陕西省金太阳联考2025-2026学年下学期高三3月联考数学试卷含答案

这是一份陕西省金太阳联考2025-2026学年下学期高三3月联考数学试卷含答案，共11页。试卷主要包含了 本试卷主要考试内容， 已知抛物线 C， 已知直线 l等内容，欢迎下载使用。
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知集合 A={1,2,3,4,5,6},B={1,2},C={0,2} ,则 A∩B∪C=
A. {0} B. {1,2} C. {0,2} D. {0,1,2}
2. 已知复数 z=3+aia∈R 在复平面内对应的点在第一象限,且 z=5 ,则 a=
A. 3 B. 4 C. 5 D. -4
3. 已知 fx 是偶函数，当 x>0 时， fxy=fx+fy+1 ，则 f−1=
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
4. 下列函数中, 定义域和值域相同的是
A. y=tanx B. y=2x
C. y=lnx D. y=1x
5. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F ，准线为 l ，若点 −6,0 与点 F 关于直线 l 对称， 则 p=
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
6. 已知函数 fx=sinx+sinx ,则
A. fx+π2 为偶函数 B. fx+π2 为奇函数
C. fx+π 为奇函数 D. fx+π 为偶函数
7. 已知某足球队共有 13 名球员，其中主力球员 11 名，替补球员 2 名. 假设主力球员定点射门的命中率为 0.8 , 替补球员定点射门的命中率为 0.6 . 现从该球队随机抽取 1 名球员进行定点射门, 连续射门 2 次, 则恰好命中 1 次的概率为
A. 30169 B. 60169 C. 112325 D. 213325
8. 已知直线 l:x−y=0 交椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 于 A,B 两点,若 AB≥a ,则椭圆 C 的离心率的取值范围是
A. 0,427 B. 0,76 C. 0,77 D. 0,66
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 cs2α+tanα=1 ,则 tanα 的值可能为
A. -1 B. 1 C. 2 D. 0
10. 蜥蜴的体温与阳光照射的关系式近似为 Tt=120t+5+k ( k 为参数),其中 Tt 为蜥蜴的体温(单位:℃)， t 为太阳落山后的时间(单位: min ). 已知太阳刚落山时，蜥蜴的体温为 39℃，下列结论正确的是
A. 太阳落山后，蜥蜴的体温始终高于 15 °C
B. 太阳落山后的 5 min 内,蜥蜴的体温始终高于 28​∘C
C. 从 t=5 到 t=15 ，蜥蜴的体温下降了 6​∘C
D. 存在太阳落山后的 a 时刻，使得从 t=a 到 t=a+5 ，蜥蜴的体温下降 15​∘C
11. 已知半径为 R1R1=1 的圆 M1 与射线 l:y=kxk>0,x≥0、x 轴正半轴均相切,半径为 RnRn>Rn−1,n≥2 的圆 Mn 与射线 l 、 x 轴正半轴均相切，且与圆 Mn−1 外切，则下列结论正确的是
A. 若 k=3 ,则 R3=9
B. 若 k=427 ,则点 M10 的坐标为 5122,256
C. 若 k=427 ,则数列 Rn 的前 n 项和小于 2n
D. RnRn−1 的取值范围为 1,3+22
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知向量 a=−1,6,b=1,x ，若 a//b ，则 a⋅b= _____▲_____.
13. 记等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a1=1 ， S20262026−S20242024=2 ，则 a2025= _____▲_____.
14. 如图，在三棱锥 P−ABC 中， D 是棱 AC 上的点， PD=BD=CD=2AD ， PB⊥BC,PB=8,PC=10 ，三棱锥 P−ABC 的体积是 1239 ，则 AC= _____▲_____.

四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13 分)
脐橙营养丰富，香甜可口，深受大家喜爱. 种植脐橙有较好的经济效益，某地近 5 年的脐橙产量 y (单位:万吨)如下表:
已知年份编号 x 和脐橙产量 y 线性相关.
(1)用最小二乘法求出 y 关于 x 的经验回归方程；
(2)试预测该地 2027 年的脐橙产量.
附:经验回归方程 y=a+bx 中斜率和截距最小二乘的估计公式分别为 b= i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2,a=y−bx.
16. (15 分)
已知 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 acsB+bcsA=4,8sinAcsC= asinC .
(1)求 c 及 C ；
(2)求 △ABC 周长的最大值.
17. (15 分)
如图，在圆台 O1O2 中，下底面圆 O2 的直径 AB=22, 点 C 在圆 O2 上，且 AC=BC ，上底面圆 O1 的半径 O1P=1 ，且平面 ACP⊥ 平面 ABC .

(1)证明: PO1//BC .
(2)若圆台 O1O2 的高为 2，求平面 APO1 与平面 PBC 所成的二面角的正弦值.
18. (17分)
已知点 A2,−1,B10,7 均在双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 上.
(1)求 C 的方程.
(2)设点 P,Q 均在 C 上，且满足 PA⋅PB=QA⋅QB=t .
( i ) 若 M6,3 ,证明: PM=QM .
(ii) 若直线 PQ 的斜率为 2,求 t 的值.
19. (17分)
已知函数 fx=ex−12x2−asinx−1 .
(1)当 a=0 时,求曲线 y=fx 在原点处的切线方程；
(2)若 fx 在 −π2,π2 上单调递增，求 a 的取值范围；
(3)当 0≤a≤1 时，证明:当 x>0 时， fx>0 .
高三数学参考答案
1. D A∩B∪C={0,1,2} .
2.B 因为 z=5 ,所以 32+a2=5 ,解得 a=±4 . 因为 z 在复平面内对应的点在第一象限,所以 a=4 .
3.B 令 x=y=1 ,则 f1=f1+f1+1 ,得 f1=−1 ,所以 f−1=f1=−1 .
4.D 函数 y=1x 的定义域和值域均为 −∞,0∪0,+∞ .
5.C 易知 Fp2,0,l:x=−p2 . 由题意可得 −6+p2=2⋅−p2 ,解得 p=4 .
6. A fx+π2=sinx+π2+sinx+π2=csx+csx ,是偶函数.
7. C 记“恰好命中 1 次”为事件 A ，记“抽取的球员为主力球员”为事件 B . 由题意得 PB= 1113,PB=213.PA∣B=C21×0.8×1−0.8=825,PA∣B=C21×0.6×1−0.6=1225, 则 PA=PA∣BPB+PA∣BPB=112325 .
8. A 不妨设 Ax0,y0x0>0,y0>0 . 由 x02a2+y02b2=1,x0−y0=0, 得 x02=11a2+1b2 . 因为 AB=22x0 ≥a ,所以 8x02≥a2 ,即 81a2+1b2≥a2 ,化简得 a2≤7b2=7a2−7c2,c2a2≤67 ,所以 e=ca≤427 , 故椭圆 C 的离心率的取值范围是 0,427 .
9. BD 因为 cs2α+tanα=1 ,所以 1−2sin2α+sinαcsα=1 ,则 2sin2α=sinαcsα . 若 sinα=0 ,则 tanα=0 . 若 sinα≠0 ,则 2sinα=1csα ,即 2sinαcsα=sin2α=1 ,所以 α=π4+kπ,k∈Z , tanα=1 .
10. AC 因为太阳刚落山时,蜥蜴的体温为 39∘C ,所以 T0=1205+k=39 ,解得 k=15 . 因为 t≥0 ,所以 Tt=120t+5+15>15 ,所以太阳落山后,蜥蜴的体温始终高于 15​∘C,A 正确. 函数 Tt 在 [0,+∞) 上单调递减， T5=1205+5+15=27 ，所以太阳落山后的 5 min 内，蜥蜴的体温始终高于 27∘C ， B 错误. T15=12015+5+15=21,T5−T15=6 ，从 t=5 到 t=
15，蜥蜴的体温下降了 6 °C，C 正确. 令 Ta−Ta+5=15 ，即 120a+5+15−120a+5+5+ 15) =15 ,化简得 a2+15a+10=0 ,该方程的两个根为负数,所以不存在太阳落山后的 a 时刻，使得从 t=a 到 t=a+5 ，蜥蜴的体温下降 15​∘C ，D错误.

11. ACD 如图,过点 Mn−1 ， Mn 分别作 Mn−1 A ⊥l ， Mn B ⊥l ，垂足分别为 A,B ,过点 Mn−1 作 Mn−1C⊥MnB ,垂足为 C .
设 ∠AOMn=α ,易得 ∠MnMn−1C=∠AOMn=α,MnMn−1 =Rn+Rn−1,MnC=Rn−Rn−1.
由 sin∠MnMn−1C=sinα=MnCMnMn−1=Rn−Rn−1Rn+Rn−1 ,得 RnRn−1= 1+sinα1−sinα ,所以 Rn 是首项为 1,公比为 1+sinα1−sinα 的等比数列,所以 Rn=1+sinα1−sinαn−1 ,点 Mn 的坐标为 Rntanα,Rn . 由 k=tan2α=3 ,得 α=π6 ,所以 R3=1+sinπ61−sinπ62=9, A 正确.
由 k=tan2α=2tanα1−tan2α=427 ,得 tanα=24 (负根舍去),则 sinα=13,1+sinα1−sinα=2 ,所以 R10=29=512 ,点 M10 的坐标为 10242,512 , B错误.
Rn 的前 n 项和为 1+21+⋯+2n−1=1×1−2n1−2=2n−10 ,得 00 ,即 x>sinx . 16 分
因为 0≤a≤1 ,所以 −ax≤−asinx ,所以 ex−12x2−asinx−1≥ex−12x2−ax−1>0 , 所以当 x>0 时, fx>0 . 17 分年份
2021
2022
2023
2024
2025
年份编号 x
1
2
3
4
5
脐橙产量 y
20
22
24
28
30