 PB∣A≈0.4 , 3 分
在 A (平均每天使用手机时间 1 小时及以上) 条件下,近视的频率为 65100=0.65 ,
用频率估计概率,得 PB∣A≈0.65 , 6 分
使用手机时间少于 1 小时的学生近视概率约为 0.4 ，而使用手机时间 1 小时及以上的学生近视概率约为 0.65 ，两者有较大差异. 因此直观判断，平均每天使用手机时间与近视有关联，使用手机时间越长，近视的概率越高. 8 分
(2) a=40,b=60,c=65,d=35,n=200 ,
χ2=200×40×35−60×652100×100×105×95=200×1400−3900210000×9975≈12.531, 12 分
由于 χ2>6.635 ,所以有 99% 的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关.
15 分
17.(1)由已知, a11+q3=52a1q+q2=−12 ,
两式相除可得 1+q3q1+q=−133 ,即 q2−q+1q=−133 ,解得 q=−3 , 4 分
故 a1=521+q3=−2 ,所以 an=a1qn−1=−2⋅−3n−1 ; 7 分
(2) bn=2n⋅3n−1 ， 9 分
所以 Sn=21×30+2×31+3×32+…+n−1⋅3n−2+n⋅3n−1 ①
所以 3Sn=21×31+2×32+3×33+…+n−1⋅3n−1+n⋅3n ②
则②- ①得: 2Sn=2−1−31−32−…−3n−1+n⋅3n
=−2×1−3n1−3+2n⋅3n
=2n−1⋅3n+1
所以 Sn=2n−1⋅3n+12 . 15 分
18.(1) fx=−xlnx+lna+1x ,
由 f′x=−lnx+lna ,
当 x∈0,a 时, f′x>0 ,即 fx 在 0,a 为增函数;
当 x∈a,+∞ 时, f′xx2>0 ，
fx1−fx21a . 17 分
方法二: hx=aex−lnx+lna=ex+lna+x+lna−lnx+x
设 Fx=lnx+x ,因为 Fx 在 0,+∞ 单调递增,
又因为 ex+lna≥ex−1≥x 所以 Fex+lna≥Fx
所以 hx≥0 ,即 gx 在 0,+∞ 为增函数,
又因为 x2>x1 ,所以 gx2>gx1 ,即 ex2−ex1>1a . 17 分
19.(1)设点 P 到平面 AA1B1B 和直线 AA1 的距离分别为 d1,d2 ，因为点 P 在平面 AA1C1C 内,且平面 AA1B1B 与平面 AA1C1C 的夹角为 π4 ,因此 d1=22d2 ,得 d2=PF ,所以点 P 的轨迹是 F 为焦点， AA1 为准线的抛物线，当点 P 在抛物线的顶点 O 处时， d2 最小， 最小值为 14AC=1 ,此时 dlmin=22 ,
所以四棱锥 P−AA1B1B 体积的最小值为 13×8×22=423 ; 5 分
(2)设 AA1 的中点为 E ，则 EF//AC ，如图 1，以 EF 的中点 O 为原点， EF 所在直线为 y 轴,过点 O 且垂直于平面 ABCD 的直线为 z 轴,过点 O 且平行于 BD 的直线为 x 轴,建立空间直角坐标系 O−xyz ,设点 P0,y,z ,则 z2=4y , 7 分
(i) 若平面 AB1F 与平面 AA1C1C 的交线为 AF ,因此 R,G 是直线 AF 与抛物线 M 的交点,
如图 2,在平面 AA1C1C 中,可以设 GR:z=22y−1 ,
与抛物线 M 方程联立,得: y2−10y+1=0 ,
因此, GR=GF+RF=y1+1+y2+1=12 . 10 分
(ii) 如图 3,在平面 AA1C1C 中,点 G 在点 F 上方,且 GF⊥AC ,
得到点 G 坐标为 1,2 ,因为 GR,GQ 与平面 ABCD 所成角相等,
所以 GR,GQ 与 AC 所成角相等,因此, GR,GQ 的斜率互为相反数,
设 Ry1,z1,Qy2,z2 ,则 z1−2y1−1+z2−2y2−1=0 ,
得 z1−2z124−1+z2−2z224−1=0⇒z1+z2=−4 ,
因此, kRQ=z1−z2y1−y2=z1−z2z124−z224=4z1+z2=−1 , 13 分
因此,在空间直角坐标系中, RQ 的方向向量为 0,1,−1 ,又 AB=2,2,0 ,
设平面 α 的法向量 n=x,y,z ,
由 n⊥RQ⇒y=z ,由 n⊥AB⇒x+y=0 ,令 y=1 ,则 n=−1,1,1 ,
又平面 ABCD 的法向量 m=0,0,1,cs=33 ,
平面 α 与平面 ABCD 的夹角为定值,其余弦值为 33 . 17 分
图 1


图 2

图 3使用手机时间
近视
不近视
总计
少于 1 小时
40
60
100
1 小时及以上
65
35
100
总计
105
95
200
Pχ2≥k
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
C
A
D
C
A
B
题号
9
10
11
答案
BCD
BC
ABD