精品解析江苏省泰州市2025-2026学年高三下学期期初数学试卷含解析（word版）

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命题人：张海泉 杨元军 邹勇泉 王光华
审题人：吴春胜 张新志
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由，可得：，解得：，则集合，
由，解得：，则集合，
所以.
2. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助复数运算法则先计算出后利用复数模长公式计算即可得.
【详解】由，则，即，
则，故，故.
3. 已知函数的定义域为，命题“”是命题“是减函数”的（ ）
A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】举特例可判断充分性，根据减函数定义可判断必要性.
【详解】充分性：若，此时不能得到减函数，
故命题“”不是命题“是减函数”的充分条件；
必要性，由是定义域为的减函数，则，
故命题“”是命题“是减函数”的必要条件，
即命题“”是命题“是减函数”的必要且不充分条件.
4. 若表示不超过的最大整数，如．若函数，则的值域为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对分情况讨论，结合诱导公式、两角和与差的余弦公式及的定义求解即可.
【详解】当时，
.
当时，
.
所以的值域为.
5. 由六个边长为的正六边形构成如图所示的图形，若两两不重合的三点均为正六边形的顶点，且的位置如图所示，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】如下图所示，由正六边形的性质可得：
正六边形边长为，则，，正三角形任意底边上的高为，
以中点为原点，建立平面直角坐标系，如下图所示，
则，，，
设与的夹角为，，
其中表示在方向上的投影，
由图可知，当点取时，在方向上的投影长度最短，
点取时，在方向上的投影长度最长，
故点取时，，此时，为最小值；
点取时，，此时，为最大值；
故的取值范围为.
6. 在平面直角坐标系中，圆与双曲线相交于A，B，C，D四点，若点A，B，C，D构成圆O圆周的四等分点，圆O的直径长度是双曲线C实轴长的3倍，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，可以得出圆上符合题意的四点坐标，故得出双曲线上符合题意的点的坐标，将其代入双曲线方程，得出和值，得出离心率.
【详解】由已知圆的直径为4，又直径长度是双曲线C实轴长的3倍，所以，所以.
因为点A，B，C，D构成圆O圆周的四等分点，所以四等分点到圆心的距离为半径，
且四点与原点构成的连线互相垂直.即如图所示：
设圆与轴交于点N，所以，且，
所以设是圆与双曲线的交点，所以或
解得或或或，
所以四等分点的坐标为,
把代入中，得，
解得，所以双曲线C的离心率.
7. 在三棱锥中，若，二面角为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取中点，连接，，结合已知条件即可得到即为二面角的平面角；判断出外接球球心在平面上，且在过和外心且垂直于各自平面的直线上，设和外心分别为，，连接，，，，结合三角形外心性质及直角三角形即可求出半径，代入球的面积公式求解即可.
【详解】取中点，连接，.
在等边中，为中点，所以，.
在等边中，中点，所以，.
所以即为二面角的平面角，所以.
设外接球的球心为，则球心在平面上，且在过和外心且垂直于各自平面的直线上.
设和外心分别为，，连接，，，.
则平面，，；平面，，.
所以，所以.
在中，.
在中，，.
即三棱锥外接球的半径为，
所以.
8. 已知数列满足，设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先把递推关系式化简得到，再计算出数列的前几项，即可得到数列是周期为6的周期数列，根据周期性计算即可.
【详解】由题知，两边同除以，整理得： ，
代入计算得 ，
因此是周期为6的周期数列，
一个周期内： ，
又，故.故是周期为3的周期数列，
选项A：，故A错误；
选项B：一个周期和为，，故B错误；
选项C：一个周期内乘积为，
故C正确；
选项D：，一个周期和为，
故
，故D错误.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 正方体的棱长为，、、分别为、、的中点，则（ ）
A. 平面B.
C. 三棱锥的体积为D. 平面平面
【答案】ABD
【解析】
【分析】证明出，结合线面平行的判定定理可判断A选项；由结合柱体和锥体的体积公式可判断C选项；建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断B选项；证明出平面，平面，结合线面垂直的性质可判断D选项.
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、、、、、、，
对于A选项，在正方体中，，，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，A对；
对于B选项，，，，
所以，B对；
对于C选项，，C错；
对于D选项，，所以，所以，
又因为，，、平面，所以平面，
因为，，
所以，，
所以，，
因为，、平面，所以平面，
所以平面平面，D对.
10. 已知是函数的极值点，则（ ）
A. 实数a的取值范围是
B. 函数的图象关于点对称
C. 存在实数a，使得是的极大值点
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据极值点可知导函数有两个零点，利用判别式求解可判断A，根据函数对称的性质取特殊点判断B即可，利用求出，检验即可判断C，根据A及韦达定理，化简，解不等式判断D.
【详解】因为，
是函数的极值点，
所以是的两个不等的实数根，
所以，解得或，由，
所以，故A正确；
在函数的图象上取点,则关于点的对称点为，
而，显然不恒等于，
故函数的图象关于点不对称，故B错误；
当是的极大值点时，，解得，
当时，，
所以当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
所以是的极大值点，故C正确；
由A选项知，是的两个不等的实数根，
所以，
所以
，
由，
因为，所以，故D正确.
11. 已知a，b，c均为大于1的实数，若，则的大小关系可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】设，，则利用对数的运算性质可得，分类讨论后可得或者或者，据此逐项判断后可得正确选项.
【详解】设，，由均为大于1的实数，故，
因为，
因为，所以，同理，，原不等式转换为，
两边同时乘以，则，
得，整理得，
即，得到.
当时，则，即，因为，解得；
则，即，因为，解得；
同理，即，解得； 当，解得；
同理，即，解得； 当，解得；
要使得成立，故必须满足三个因式都是正数，或者两负一正，
所以有以下四种情况：
（1）三个因式都是正数
即整理得.
（2）三个因式中两负一正时
即无解.
即整理得.
即整理得.
所以的大小关系为或者或者这三种情况.
对于A项，当的大小关系为时，有成立，
即可能成立，故A正确；
对于B项，不妨设，满足且，
所以这种情况可能成立，故B正确；
对于C项，不妨设，满足且，
所以这种情况可能成立，故C正确；
对于D项，所有对应的值，一定会有，故D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的二项展开式中的常数项为________．
【答案】160
【解析】
【详解】展开式的通项为，，
令，得，
则的二项展开式中的常数项为.
13. 已知曲线在点处的切线方程为，若，则的最小值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】先根据导数的几何意义结合切线方程求得，可得，再利用导数分析函数的单调性，进而求解即可.
【详解】由，得，
由于曲线在点处的切线方程为，即切线斜率为1，
则，所以，则，
当时，，，则，即，
当时，，，则，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则.
14. 已知无穷等比数列的公比为，设集合，其中为正整数．若，且对于任意，集合是闭区间，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算.
【详解】不妨设，由，得，
记，，，，集合，
要使（其中）的取值范围为闭区间，需不存在空隙，即所有介于最小值和最大值之间的数都能取到，
在正数范围内，到可被的差覆盖，
下一个最小的正差为，因此若，
则区间内的数无法取到，存在空隙，
故要求对任意（），都有，
代入等比数列通项，化简得：
约去正数后整理得：
当时，，不等式左边，恒成立；
当时，，由于，当时，
，不等式左边趋向，必存在使得不等式不成立，存在空隙，
因此的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
（1）求B；
（2）若，的面积为，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两角差的余弦公式、三角形内角和定理进行求解即可；
（2）利用三角形面积公式和余弦定理进行求解即可.
【小问1详解】
，
因为，所以，
所以由.
【小问2详解】
由上可知，
因为的面积为，
所以，
所以由余弦定理可知
，
所以的周长.
16. 射击选手甲训练的规则如下：甲可选择靶和靶进行射击，共射击两次．第一次射击随机选择一个靶，若命中环数大于环，则第二次射击的靶不变；若命中环数不大于环，则第二次射击的靶改变．已知射击靶命中环数大于环得分，命中环数不大于环得分．射击靶命中环数大于环得分，命中环数不大于环得分．若两次射击相互独立，甲每次射击靶命中环数大于环的概率均为，每次射击靶命中环数大于环的概率均为．
（1）求甲第一次射击命中环数大于环的概率；
（2）求甲第二次射击的靶为靶，且命中环数大于环的概率；
（3）记甲两次射击的得分之和为，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）
（2）
（3）分布列答案见解析，
【解析】
【分析】（1）记事件甲第一次射击靶，记事件甲第一次射击命中环数大于环，利用全概率公式可得出所求事件的概率；
（2）记事件甲第一次射击靶，记事件甲第一次射击命中环数大于环，利用全概率公式求出，再利用条件概率公式的性质可求得的值；
（3）分析可知随机变量的可能取值有、、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
【小问1详解】
记事件甲第一次射击靶，记事件甲第一次射击命中环数大于环，
则，，，
由全概率公式可得，
所以甲第一次射击命中环数大于环的概率为.
【小问2详解】
记事件甲第二次射击的靶为靶，记事件甲第二次命中环数大于环，
则,，
由全概率公式可得，
由题意可知，则，
即甲第二次射击的靶为靶，且命中环数大于环的概率为.
【小问3详解】
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
时，若甲第一次射击的靶为靶，且第一次命中环数不大于环，
甲第二次射击的靶为靶，且第二次命中环数不大于环，
或甲第一次射击的靶为靶，且第一次命中环数不大于环，
甲第二次射击的靶为靶，且第二次命中环数不大于环，
所以；
时，甲第一次射击的靶为靶，且第一次命中环数大于环，
甲第二次射击的靶为靶，且第二次命中环数不大于环，
或甲第一次射击的靶为靶，且第一次命中环数不大于环，
甲第二次射击的靶为靶，且第二次命中环数大于环，
所以；
时，甲第一次射击的靶为靶，且第一次命中环数大于环，
甲第二次射击的靶为靶，且第二次命中环数大于环，
或甲第一次射击的靶为靶，且第一次命中环数大于环，
甲第二次射击的靶为靶，且第二次命中环数不大于环，
或甲第一次射击的靶为靶，且第一次命中环数不大于环，
甲第二次射击的靶为靶，且第二次命中环数大于环，
所以；
时，甲第一次射击的靶为靶，且第一次命中环数大于环，
第二次射击的靶为靶，且第二次命中环数大于环，
所以，
所以随机变量的分布列如下表所示：
故.
17. 如图，在三棱柱中，点在平面ABC上的射影为BC的中点O，M为AC的中点，点H在AB上，．
（1）若H为AB的中点，求证：；
（2）求点H到平面的距离；
（3）设平面与平面的夹角为，求的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，通过计算向量点积为0，直接证明垂直关系；
（2）先利用三棱柱侧棱平行且相等的性质，确定坐标；再求平面的法向量，最后代入距离公式计算；
（3）参数化点在上的位置，分别求出平面与的法向量；通过向量夹角公式得到关于参数的函数，再通过换元法分析函数单调性，最终求出的最小值.
【小问1详解】
由题设知，则，且平面，
如图以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，
各点坐标：，， ，
向量，，则，
故，即；
【小问2详解】
，，
设平面的法向量为，则：
，令，得，，
点到平面的距离为：，
故点到平面的距离为；
【小问3详解】
平面的法向量，平面的法向量，
两平面夹角余弦：，
令，则，
函数在单调递增，
故（即）时，取最小值，
此时：，故的最小值为.
18. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点B在椭圆C上．
（i）求面积的最大值；
（ii）设，过点P的直线l与x轴交于点D，若直线l与PB垂直，，求点B的坐标．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）或
【解析】
【分析】（1）利用椭圆的离心率公式和点在椭圆上的条件，联立方程组求出和，即可得出椭圆方程；
（2）（i）面积达到最大值时，也就是点到直线的距离最大，即转化为过点的直线与平行且与椭圆相切，联立方程组，利用判别式即可求出；
（ii）设出点坐标，先求出直线的斜率，再得到与之垂直的直线的斜率与方程，结合的条件和椭圆方程联立即可求解.
【小问1详解】
因为，即，由椭圆中的关系知：，代入，
得：，即，
又在椭圆上，代入椭圆方程得：，
将代入上式得：，
所以，，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
（i）由题意知：，所以直线的直线方程为，即.
设，因为在椭圆上，所以，
所以点到直线的距离为：，
又因为，
所以
要求的最大值，即求的最大值.
设，则当与椭圆相切时，取得最值，
联立方程组，消得：
因为相切，所以，所以，
所以.
（ii）设，所以满足 ①
因为点，所以，
又因为直线与垂直，所以，
所以直线的方程为：，
令，即，所以，
又因为
，
所以，
化简得：，
即 ②
由①②知：或，
所以点的坐标为或.
【点睛】圆锥曲线问题中方程组联立思想的运用，把垂直关系与距离公式进行联立求点的坐标是关键，过程中要熟练的把几何条件与代数运算进行相互转化.
19. 函数，记为函数的导函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数零点个数：
（3）设为函数的最小的极值点，证明：为递增数列．
（参考公式：）
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的正负性与函数单调性的关系，结合余弦二倍角公式进行求解即可；
（2）根据导数的运算法则，结合函数零点的定义、题中所给公式、正弦型函数的性质进行求解即可；
（3）根据函数极值的定义，结合数列单调性的定义进行运算证明即可.
【小问1详解】
，
当时，即，
因为，所以，
所以由，
所以函数的单调递增区间为.
【小问2详解】
因，
所以，
因为，
所以由题中所给公式得，
由
，或，
由，
因为，所以，
由，
因为，所以，
所以函数的零点个数为；
【小问3详解】
因为，
所以，且，
所以由题中所给公式得
令，得，或，
当时，可得，
因为，显然当时，方程无解.
所以当为大于的正奇数时，，
当为大于的正偶数时，，
所以此时方程的最小解为，
当时，可得，
因为，
所以当为正奇数时，可得，
当为正偶数时，可得，
所以此时方程的最小解为，
综上所述：函数的最小的极值点为，且为极大值点，
，
因为，
所以，
所以为递增数列.