山东省淄博市2026届高三一模考试数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份山东省淄博市2026届高三一模考试数学试卷含解析（word版+pdf版），文件包含淄博市2025-2026学年度高三模拟考试数学答案pdf、山东淄博市2025-2026学年高三下学期模拟考试数学试题解析版docx、淄博市2025-2026学年度高三模拟考试数学pdf等3份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合，，那么集合
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，可得，则，
由，可得，即，即，
故.
2. 若复数的共轭复数满足，则复数
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，所以.
3.已知，则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题可得，所以 .
4.已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】椭圆：的右焦点，过且倾斜角为的直线的方程为，即，将代入，得到，即，
设，则，
则.
5.过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，B，D为切点，则，，，
由圆可得，，又，
所以，
所以，则，
故.
6.有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为
A．42B．50C．54D．60
【答案】D
【解析】根据题意，分是第1个和不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论：
当是第1个时，此时剩余的全排列，共有种不同的排法；
当不是第1个且不是最后一个时，先排第1个，从中选一人为第1个，有种选法；
再排，有三个位置可选，有种排法，最后三人全排列，有种排法，
所以共有种不同的排法，
由分类计数原理得，共有种不同的排列情况.
7.在正方体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则的值为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图所示，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，因为为的中点，，，
所以.
所以.
因为，，，四点共面，所以，
得到，解得.
8.已知函数的定义域为，，且，，则的最小值为
A．9B．12C．16D．18
【答案】D
【解析】令，则，所以.
令，则，
因为函数的定义域为，，
所以，当且仅当时，即时，等号成立.
所以的最小值为.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知实数，满足，则下列说法正确的有
A．B．
C．若，则D．若，，则
【答案】BC
【解析】若，则满足，但不满足，故A错误；
因为，
所以，故B正确；
因为，，所以，则，故C正确；
因为，，所以，则，故D错误.
10.已知函数，则下列说法正确的是
A．若，且曲线的对称中心为，则
B．若，函数在上单调递增，则
C．若，且，则存在实数，使得
D．若，，且函数有两个极值点、，则
【答案】ACD
【解析】对于A，若，则，
由的对称中心为，则，
所以，
所以
，
所以，则，A对，
对于B，若，则。若在上单调递增，
则其导数在上恒成立，
所以，即，B错，
对于C，由，，不等式两边同乘，得，
的判别式，
故有两个不同零点，即有两个极值点，故不单调，
因此存在使得，C对，
对于D，将代入导函数，得，
极值点是的两个根，
由韦达定理：，D对.
11.已知双曲线：的上、下焦点分别为和，下顶点为，为第一象限内上的动点，当时，的面积为，则下列说法正确的是
A．双曲线的离心率
B．双曲线的渐近线方程为
C．
D．的内心满足
【答案】ACD
【解析】对于A：由双曲线定义得 ，平方得 ，
在 中由余弦定理得， ，
代入 ，整理得 ，即 ，
的面积，
得 ，即，
又因为，所以，则离心率 ，A正确；
对于选项B：焦点在轴的双曲线渐近线为 ，代入 ，得 ，B错误；
对于选项C：，设 ，满足 ，
设，，则 ，
代入 ，化简得 。
设，同理得 ，且 ，故 ，C正确；
对于选项D：首先考虑选项C的逆命题即若点在第一象限且满足，则点在双曲线上.
下面证明这个命题，设，则，
化简得，所以点在双曲线上，该命题成立.
又因为内心是三角形各角平分线的交点，所以，
根据上述命题，在双曲线上，所以，所以.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.平面向量，，则在上的投影向量坐标为________.
【答案】
【解析】由，，得，，
则在上的投影向量为 .
13.若函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集为______.
【答案】
【解析】由图象得，，即，而，则，
，又，则，
解得，函数的最小正周期，由图象知，
则，所以，，
由，得，则，
解得，
即关于的不等式的解集为 .
14.在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列，记，则________.
【答案】
【解析】 第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；
第3次得到数列1，5，4，7，3，8，5，7，2；
第4次得到数列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2；
故 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足.
(1)求角；
(2)求的取值范围 .
【解析】（1）由正弦定理，，，可得：
，
又，
所以，因为，
化简可得：，
因为是锐角三角形，，
故；
（2）由得，即，
因为是锐角三角形，所以，
解得，
由得，
故，
代入得： ，
因此的取值范围为 .
16.已知抛物线：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)，为上异于，的两动点，且以线段为直径的圆恰好经过，证明：直线过定点.
【解析】（1）的渐近线为，
联立，解得或，故，
由对称性可得，则，
故（负值舍去），即抛物线的方程为；
（2）由（1）知，设、，
由以线段为直径的圆恰好经过，则，
由，，
则
，
由，异于，故，
则，
设，，则，
，则，
，，即，，
故,即，
则，
当时，，故直线过定点.
17.如图，四棱锥中，平面，，，.
(1)求证：；
(2)若为的重心，
（i）求与平面所成角的正弦值；
（ii）若交平面于，求的值.
【解析】
（1）在中，，，
，，
平面，平面，，
，平面，平面，
平面，平面，；
（2）（i）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
，，.
，，，，，
，，
为的重心，，，
设平面的法向量为，
则，，，
取，则，即，
，， ，
设与平面所成的角为，
则，
故与平面所成角的正弦值为；
（ii）由（i）知，，，
设，则，
，
由（i）知，平面的法向量为，
则，即，则，解得，
即 .
18.设、为实数，且，函数，.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，证明：；
(3)若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围.
【解析】（1）当时，，则，
而，则，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）当时，，
设，
则，
由于，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，即.
（3）设，
由题意，曲线与直线有且仅有两个交点，
则函数有且仅有2个零点，
而，
令，得，而，则，
当时，，则函数在上单调递增，
此时函数最多有1个零点，不符合题意；
当时，令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又时，，时，，
要使函数有且仅有2个零点，
则，即，
设，则，
当时，，则，不满足题意；
当时，设，则，
则函数在上单调递减，又，
则时，，即，
则的取值范围为.
19.甲口袋中装有3个红球，乙口袋中装有2个黄球和1个红球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记乙口袋中黄球个数为，恰有2个黄球的概率为，恰有1个黄球的概率为.
(1)求，和，；
(2)求的数学期望（用表示）；
(3)，若，有，求所有元素之和.
【解析】（1）依题意，，，
，
.
（2）设表示次取球后乙口袋有2个黄球，表示次取球后乙口袋有1个黄球，
表示一次操作甲乙都取的是红球，表示一次操作甲取的是红球同时乙取的是黄球，
表示一次操作甲取的是黄球同时乙取的是红球，表示一次操作甲，乙都取黄球，
当时，
则，
，
，
，
因此，即，，
所以是为首项为公比的等比数列.
故.
依题意，的分布列为
故期望.
（3）由（2）知，
，
而所有元素之和可以看作集合中所有子集中元素之和.
设集合为一共有个不同的元素，
而一个包含的子集，对于剩下的个元素，
每个元素可以独立地选择“放入子集”或“不放入子集”，
因此对于剩下的个元素，每个都有2种选择，由乘法原理，这样的子集个数为，
由此可知一个所有子集中元素之和为该集合各个元素之和的倍，
故所有元素之和可写为，
令
所以
故，
所以．
故所有元素之和可写为.0
1
2