2021-2022学年江苏省泰州市高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年江苏省泰州市高二（下）期末数学试卷

副标题

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 可以表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 抛掷一颗质地均匀的骰子，样本空间，若事件，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知随机变量的概率分布为

则的均值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 义务教育课程方案将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并发布义务教育劳动课程标准年版劳动课程内容共设置十个任务群，每个任务群由若干项目组成．其中生产劳动包括农业生产劳动、传统工艺制作、工业生产劳动、新技术体验与应用四个任务．甲、乙两名同学每人从四个任务中选择两个任务进行学习，则恰有一个任务相同的选法的种数为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 的展开式中，常数项为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 商家为了解某品牌取暖器的月销售量台与月平均气温之间的关系，随机统计了某个月该品牌取暖器的月销售量与当月平均气温，其数据如表：

由表中数据算出线性回归方程中的，据此估计平均气温为的那个月，该品牌取暖器的销售量约为台．(    )

A.  B.  C.  D.

7. 通过随机询问名性别不同的学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

参考公式：独立性检验统计量，其中．
参考数据：

则根据列联表可知(    )

A. 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B. 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

8. 在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 下列说法中正确的是(    )

A. 公式中的和具有相关关系
B. 回归直线恒过样本点的中心
C. 相关系数的绝对值越接近，则两个变量的相关性越强
D. 对分类变量与的随机变量来说，越小，判断“与有关系”的把握越大

10. 下列关于随机变量的说法正确的是(    )

A. 若服从二项分布，则
B. 若服从超几何分布，则
C. 若的方差为，则
D. 若服从正态分布，且，则

11. 设，下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D. 在，，，中，最大

12. 在正三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，为中点，则(    )

A. 平面平面
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 点在内包括边界且，则与平面所成的角的正弦值的最大值为
D. 设，分别在线段，上，且，则的最小值为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. ______．
14. 已知离散型随机变量服从两点分布，且，则随机变量的标准差为______．
15. 长方体中，，，则点到平面的距离为______．
16. 设甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有个白球和个红球，现从甲袋中任取个球，记取出的红球个数为，则______，将取出的球放入乙袋，再从乙袋中任取个球，则从乙袋中取出的是个红球的概率为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．条件：前三项的二项式系数之和为；条件：第项与第项的二项式系数相等；条件：所有项的系数之和为．
    问题：在的展开式中，____．
    求的值；
    求展开式中所有的有理项．
18. 已知，．
    求的值；
    当时，求实数的值．
19. 电影夺冠讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事．现有名男生和名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．女生必须坐在一起的坐法有多少种？
    女生互不相邻的坐法有多少种？
    甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
20. 如图，在正四棱锥中，，交于点，，．
    求二面角的大小；
    在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由．

21. 某公司对项目甲进行投资，投资金额与所获利润之间有如下对应数据：

用相关系数说明与相关性的强弱本题规定，相关系数满足，则认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱；
该公司计划用百万元对甲，乙两个项目进行投资，若公司利用表格中的数据建立线性回归方程对项目甲所获得的利润进行预测，项目乙投资百万元所获得的利润百万元近似满足：，求甲，乙两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大．
参考公式：，相关系数．
参考数据：统计数据表中．

22. 我国是全球制造业大国，制造业增加值自年起连续年位居世界第一，主要产品量稳居世界前列．为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为单位：现有旧设备生产的零件共个，其中直径大于的有个．现从这个零件中随机抽取个．记表示取出的零件中直径大于的零件的个数，求的分布列及数学期望；
    技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差；
    若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出个，求至少有一个零件直径大于的概率．参考数据：若，则，，，，．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：为排列数，可以表示为，
故选：．
根据排列数的公式分析即可．
本题考查排列数公式，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意，，．
故选：．
先求解，再结合条件概率公式，即可求解．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意得，得，
所以，
故选：．
先利用频率和为，求出的值，然后利用期望公式求解即可．
本题主要考查了离散型随机变量分布列的性质，考查了均值公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意知本题需要分步来解，
第一步甲同学选两个任务进行学习，有种方法，
第二步乙同学选两个任务，有种方法，
由乘法原理得：恰有一个任务相同的选法的种数为种．
故选：．
甲、乙同学从个任务中各选个任务进行学习可分两步完成，第一步甲同学选两个任务，第二步乙同学选两个任务，两个步骤相乘可以得到结果．
本题考查分步计数原理，属基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：的展开式中，常数项为，
故选：．
根据计数原理，排列组合数公式即可求解．
本题考查计数原理，排列组合数公式，属基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据表格中的数据，可得，
又由点在回归方程上，其中，
所以，解得，
故，
当时，，
故估计该商场平均气温为的那个月取暖器销售量约为件．
故选：．
根据表格中的数据，求得的值，将代入回归方程，求得的值，得出回归直线方程，代入时，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的性质，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．
故选：．
根据已知条件，结合独立性检验的定义，即可求解．
本题主要考查独立性检验的定义，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
则
，
，
，
，，
，．
故选：．
先利用基底向量表示，，再利用向量的夹角公式求解即可．
本题考查了空间向量在立体几何中的应用，空间向量的线性运算以及空间向量数量积的定义，利用向量求夹角的正弦值，属中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，公式中，和关系明确，属于函数关系，不是相关关系，
相关关系是一种非确定的关系，故A错误，
对于，回归直线恒过样本点的中心，故B正确，
对于，相关系数的绝对值越接近，则两个变量的相关性越强，故C正确，
对于，对分类变量与，它们的随机变量越大，判断“与有关系”的把握越大，故D错误．
故选：．
利用变量间相关关系的概念与性质，可判断、选项，由回归直线方程的性质，判断选项，由分类变量的独立性检验，可判断选项．
本题主要考查线性回归方程的应用，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，服从二项分布，
则，故A正确，
对于，服从超几何分布，
则，故B正确，
对于，的方差为，
则，故C错误，
对于，服从正态分布，且，
则，
所以，故D错误．
故选：．
对于，结合二项分布的期望公式，即可求解，
对于，结合超几何分布的期望公式，即可求解，
对于，结合方差的线性公式，即可求解，
对于，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查二项分布、超几何分布的期望公式，以及方差的线性公式，正态分布的对称性，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，令，则，
令，则，
，A正确，
，，
其展开式的通项公式为，
，，，B正确，
，，
令，则，C错误，
，，，，为负数，最大项在，，，中，
，，，，
最大项为，D正确，
故选：．
采用赋值法判断，变形可得，写出其展开式的通项公式判断，求导数再赋值判断，根据选项B中的通项公式，分别求得，，和的值判断．
本题考查二项式定理的应用，熟练掌握二项展开式的通项公式，赋值法是解题的关键，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：在正三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，为中点，
，平面，又平面，
，又，平面，
又平面，平面平面，故A正确；
如图，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，
，，
，，异面直线与所成角的余弦值为，故B错误；
对于：设是平面的一个法向量，
点在内包括边界且，
设，则，，，四点共面，则，
，
则，点，，
，，，解得，
设与平面所成的角为，
，，
与平面所成的角的正弦值的最大值为，故C正确；
设，则，，
，，，，
则，，
，
当时，，故D正确．
故选：．
利用，可证平面，可证平面平面，建立空间直角坐标系，利用向量法求解判断．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据组合数的性质与计算公式求解即可
本题考查了组合数公式的应用问题，是基础题目．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，解得，，
离散型随机变量服从两点分布，
，即随机变量的标准差为．
故答案为：．
根据已知条件，结合两点分布的性质，求出，，再结合两点分布的方差公式，即可求解．
本题主要考查两点分布的性质，以及两点分布的方差公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：在长方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，

因为，，所以，，，，，，
设平面的法向量为：，
，
，令得：，
又，
点到平面的距离为：．
故答案为：．
建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可．
本题考查了点到平面的距离公式，属于中档题．
 

16.【答案】  

【解析】解：甲袋中有个白球和个红球，从甲袋中任取个球，记取出的红球个数为，则随机变量服从超几何分布，
所以由超几何分布的数学期望得：；
甲袋任取两个球的可能性有三种：
甲袋取出的为个白球时，则从乙袋中取出的是个红球的概率为：；
甲袋取出的为个白球、个红球时，则从乙袋中取出的是个红球的概率为：；
甲袋取出的为个红球时，则从乙袋中取出的是个红球的概率为：
从乙袋中取出的是个红球的概率为：．
故答案为：；．
分析可知，从甲袋中任取个球，记取出的红球个数为，则随机变量服从超几何分布，由超几何分布的数学期望得；从甲袋任取两个球分三类情况，再计算乙袋中取出的是个红球的概率即可．
本题主要考查超几何分布和古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
 

17.【答案】解：选条件：前三项的二项式系数之和为，即，
化简得，解得或舍负，
故．
选条件：因为第项与第项的二项式系数相等，所以，
即，化简得，解得．
选条件：令，有，解得．
的通项公式，
所以当，时为有理项，对应的项分别为，，
故展开式中的有理项为与． 

【解析】选条件：根据二项式系数公式，写出前三项的系数之和，再根据组合数的计算，求解即可；
选条件：根据二项式系数公式，写出第项和第项的系数，再根据组合数的计算，求解即可；
选条件：采用赋值法，令，可得所有系数和，从而知的值；
根据二项式展开式的通项公式，求得使的指数为整数的的值，再写出对应的项，即可．
本题考查二项式定理，理解二项式系数的概念，熟练掌握组合数的计算，二项式展开式的通项公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：因为，，
故，，
故．
，，，
因为，
所以，即，
故，即，
故或． 

【解析】根据空间向量的坐标线性运算与数量积公式，即可求解．
根据垂直的数量积表示，结合向量的坐标公式，即可求解．
本题主要考查空间向量的数量积运算，属于基础题．
 

19.【答案】解：先将个女生排在一起，有种排法，将排好的女生视为一个整体，与个男生进行排列，共有种排法，
由分步乘法计数原理，共有种排法；
先将个男生排好，有种排法，再在这个男生之间及两头的个空挡中插入个女生有种方法，
故符合条件的排法共有种；
先排甲、乙、丙以外的其他人，有种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，
最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的人的个空挡中有种排法，
故符合条件的排法共有种． 

【解析】采用捆绑法即可求解；
采用插空法即可求解；
先排甲、乙、丙以外的其他人，再把甲、乙排好，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的人的个空挡中即可．
本题考查了排列问题的应用，属于基础题．
 

20.【答案】解：由题意得平面，且，
以为原点，分别以，，为，，轴正方向建系，如图所示，

所以，
所以，
设平面的法向量，
则，即，
令，可得，所以，
因为平面，平面，
所以，
又因为，，，平面，
所以平面，
所以即为平面的法向量，
所以，
又，由图象可得二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为；
假设线段上存在一点，满足题意，
设，因为，
所以，解得，
所以，则，
因为平面的法向量，
设得与平面所成角为，
所以，
解得或舍，
所以在线段上存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，此时，即为上靠近的四等分点． 

【解析】如图建系，求得各点坐标，进而可得坐标，即可求得平面的法向量，根据线面垂直的性质及判定定理，可证平面，则即为平面的法向量，根据二面角的向量求法，即可得答案．
假设存在点满足题意，设，因为，即可求得点坐标，进而可得坐标，根据线面角的向量求法，代入公式，计算可得值，即可得答案．
本题考查二面角，线面角的求法，考查点的位置的确定，属中档题．
 

21.【答案】解：，，，，，
，
与线性相关性较强．
由可设关于的线性回归方程为：，
，，
，
设对乙投资百万元，
则甲项目投资百万元，
总利润，
时取等号，此时，
故甲，乙两个项目投资金额分别为百万元，百万元时，获得的总利润最大． 

【解析】由已知数据求出线性相关系数的值，与比较大小得结论；
先由已知数据求得与的值，可得关于的线性回归方程，设对乙项目投资百万元，则对甲项目投资百万元，写出所获总利润，然后利用基本不等式求最值．
本题主要考查线性回归方程的求解，掌握最小二乘法是解本题的关键，属于中档题．
 

22.【答案】解：由题意，可知可取，，，且：
；
；
；
．
所以的分布列为：

因此的数学期望，
由题意，可取的值为，，，，，，则：
；
；
．
所以技术攻坚成功的概率．
因于，所以的方差．
由，则可知，
由于，则，
所以，
所以，
则，
记从生产的零件中随机取出个，至少有一个零件直径大于为事件．
则． 

【解析】先得可取，，，，再求概率从而可得分布列及数学期望；
由二项分布可求解；
利用正态分布的对称性结合题意可得至少有一个零件直径大于的概率．
本题主要考查离散型随机变量及其分布列，正态分布的应用，离散型随机变量方差的计算等知识，属于中等题．