河北省保定市蠡县蠡县中学2025-2026学年高二下学期开学测试数学试卷含答案（word版）

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1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容:人教 A 版选择性必修第一册，选择性必修第二册第 四章。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1、在公差不为 0 的等差数列 an 中， a1+am=a3+a12 ，则 m=
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
2. 若直线 2x+m−1y−3=0 与 mx+3y+3=0 互相垂直，则 m=
A. -2 B. 3 C. -2 或 3 D. 35
3. 数列 an 为单调递减的等比数列,且 a3+a5=13,a2a6=36 ,则公比 q=
A. 23 B. −23 C. −32 D. 49
4. 在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, AB=2AE,CF=2FC1 ,则 EF=
A. 12AB+AD+12AA1 B. 12AB+AD+23AA1
C. AB+12AD+12AA1 D. 12AB+AD+13AA1
5. 设等差数列 an,bn 的前 n 项和分别为 Sn,Tn ,若 SnTn=n+43n+2 ,则 a6b6=
A. 12 B. 819 C. 37 D. 34
6. 曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度, 曲率半径越大, 则曲线在该点处的弯曲程度越小. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 上点 Px0,y0 处的曲率半径公式为 R= a2b2x02a4+y02b432 . 若椭圆 C 上所有点相应的曲率半径的最大值为 92 ，最小值为 43 ，则椭圆 C 的标准方程为
A. x29+y26=1 B. x26+y22=1
C. x28+y24=1 D. x29+y24=1
7. 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 S6S3=6 ,则 S12S6=
A. 6 B. 16 C. 26 D. 36
8. 已知 F 是双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右焦点,直线 y=kx 与双曲线 C 交于 M,N 两点,其中 M 在第一象限, NF=4MF ,且 ∠MFN=2π3 ,则双曲线 C 的离心率为
A. 133 B. 2C. 72 D. 3
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.
9. 已知点 A9,9,6 在平面 α 内,点 B1,1,0 在平面 α 外,且平面 α 的一个法向量为 n=(2,1 , 1),则下列选项正确的是
A. 向量 AB 在向量 n 上的投影向量为 5n B. 向量 AB 在向量 n 上的投影向量为 -5n
C. 点 B 到平面 α 的距离为 56 D. 点 B 到平面 α 的距离为 65
10. 已知数列 an 的首项 a1=45,an+1=2an−anan+1 ,则
A. 1an+1 是等比数列
B. an=2n+12n+1+1
C. 数列 1an 的前 n 项和为 n+12−12n
D. 数列 an2n+2+1 的前 n 项和为 15−12n+2+1
11. 已知圆 C:x2+y2+2x+2y−2=0 与直线 l:a−1x−y−a+3=0 ,点 P 在圆 C 上,点 Q 在直线 l 上,则下列选项正确的是
A. 直线 l 过定点 1,2
B. 若直线 l 与圆 C 相切,则 a=1712
C. 若 a≠0 ，则 PQmin=522
D. 当 a=0 时，从 Q 点向圆 C 引切线，切线长的最小值是 342
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 若数列 an 满足 a1=3,anan+1an+an+1=2 ,则 a2026= _____▲_____.
13. 抛物线 y2=−28x 上有一动点 P ，其焦点为 F ， A−9,5 ，则 PF+PA 的最小值为_____▲_____.
14. 在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中, AB=2AD=3AA1=6,∠A1AB=∠DAB= ∠A1AD=60∘ ,则 BD1= _____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知抛物线 C:y2=2pxp>0 经过 △ABC 的三个顶点， A6,6 ，且直线 AB ， AC 的倾斜角互补.
(1)求抛物线 C 的方程；
(2)求直线 BC 的斜率.
16.(15 分)
已知数列 an 满足 13a1−1+23a2−1+33a3−1+⋯+n3an−1=n2 .
(1)求 an 的通项公式；
(2)求 an 的前 n 项和 Sn ；
(3)求数列 an⋅3n+1 的前 n 项和 Tn .
17. (15 分)
在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， △PCD 为等边三角形， PA= 22,E 为 PD 的中点.
(1)证明:平面 PCD⊥ 平面 ABCD .
(2)求平面 ABE 与平面 BCE 夹角的余弦值.

18. (17分)
在平面直角坐标系中,已知 m=x+2,y,n=x−2,y ,且 m+n=42 ,记动点 Tx,y 的轨迹为曲线 C .
(1)求曲线 C 的方程；
(2)已知点 P 是曲线 C 上的一动点，不过原点 O 的直线 l 与曲线 C 交于 M;N 两点，记直线 PM,PN,MN,OP 的斜率分别为 k1,k2,k3,k4 ,若 k3+k4=0 ,求 k1k2 的值.
19. (17 分)
已知 Sn 为正项数列 an 的前 n 项和,且 1−qSn=q1−an .
(1)求 an 的通项公式.
(2)已知数列 bn 满足:① bn>0,b1q≥1,b2q=1 ，② bm+n∈bmbnq,2bmbnq ，③ b4m−1