安徽省安庆市第四中学2025-2026学年度第一学期 九年级期末数学试卷

这是一份安徽省安庆市第四中学2025-2026学年度第一学期 九年级期末数学试卷，共39页。试卷主要包含了【本题12分】，【本题14分】等内容，欢迎下载使用。
温馨提示：满分为150分．你将有120分钟的答题时间．
一、单选题【本大题共10个小题，每小题4分，共计40分】
1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则等于（ ）
A. B. C. D.
3. 中国航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，所对的边分别为a，b，c，且和均为锐角，若，则是（ ）
A. 直角三角形B. 等边三角形
C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
7. 如图所示的正八边形是用八个全等的等腰三角形拼成的，，则正八边形的面积为（ ）
A. B. C. 8D. 16
8. 如图中，，点在轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过的斜边的中点，与边交于点，若的面积为9，则的值为（ ）
A. 9B. 10C. 12D. 18
9. 如图所示，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，点P在经过点A（﹣3，0），B（0，4）的直线上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ的最小值为（ ）
A. B. 2.4C. D. 3
10. 如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题【本大题共4个小题，每小题5分，共计20分】
11. 已知函数图象上两点，，则与的大小关系为___________．(填“”，“”或“”)
12. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十五步有木，问出南门几何步见木？”其大意如下：如图，、分别是正方形边和的中点，正方形的边长为步，出东门继续往东走步有一树木点，问出南门继续往南走多少步恰好能看到位于点处的树木即点在直线上？则根据以上信息，算出的长是 ______ 步
13. 如图，点为外接圆的圆心，点为的内心，连接，，若，则的度数为___________°．
14. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，和相交于点，点落在线段上，连接．
（1）若，则_______；
（2）若，则_______．
三、解答题【本大题共2个小题，每小题8分，共计16分】
15. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）将向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到请画出；
（2）以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且相似比为．
16. 如图，四边形内接于，是的直径，，的延长线交于点E，延长交于点P，．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）连接， ，，的长为 ．
四、解答题【本大题共2个小题，每小题8分，共计16分】
17. 如图，与是半径为的两个等圆，是的中点，过点的直线交于、两点，交于、两点．
（1）求证：；
（2）若圆心、间的距离为10，，求的长．
18. 已知抛物线（b为常数）顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．
（1）求b的值．
（2）点在抛物线上，点在抛物线上．若，求h最大值．
五、解答题【本大题共2个小题，每小题10分，共计20分】
19. 现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，．
（1）填空： ， ；
（2）已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，）
20. 如图，是半直径，，连接，沿翻折弧，恰好经过圆心O．
（1）________；
（2）若，求的半径r；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
六、【本题12分】
21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积；
（3）根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集．
七、【本题12分】
22. 综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系．
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人．
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式：
结合上述信息，请完成下述问题：
（1）当开通4条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为_____，排队人数与安检时间的函数关系式为_____．
【模型应用】
（2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
（3）已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始8分钟内（包含8分钟）减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支．
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析．以提高模型的准确性和实用性．
八、【本题14分】
23. 【问题背景】（1）如图1，，与交于点O，过点O的直线分别与，交于E，F两点，求证：．
【问题探究】（2）如图2，点E，F分别是平行四边形边，上的点，连接，交于点M，连接并延长交于点N．
①如图3，若平行四边形为正方形，E，F分别是边，的中点．求证：；
②如图2，求证：．
安庆四中2025-2026学年度第一学期
九年级期末数学试卷
温馨提示：满分为150分．你将有120分钟的答题时间．
一、单选题【本大题共10个小题，每小题4分，共计40分】
1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的定义，二次函数定义为形如的整式函数，据此解答即可．
【详解】解：A、，符合定义，故此选项符合题意；
B、此函数为一次函数，不符合二次函数的定义，故此选项不符合题意；
C、表达式为分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故此选项不符合题意；
D、表达式为分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故此选项不符合题意；
故选：A．
2. 若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，由已知条件可求出，再代入所求表达式化简．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
3. 中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键．把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的概念逐项判断即可．
【详解】解：A、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，
不是中心对称图形；
B、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，
∴不是中心对称图形；
C、图案能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，
∴是中心对称图形；
D、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，
∴不是中心对称图形．
故选：C．
4. 如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三线合一，解直角三角形，根据三线合一可得，，导角得到，根据得到，即可得出结果．
【详解】解：∵为BC的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，在中，，
∴；
故选B．
5. 如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了弧长公式、求圆锥的底面半径、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
先求出剩下的扇形的角度，再由弧长公式计算可得剩下的扇形的弧长，从而求出圆锥的底面半径，最后由勾股定理计算即可得解．
【详解】解：∵从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，
∴剩下的扇形的角度为，
∴剩下的扇形的弧长为，
∴圆锥的底面半径为，
∴圆锥的高为，
故选：B．
6. 在中，所对的边分别为a，b，c，且和均为锐角，若，则是（ ）
A. 直角三角形B. 等边三角形
C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三角函数，等腰三角形的判定，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键．
过点A作于点D，则，推导出，得到是线段的垂直平分线，继而推断出，则是等腰三角形，即可解答．
【详解】解：过点A作于点D，则
，
∴．
∴
，
是线段垂直平分线，
，
即，
是等腰三角形．
故选C．
7. 如图所示的正八边形是用八个全等的等腰三角形拼成的，，则正八边形的面积为（ ）
A. B. C. 8D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形和圆的有关计算；根据已知得出中心角是解题关键．过作于，求得，根据正八边形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到、、与的关系，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：过作于，
，
，
，
正八边形的面积，
故选：A．
8. 如图中，，点在轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过的斜边的中点，与边交于点，若的面积为9，则的值为（ ）
A. 9B. 10C. 12D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，相似三角形的性质和判定，三角形的面积；比例系数k的几何意义可得，由三角形中线的性质可得，进而得出，再由，可列出方程求解.
【详解】解：过M点作，垂足为，
∵的中点为，，
∴，
∴，
∵反比例函数解析式为，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，解得.
故选：C.
9. 如图所示，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，点P在经过点A（﹣3，0），B（0，4）的直线上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ的最小值为（ ）
A. B. 2.4C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由切线的性质可知，线段PQ、OP、OQ组成直角三角形，其中OQ为半径，是个定值，勾股定理可知，当切线PQ最短时，必有OP最短，由此当时，此时切线长PQ有最小值，通过三角形等面积法求出PQ，再利用勾股定理求出PQ．
【详解】解：如图所示：连接OP、OQ，
PQ切⊙O于点Q，
，为直角三角形，
由勾股定理可知：，
故当OP有最小值时，PQ也有最小值,
根据点到直线距离，垂线段最短可知：当，OP有最小值，
如下图所示：过点O向AB作垂线，垂足为P，并在圆上找到对应切点Q，连接PQ与OQ．
点A（﹣3，0），B（0，4）,
，,
在中，由勾股定理可得：,
利用等面积法可得： 解得：
故，
故选：C．
【点睛】本题主要是考查了切线的性质、勾股定理、等面积法求斜边高、点到直线距离，利用勾股定理，将求切线长的最小值，转化成求斜边的最小值，正确找到动点位置，是解决此题的关键．
10. 如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得和，则，分三种情况求解，当时，结合题意求得和，利用面积公式求解：当时，；当时，，同理，此时，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：如图，
由题意知，，，
则，
∴，
①当时，
∵以的速度沿方向匀速运动，
∴，
∵，，，
∴，
即，
；
②当时，
；
③当时，如图，
则，同理，，
；
故选：B．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和动态思想的应用．
二、填空题【本大题共4个小题，每小题5分，共计20分】
11. 已知函数图象上两点，，则与的大小关系为___________．(填“”，“”或“”)
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，由于开口向下，距离顶点越远，函数值越小．
【详解】解：的顶点坐标为，且二次项系数，因此抛物线开口向下．
点到顶点的水平距离为，点到顶点的水平距离为．
由于开口向下，距离顶点越远，函数值越小，且，
故．
故答案为：
12. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十五步有木，问出南门几何步见木？”其大意如下：如图，、分别是正方形边和的中点，正方形的边长为步，出东门继续往东走步有一树木点，问出南门继续往南走多少步恰好能看到位于点处的树木即点在直线上？则根据以上信息，算出的长是 ______ 步
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．
证明，得到，即可求出的长．
【详解】解：由题意可知，步，步，步，
∴，
，
又，
，
，
，
，
故答案为：．
13. 如图，点为外接圆的圆心，点为的内心，连接，，若，则的度数为___________°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查三角形的内心和外心的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，内心是三角形角平分线的交点，外心是各边垂直平分线的交点．
由点为的内心可得的度数，由点为外接圆的圆心可得的度数，然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：连接，
点为的内心，
平分，
，
，
点为外接圆的圆心，
，
，
．
故答案为：．
14. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，和相交于点，点落在线段上，连接．
（1）若，则_______；
（2）若，则_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可；
（2）连接，证明是等腰直角三角形，，即可解决问题．
【详解】解：（1）∵，
，
根据旋转可得，
，
，
故答案为：；
（2）连接．
由旋转的性质可知，，，
∴四点共圆，
，
，
，
，
，
，
∵四点共圆，
，
，
，
由旋转可知，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，圆内接四边形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
三、解答题【本大题共2个小题，每小题8分，共计16分】
15. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）将向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到请画出；
（2）以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且相似比为．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题考查作图－位似变换，平移作图，解题的关键是理解位似变换，平移变换的定义，属于中考常考题型．
（1）画出平移后的对应点，再连线成三角形即可解决问题；
（2）连接，延长到，使得，同法可得，连接成，即是所求三角形；
【小问1详解】
解：如图所示，就是所求三角形．
【小问2详解】
解：如图所示，就是所求三角形．
16. 如图，四边形内接于，是的直径，，的延长线交于点E，延长交于点P，．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）连接， ，，的长为 ．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】（1）证明，根据，得出，即，根据是的半径，即可证明结论；
（2）连接并延长交于点F，连接，根据是的直径，得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，即可得出，在中，，根据三角函数得出，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是⊙O的切线；
【小问2详解】
解：连接并延长交于点F，连接，如图所示：

∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了切线的判定定理，解直角三角形，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握切线的判定方法．
四、解答题【本大题共2个小题，每小题8分，共计16分】
17. 如图，与是半径为的两个等圆，是的中点，过点的直线交于、两点，交于、两点．
（1）求证：；
（2）若圆心、间的距离为10，，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）2
【解析】
【分析】（1）分别过作垂足分别为，由已知条件证，所以，进而可证明．
（2）根据，得出，根据垂径定理得出，则，设，则，根据题意，在和中，根据勾股定理得，列方程求解即可．
【小问1详解】
证明：分别过作垂足分别为，
是的中点，
，
在和中
，
，
，
根据题意可得，
∴，
∵，
∴．
∴．
小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，
则，
根据题意，
在中，，
在中，，
∴，即，
解得：，
则．
【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度不大，是中考常见题型．
18. 已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．
（1）求b的值．
（2）点在抛物线上，点在抛物线上．若，求h的最大值．
【答案】（1）
（2）时，h取最大值．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质．
（1）根据题意得到，计算即可；
（2）求出，，可得，得到，将代入得到，根据二次函数的性质作答即可．
【小问1详解】
解：抛物线的顶点横坐标为，
的顶点横坐标为1，
，解得；
【小问2详解】
解：点在抛物线上，
．
点在抛物线上，
，
，
．
将代入，
得．
，
∴当，即时，h取最大值．
五、解答题【本大题共2个小题，每小题10分，共计20分】
19. 现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，．
（1）填空： ， ；
（2）已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，）
【答案】（1）64；53；
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）过点C作，根据平行线的判定和性质求角度即可；
（2）过点D作，过点E作，利用矩形的判定得出四边形为矩形，四边形为矩形，再结合图形，利用三角函数求解即可．
【小问1详解】
解：过点C作，
∵垂直于，
∴，
∴，
∵与水平线平行，
∴，
∴，
∴，
故答案为：64；53；
【小问2详解】
解：过点D作，过点E作，如图所示：
∴四边形为矩形，
同理得：四边形矩形，
∴，
∵为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
20. 如图，是半的直径，，连接，沿翻折弧，恰好经过圆心O．
（1）________；
（2）若，求的半径r；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）4 （3）
【解析】
【分析】（1）根据圆心角，弧，平角的定义解答即可；
（2）过O作于H，根据直角三角形的性质，勾股定理解答即可；
（3）利用分割法求面积，得阴影面积扇形的面积减去弓形面积．
本题考查了圆的性质，扇形的面积，弓形面积，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：120．
【小问2详解】
解：中，，，
∴，
过O作于H，
则，，
中，，即，
解得，
．
【小问3详解】
解：半圆的面积，
扇形的面积，
的面积．
弦与弧围成的弓形面积，
弦与弧围成的弓形面积，
弓形面积弓形面积，
∴阴影面积扇形的面积减去弓形面积．
六、【本题12分】
21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积；
（3）根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形：
（1）先求出得到，再解直角三角形得到，则，据此利用待定系数法求出一次函数解析式，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出对应的反比例函数解析式即可；
（2）先求出点B的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据，求解面积即可；
（3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【小问1详解】
解：在中，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
把代入中得：，解得，
∴一次函数解析式为，
在中，当时，，
∴，
把代入中得：，解得，
∴反比例函数解析式为；
【小问2详解】
解：联立
解得或，
∴；
设，
由题意得，，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴
；
【小问3详解】
解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，
∴关于的不等式的解集为或．
七、【本题12分】
22. 综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系．
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人．
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式：
结合上述信息，请完成下述问题：
（1）当开通4条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为_____，排队人数与安检时间的函数关系式为_____．
【模型应用】
（2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
（3）已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始8分钟内（包含8分钟）减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支．
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析．以提高模型的准确性和实用性．
【答案】（1），；（2）排队人数在第18分钟达到最大值，最大人数为424人；（3）最少开8条通道
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键．
（1）根据题意得安检时间为分钟，则已入场人数为与的函数表达式为；
（2）根据二次函数的性质可得出结论；
（3）运用二次函数的性质解答即可；
【详解】解：（1）∵平均每条通道每分钟可安检6人，开通4条安检通道时，安检时间为分钟，
则已入场人数为人；
若排队人数为，则与的函数表达式为；
（2），
∴当时，，
故排队人数在第18分钟达到最大值，最大人数为424人；
（3）设开了条通道则：，
∴对称轴为，
∵排队人数 在安检开始8分钟内（包含8分钟）减少，
，
即，
又 ∵最多开通9条，
，
∵为正整数，
∴最小值为8，
∴最少开8条通道．
八、【本题14分】
23. 【问题背景】（1）如图1，，与交于点O，过点O的直线分别与，交于E，F两点，求证：．
【问题探究】（2）如图2，点E，F分别是平行四边形边，上的点，连接，交于点M，连接并延长交于点N．
①如图3，若平行四边形为正方形，E，F分别是边，的中点．求证：；
②如图2，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质，正方形和平行四边形的性质，解题关键是根据相似三角形的判定证明三角形相似，列出比例式即可证明．
（1）根据，证明，，列出比例式即可；
（2）①延长交延长线于点，接连证明和并结合（1）中结论即可证明；②类似①的方法利用平行证明三角形相似，再列比例式即可．
【详解】证明：（1），
，，
，
，
同理，．
；
（2）①延长，交于点，如图，
是正方形边上的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
②延长，交于点，
，
，
，
，
同理，
，
，
，
，
∴，
，
，
．