湖北省襄阳市2026届高三下学期3月统一调研测试数学试卷含答案（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 设集合 ,则
A. B. C. D.
【答案】C
2. 设 是虚数单位, ,则
A. -5-4i B. 4-5i C. 4+5i D. 5+4i
【答案】B
3.已知向量 ,且 ,则
A. B. C. D.
【答案】A
4.把函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则
A. B. C. D.
【答案】D
5.设 ,则
A. B. C. D.
【答案】D
6.已知椭圆 与双曲线 有相同的左焦点 和右焦点 为椭圆 与双曲线 在第一象限内的一个公共点,设椭圆 与双曲线 的离心率分别为 ,且 ,若 ,则双曲线 的渐近线方程为
A. B. C. D.
【答案】B
7.在一次游泳比赛结束后，甲、乙、丙、丁进入前 4 名，且这 4 人无并列名次。赛完他们出场后, 场外一个未看到比赛结果的游泳爱好者跟他们了解比赛结果:
甲说:我是第四名
乙说:我不是第二名或第四名
丙说:我排在乙前面
丁说:我是第一名
他们 4 人中只有一个人说的是假话, 下列正确的是
A. 丙是第一名 B. 乙是第二名 C. 甲是第三名 D. 丁是第四名
【答案】A
8.已知数列 为等差数列,首项 ( 为整数),公差 ,前 项和 ,则满足题意的 的所有取值的和为
A. 3720 B. 4320 C. 2940 D. 1736
【答案】D
【解析】 ，所以 的取值为 的所有因数,所以所求和为 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是
A. 若事件 与事件 相互独立, ,则
B. 若样本数据 的方差为 4,则数据 的方差为 8
C. 一个盒子中有 3 个黑球, 2 个白球, 1 个红球, 不放回地抽取两次, 每次抽一个球, 则事件“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥
D. 这 2026 个数的上四分位数是 507
【答案】AC
10.已知菱形 中, ,现将 沿对角线 折起至 ,连接 ,形成三棱锥 ,则下列说法正确的是
A. 二面角 的大小为 时,平面 平面
B. 在折起的过程中,存在某个位置使
C. 时,三棱锥 的体积为
D. 三棱锥 的体积最大时，其外接球的表面积为
【答案】BCD
11.已知 ,则下列结论正确的是
A. 的对称中心为
B. 若 存在两个极值点 ,且 ,则 与 有 3 个交点
C. 若 ,则
D. 若 有三个不等实根 ,且 ,则实数 的取值范围是
【答案】ACD
【解析】A.
的对称中心为 ; 所以 对
B. 证明: 设 ,
则
利用方程左右两边 的系数相等，得到
又 为 ,所以
所以: ,所以 错
C. 有题意知,1 和 2 是 的两根,设
则
D.
所以:
又有 三个不等实根,所以极大值大于 0,极小值小于 0
又实数 为正,所以 在 为增,在 为减, 为增,所以 , 所以 ,且 ,所以 ，所以D 对.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.曲线 在点 处的切线方程为________.
【答案】
13.已知等比数列 满足 ， ( ) ，则 _______.
【答案】 2
14.已知 ,若 ,且 ,则 ________.
【答案】
【解析】
.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.如图，正三角形 和平行四边形 在同一个平面内，其中 的中点分别为 . 将 沿直线 翻折到 ,使二面角 为 ,设 的中点为 .
(1)求证:平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
【解析】(1)证明:因为四边形 ABDE 为平行四边形，F、G 分别为 AB、DE 的中点，
所以四边形 FDGA 为平行四边形,所以 FD//AG. 1 分
又 H、G 分别为 CE、DE 的中点,所以 HG//CD.
因为 FD、CD 平面 AGH, AG、HGC 平面 AGH, 所以 FD// 平面 AGH, CD// 平面 AGH,
因为 FD、CD C 平面 CDF, FD∩CD=D,
所以平面 CDF // 平面 AGH. 5 分
(2)因为三角形 为正三角形， ， 为 的中点，所以 ， ，
所以 为二面角 的平面角,
又 ,所以 平面 ,因为 平面 ,所以平面 平面 .
作 平面 于 ,则 在直线 上. 又二面角 的平面角为 ,所以 在线段 DF 的延长线上. 易知 ,则 . 9 分
以下为原点, FD、FA 所在直线分别为 轴、 轴,过点 平行于 的直线为 轴,建立空间直角坐标系, 如图,
因为 ,所以
则 ,
由 (2) 知 ,设平面 的法向量为 ,则由 ,得 令 ,得 11 分
易知平面 DEF 的一个法向量 ,
所以平面 CDE 与平面 DEF 的夹角的余弦值为 . 13 分
16.在 中, 所对的边分别为 为边 所在直线上一点.
(1)若 平分 ，求 的周长；
(2)若 ，且 ，求 的最大值和最小值.
【解析】(1) 由题意得
所以 ①3 分
又 ②5 分
由①②解得 ，所以 的周长 为 7分
(2) 8分
又 10分

当且仅当 时取 ,13 分
又 当且仅当 时取 ,所以 的最大值 和最小值 15分
17.已知函数 .
(1)若 恒成立，求 的取值集合；
( 2 )当 时，证明:当 时， 恒成立.
【解析】
(1) 的定义域为 .
①若 ，因为 ，所以不满足题意；2分
②若 ，由 知，当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递减，在 单调递增，故 在 时取得最小值点.
所以 5分
令 ,则
当 时, 单减; 当 时, 单增;
又 ，所以 的解为 ，故 .7分
(2) ，且 时， ，9 分
令 ,下证 即可.
,再令 ,则 ,
显然 在 上递增,则 12分
即 在 上递增,
故 ,即 在 上单调递增,
故 ,问题得证.15分
18.如图，设抛物线方程为 ，点 为直线 上任意一点，过 作抛物线的切线，切点分别为 ， .
(I) 若 的坐标为 ,求证: 直线 的方程为 ;
( II ) 已知 点的坐标为 ,求此时抛物线的方程;
( III ) 是否存在点 ,使得点 关于直线 的对称点 在抛物线 上,其中点 满足 ( 为坐标原点). 若存在,求出所有适合题意的点 的坐标; 若不存在, 请说明理由.
【解析】(I) 证明: 由 得
当 时，
所以 ,则 的方程为: ,
又
整理得:
同理,当 时, PM: .4分
(II) 解: 同(1): 设 ,则 PN 的方程为 ,又 点的坐标为 ,则 ,又 ,所以 ,同理 ,
所以 是方程 的两根,
因此 6分
又 ,
由弦长公式得
所以 或 2,因此所求抛物线方程为 或 9分
(III) 解: 设 ,由题意得 ,
则 的中点坐标为 ,
由(1)(2)可知:直线 的方程为 ，
由点 在直线 上，并注意到点 也在直线 上，
代入得 .
若 在抛物线上,则
因此 或 . 即 或 . 12 分
(1)当 时，则 ，此时，点 适合题意. 14 分
( 2 )当 ，对于 ，此时 ， ，
又 ,所以 ,
即 ,矛盾. 对于 . 因为 ,此时直线 平行于 轴,
又 ,所以直线 与直线 不垂直,与题设矛盾,所以 时,不存在符合题意的 点.
综上所述,仅存在一点 适合题意.17分
19.集合 , 对 中的两个不同元素 和 ,
若存在一个函数 满足:
①
②
③
则称: 与 是 中的一对“友好元素”.
(1)当 时,若 ，写出 对应的一个“友好元素”；
(2)若 和 是 中的一对“友好元素”，且满足 ,规定: 随机变量 服从分布 ,当 时，试写出 的分布列及其对应的一对 “友好元素” 与 ；
(3)当 时,若 且满足 ,证明: 若存在 使得 与 是 中的一对“友好元素”,则 中有且仅有 个 0.
【解析】(1) 当 时,由 ,需构造 满足
①
②
③
设 ,则 满足①②③，此时 ; 故 满足题意. 4 分
(1)取 满足
且满足
的分布列为
7 分
,所以 (其他合理答案,同样给分,如: 等)。9 分
(3)当 时,若 且满足 不妨令
①由于 ，所以 不可能都是 0 .
②若 中有 个 0，不妨设 ，则 ，此时 ， 根据题意 ,则 ,
但是当 时与 矛盾,所以不成立:
当 时, , 与 矛盾.
所以 中不可能有 个 0 .
③若 中有 个 0,不妨设 ,则 ，其中 ， 则存在函数 使得:
即存在 使得 与 是 中的友好元素 ".
④若 中 0 的个数小于等于 个，不妨设 ，
其中 ,则 .
假设存在 ,则有两种可能:
第一种: ,其中若 , 则 : 若 ,则 ,此时,
,
不符合题意:
第二种: ,
则
.
即这两种情况都有 ,矛盾.
综上可知，当 时，若存在序列B使得A与B为一对“友好元素”，则A中有n-2个0.17分0
2
4
6
0