2025-2026学年第一学期期末质量监测九年级数学试卷

这是一份2025-2026学年第一学期期末质量监测九年级数学试卷，共32页。
1．全卷满分100分，考试时间100分钟．
2．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 毕业典礼后，九年级（1）班有若干人，若每人给全班的其他成员赠送一张纪念卡，则全班送贺卡共1892张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（）
A. B.
C. D.
3. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且D. 且
4. 一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点在半圆上．点、的读数分别为、，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
7. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）

A. B.
C. D.
8. 将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A. 或－3B. 或3C. 或3D. 或－3
9. 当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（ ）
A. -1B. 2C. 0或2D. -1或2
10. 在ABC中，若O为BC边中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝6，EF＝4，点M在以半径为2的⊙D上运动，则MF2+MG2的最大值为（ ）
A. 104B. 116C. 120D. 100
二、填空题：（每小题3分，满分15分）
11. 若是关于一元二次方程，则_______．
12. 将函数的图象向右平移1个单位长度，再下移3个单位所得的图象解析式为________．
13. 如图，在直径为的圆内有一个圆心角为的扇形随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为________．
14. 在半径为1的中，，为的两条弦，且，，则的度数为__________
15. 已知抛物线（）的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若、是抛物线上的两点，则有；④若，（）为方程的两个根，且；以上说法正确的有________
三、解答题（共7大题，满分55分）
16. 用恰当的方法解方程．
（1）
（2）
17. 如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（－3，m＋8），B（n，－6）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
18. 在平面直角坐标中的位置如图所示：
（1）与关于原点成中心对称，作出；
（2）将绕点顺时针方向旋转，作出；
（3）求出（2）过程中，点走过的路径长；
19. 如图，在中，，⊙O是的外接圆，过点C作，交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使，连接AF．
（1）求证：；
（2）求证：AF是⊙O切线．
20. 掷实心球是某市初中毕业升学体育考试选考项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点5m处．
（1）求关于的函数表达式；
（2）根据某市2023年初中毕业升学体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于12.4m时，即可得满分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．
21. 在和中，，，，连接，，分别为，的中点，为中点，连接，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图1，探究线段，间数量关系与位置关系，并说明理由；
22. 如图，二次函数与轴相交于点，（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线的顶点为点．
（1）请求出点，，的坐标；
（2）如图（1），连接，，点为抛物线上一点，使，求点的坐标；
（3）如图（2），过定点的直线与抛物线相交于，两点（点在轴左侧，点在轴右侧），过点的直线与抛物线交于点，则直线必过定点的坐标为________（请直接写出答案）2025~2026学年第一学期期末质量监测
九年级数学试卷
注意事项：
1．全卷满分100分，考试时间100分钟．
2．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意；
故选D．
2. 毕业典礼后，九年级（1）班有若干人，若每人给全班的其他成员赠送一张纪念卡，则全班送贺卡共1892张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．如果全班有名同学，那么每名同学要送出张，共有名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程．
【详解】解：全班有名同学
每名同学要送出张；
又是互送纪念卡，
总共送的张数应该是．
故选：D．
3. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练运用分类讨论思想是解题的关键；
需考虑方程可能为一次或二次方程：当时，方程为一次方程，直接求解；当时，方程为二次方程，利用判别式求范围．
【详解】解：当时，原方程为，
解得 ，有实数根，
∴符合条件；
当时，方程为一元二次方程，判别式，
∵方程有实数根，
∴，
即，
∴
综上，实数的取值范围是．
故选：B．
4. 一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画树状图求出共有12种等可能结果，符合题意得有2种，从而求解．
【详解】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况，
∴两次都摸到白球的概率是：．
故答案为：C．
【点睛】本题考查画树状图求概率，掌握树状图的画法准确求出所有的等可能结果及符合题意的结果是本题的解题关键．
5. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点在半圆上．点、的读数分别为、，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，设半圆的圆心为点O，连接，根据量角器的读数求出的度数，再由圆周角定理即可得到答案．
【详解】解：如图所示，设半圆的圆心为点O，连接，
∵点、的读数分别为、，
∴，
∴
故选：C ．
6. 如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据切线的性质，可得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，结合正五边形的每个内角的度数为108°，即可求解．
【详解】解： ∵AE、CD切⊙O于点A、C，
∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，
∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为： ，
∴∠AOC＝540°−90°−90°−108°−108°＝144°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查正多边形的内角和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和定理是解题的关键．
7. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴，得，，根据二次函数的对称轴可得，从而即可得到一次函数经过一、二、三象限，反比例函数经过二、四象限，即可得到答案．
【详解】解：二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴，
，，
二次函数的对称轴为，
，
一次函数经过一、二、三象限，反比例函数经过二、四象限，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数的图形、一次函数的图形、反比例函数的图形，根据二次函数的图象得到，，，是解题的关键．
8. 将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A. 或－3B. 或3C. 或3D. 或－3
【答案】A
【解析】
【分析】由二次函数解析式，可求与x轴的两个交点A、B，直线表示的图像可看做是直线的图像平移b个单位长度得到，再结合所给函数图像可知，当平移直线经过B点时，恰与所给图像有三个交点，故将B点坐标代入即可求解；当平移直线经过C点时，恰与所给图像有三个交点，即直线与函数关于x轴对称的函数图像只有一个交点，即联立解析式得到的方程的判别式等于0，即可求解．
【详解】解：
当时，即时，
解得：
∴
作函数的图像并平移至过点B时，恰与所给图像有三个交点，此时有：，
解得：
平移图像至过点C时，恰与所给图像有三个交点，
当的函数图像由的图像关于x轴对称得到新抛物线，
∴联立，
整理得：，
∴，
解得：
综上所述：b的值为或－3
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数翻折变化、交点个数问题、函数图像平移的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，属于函数综合题，中等难度．解题的关键是数形结合思想的运用，从而找到满足题意的条件．
9. 当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（ ）
A. -1B. 2C. 0或2D. -1或2
【答案】D
【解析】
【详解】分析：利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
详解：当y=1时，有x2-2x+1=1，
解得：x1=0，x2=2．
∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，
∴a=2或a+1=0，
∴a=2或a=-1，
故选D．
点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值是解题的关键．
10. 在ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝6，EF＝4，点M在以半径为2的⊙D上运动，则MF2+MG2的最大值为（ ）
A. 104B. 116C. 120D. 100
【答案】B
【解析】
【分析】设的中点为，连接、，根据题意可得，，由此可以判定的最大值，即是的最大值，即可求解．
【详解】解：设的中点为，连接、，如下图：
则，
根据题意可得，，
的最大值，即是的最大值
又∵点M在以半径为2的⊙D上运动
∴的最大值
由勾股定理可得：
∴的最大值为7
∴的最大值为
故选：B
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三边关系，利用三角形三边关系找出的最大值是解题的关键．
二、填空题：（每小题3分，满分15分）
11. 若是关于的一元二次方程，则_______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一般地，形如（a、b、c是常数，且）的方程叫做一元二次方程．由此可解．
【详解】解：由题意知，
解得，
，
故答案为：1．
12. 将函数的图象向右平移1个单位长度，再下移3个单位所得的图象解析式为________．
【答案】（或）
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数图象的平移，先把化为，再利用“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【详解】解：，
由“左加右减”的原则可知，将二次函数的图象向右平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：；
由“上加下减”的原则可知，将抛物线向下平移3个单位长度所得抛物线的解析式为：，
故答案为：．
13. 如图，在直径为的圆内有一个圆心角为的扇形随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了几何概率，扇形的面积计算，勾股定理，利用勾股定理可求出的长，再分别求出圆的面积和扇形的面积，最后根据概率公式求解即可．
【详解】解：由题意得，
由勾股定理得，
∴，
圆的面积为，扇形面积为，
∴该粒米落在扇形内的概率为；
故答案为：．
14. 在半径为1的中，，为的两条弦，且，，则的度数为__________
【答案】 或
【解析】
【分析】此题主要考查了垂径定理以及利用三角函数求特殊角度，利用分类讨论得出是解题关键．
根据弦长与半径的关系，求出弦与半径的夹角和弦与半径的夹角，再根据点和点的位置关系得到的两个可能值．
【详解】解：分别作，，垂足分别是、．
∵，，
，，
，，
，
，，
当与在圆心的两侧时，，
当与在圆心的同侧时，，
∴∠°或．
故答案为或．
15. 已知抛物线（）的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若、是抛物线上的两点，则有；④若，（）为方程的两个根，且；以上说法正确的有________
【答案】②③④
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
利用抛物线的开口方向、对称轴的位置、抛物线与轴交点的位置即可判断，，的符号；根据抛物线的对称轴和与轴的一个交点坐标可算出另一个交点的坐标为，则当时，根据函数图象即可判断；利用二次函数的性质即可判断，的大小关系；把，看作二次函数与直线的交点的横坐标，结合函数图象即可判断，的取值范围．
详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
∴，
，
抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
，
，故①错误；
抛物线对称轴为直线，且与轴的一个交点的坐标为，
抛物线与轴的另一个交点的坐标为，
当时，，
，故②正确；
抛物线开口向下，
离对称轴越近，函数值越大，
，
，故③正确；
，为方程的两个根，
，可以看作抛物线与直线的交点的横坐标，
，故④正确．
说法正确的有②③④．
故答案为：②③④．
三、解答题（共7大题，满分55分）
16. 用恰当的方法解方程．
（1）
（2）
【答案】（1）或；
（2）或
【解析】
【分析】（1）通过移项，分解因式，化为两个一元一次方程的乘积进行求解；
（2）通过整式乘法然后化简整理，移项，分解因式，化为两个一元一次方程的乘积进行求解．
【详解】（1）解：
移项得：
分解因式得：
化简得：
或
解得：或；
（2）解：
多项式乘多项式得：
移项整理得：
分解因式得：
或
解得：或．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解法中的因式分解法，正确进行因式分解是解题的关键．
17. 如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（－3，m＋8），B（n，－6）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【答案】（1）y=-，y=-2x-4；（2）8
【解析】
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数求出m的值，从而得到点A的坐标以及反比例函数解析式，再将点B坐标代入反比例函数求出n的值，从而得到点B的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求解；
（2）设AB与x轴相交于点C，根据一次函数解析式求出点C的坐标，从而得到点OC的长度，再根据S△AOB=S△AOC+S△BOC列式计算即可得解．
【详解】（1）将A（﹣3，m+8）代入反比例函数y=得，
=m+8，
解得m=﹣6，
m+8=﹣6+8=2，
∴点A的坐标为（﹣3，2），
反比例函数解析式为y=﹣，
将点B（n，﹣6）代入y=﹣得，﹣=﹣6，
解得n=1，
∴点B的坐标为（1，﹣6），
将点A（﹣3，2），B（1，﹣6）代入y=kx+b得，
，
解得，
∴一次函数解析式为y=﹣2x﹣4；
（2）设AB与x轴相交于点C，
令﹣2x﹣4=0解得x=﹣2，
∴点C的坐标为（﹣2，0），
∴OC=2，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC，
=×2×2+×2×6，
=2+6，
=8．
18. 在平面直角坐标中的位置如图所示：
（1）与关于原点成中心对称，作出；
（2）将绕点顺时针方向旋转，作出；
（3）求出（2）过程中，点走过的路径长；
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和中心对称，求弧长，两点间的距离公式，解题的关键是根据题意找到对应点及弧长公式的运用．
（1）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此得到点的坐标，描出点，并顺次连接点即可；
（2）根据旋转方式和网格的特点找到点的位置，描出点，并顺次连接点即可；
（3）点走过的路径长即为扇形中，弧的长，据此求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：即为所求；
【小问3详解】
解：如图所示，连接，
由旋转的性质可得，
∵，
∴，
∴点走过的路径长为．
19. 如图，在中，，⊙O是的外接圆，过点C作，交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使，连接AF．
（1）求证：；
（2）求证：AF是⊙O的切线．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析
【解析】
【分析】(1)由AB=AC知∠ABC=∠ACB，结合∠ACB=∠BCD，∠ABC=∠ADC得∠BCD=∠ADC，从而得证；
(2)连接OA，由∠CAF=∠CFA知∠ACD=∠CAF+∠CFA=2∠CAF，结合∠ACB=∠BCD得∠ACD=2∠ACB，∠CAF=∠ACB，据此可知AF∥BC，从而得OA⊥AF，从而得证．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴ ；
【小问2详解】
解：如图，连接OA，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵已知，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴AF为⊙O的切线．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理推论、切线的判定、平行线的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
20. 掷实心球是某市初中毕业升学体育考试选考项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点5m处．
（1）求关于的函数表达式；
（2）根据某市2023年初中毕业升学体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于12.4m时，即可得满分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．
【答案】（1）
（2）该男生在此项考试中不能得满分
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键．
（1）由图2可知，顶点坐标为，设二次函数表达式为，由此即可求解；
（2）令（1）中抛物线的解析式，且，解方程，即可求解．
【小问1详解】
解：设关于的函数表达式为，
把代入解析式得：，
解得：，
关于的函数表达式为；
【小问2详解】
解：该男生在此项考试中不能得满分，
理由：令，则，
解得：，（舍去），
，
该男生在此项考试中不能得满分．
21. 在和中，，，，连接，，分别为，的中点，为中点，连接，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图1，探究线段，间的数量关系与位置关系，并说明理由；
【答案】（1）见解析 （2），，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形的中位线定理，直角三角形两锐角互余，证明是解题的关键．
（1）先证明，再利用即可证明；
（2）由三角形的中位线定理得到，，，，由全等三角形的性质可得，，则可证明，，再证明，则可证明，据此可得结论．
小问1详解】
证明：，
∴
，
，，
；
【小问2详解】
解：，，理由如下：
，，分别是，，的中点，
是中位线，是中位线，
，，，，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，．
22. 如图，二次函数与轴相交于点，（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线的顶点为点．
（1）请求出点，，的坐标；
（2）如图（1），连接，，点为抛物线上一点，使，求点的坐标；
（3）如图（2），过定点的直线与抛物线相交于，两点（点在轴左侧，点在轴右侧），过点的直线与抛物线交于点，则直线必过定点的坐标为________（请直接写出答案）
【答案】（1），，
（2）或
（3）．
【解析】
【分析】（1）求出时x的值可得点A和点B的坐标，求出时y的值可得点C的坐标；
（2）把解析式化为顶点式得到点D的坐标，当点在轴上方时，过点作于点，过点向上作交于点 ，由抛物线的对称性可得，，证明得，求出直线的解析式为，联立，求解即可；当点在轴下方时，同理可求得直线的解析式为，联立：，求解即可；
（3）设，求出直线，同理可得，直线的解析式为，直线的解析式为，因为直线经过定点，得到，求出直线解析式为，即可求解．
【小问1详解】
解：在中，当时，，
解得或，
当时，，
，，；
【小问2详解】
解：∵，
∴顶点的坐标为，
①当点在轴上方时，过点作于点，过点向上作交于点，
，，，
，，
由抛物线的对称性可得，
，
，
，
又∵，
，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为（），将、两点坐标代入得：
，
解得，
直线的解析式为，
联立，解得或，
点的坐标为；
②点在轴下方时，
同理可求得直线的解析式为，
联立，解得或，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或；
【小问3详解】
解：设，，，
设直线的解析式为，
联立得，
由根与系数关系可知，，
直线的解析式为，
同理可得，直线的解析式为，
直线的解析式为，
，即，
直线经过定点，
，
整理得，
将代入中，得，
整理得，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
直线必过定点．
【点睛】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数综合，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键．