河南省郑州外国语学校2026届高三下学期调研6考试数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 直线 的倾斜角为
A. B. C. D.
【答案】C
2. 已知函数，则
A．B．C．2D．4
【答案】D
【解析】因为，所以，所以.
3.设，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】取，，，
则，但，此时，
即“”“”；
取，，则，，
则，但，此时，
即“”“”.
因此，“”是“”的既不充分也不必要条件 .
4.若点在圆外，则实数的取值范围为
A．B．（－10，6）C．D．
【答案】B
【解析】点在圆外，即点到圆心的距离大于半径.
将圆方程化为标准形式得，圆心为，点 P 到圆心距离为 4，
故有，解得.
5.已知三次函数，若不等式的解集为，则的值为
A．0B．1C．2D．4
【答案】D
【解析】由，求导可得：，
由，得或，由，得，
所以在单调递增，在单调递减，
所以当时，极大值为4，
即当时，，
又当时，极小值为0，当时，，
且函数在单调递减，在单调递增，
即当时，，当时，，
综上可知不等式的解集为.
6.已知圆柱的上、下底面圆周都在一个球的球面上，若圆柱的表面积是球的表面积的一半，则圆柱的底面半径与球的半径的比值为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设圆柱的底面半径为r，高为2h，球的半径为R，则．
，
分子分母同除以，然后设，即，解得（舍去），
即，
所以.
7.在中，且为的中点，，与交于点.若，则实数的值为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由图象可得，，，三点共线，且为的中点，
故存在实数使，
有，
且，
因为，即，
因为与不共线，所以有，解得.
8.若使得不等式对任意恒成立，则实数的最大值为
A．1B．C．4D．
【答案】C
【解析】令，其中，
则，当时，，
当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递减．
所以使得不等式对任意恒成立等价于使得不等式对任意恒成立．
令得，由图可知，
因此实数的最大值为4.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是
A．
B．
C．若，则或
D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为
【答案】AD
【解析】选项A：设复数则则故选项A正确；
选项B:虚数无法比较大小，故选项B错误；
选项C：若则则复数有无数组解，例如，故选项C错误；
选项D：若Z的集合所构成的图形的面积，故选项D正确.
10.在某次联考中，全体物理方向高三学生数学成绩，此次联考物理方向数学一本线为80分，清北线为140分．已知：若，则，则下列说法正确的是
A．若随机变量，则服从标准正态分布
B．
C．从参考学生中依次抽取两名学生，则这两名学生的数学恰好有一人过清北线的概率为
D．从参考学生中随机抽取一人，在该生数学达到一本线的条件下，该生数学过清北线的概率为
【答案】BCD
【解析】对于A，因为，则，若随机变量，则服从标准正态分布，故时，才服从标准正态分布，故A错误；
对于B，，，由正态分布的对称性可得，所以，故B正确；
对于C，由，可得，所以从参考学生中依次抽取两名学生，则这两名学生的数学恰好有一人过清北线的概率为：，故C正确；
对于D，由，可得，所以，又，所以由条件概率公式可得，所以从参考学生中随机抽取一人，在该生数学达到一本线的条件下，该生数学过清北线的概率为，故D正确.
11.已知数列满足，，为的前项和，则下列结论正确的是
A．存在，使得成立
B．存在，使得且对任意成立
C．对任意，存在，使得成立
D．对任意奇数，存在和，使得成立
【答案】ABC
【解析】由题设是首项为1，公比为2的等比数列，则，且，
对于A：若，，，此时，对；
对于B：存在数列，使得对任意，都有且成立，此条件等价于且对任意成立，构造数列，该数列满足，，此时，，满足条件，故B正确；
对于C：当时，成立；当时，通过选择前项符号为正且第项符号为负，则，故C正确；
对于D：当时，，当时，（其中）。由于，令括号内为，因为为奇数，后续项为偶数，所以必为奇数，则为一个2倍的奇数，即该数能被2整除但不能被4整除。所以，其形式为型奇数，因此，（）不可能等于型的奇数，例如，又，故不存在使得，所以D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.在的二项展开式中，各项系数的和是________.
【答案】
【解析】令，则，则各项系数的和为 .
13.已知抛物线的焦点是双曲线：的右焦点，点是两曲线的一个公共点，为坐标原点．若，则的离心率为______.
【答案】
【解析】 抛物线的焦点为，双曲线的右焦点为，
由题意知，.抛物线的准线方程为，
因为，所以，即.
设在第一象限，将代入抛物线方程可得，所以.
代入双曲线方程，又，所以.
设，则，整理得，
解得，因为，所以，
所以.
14.把5个相同的乒乓球放入编号为1-7号的盒子里，其中编号为1-5号的盒子，每个盒子至多放1个球，编号为6-7号的盒子，每个盒子至多放3个球，则不同的放法有______种.
【答案】98
【解析】 解法一：1-5号盒共放0个球，即5个球放入6-7号盒子，有种放法；
1-5号盒共放1个球，有种放法；
1-5号盒共放2个球，有种放法；
1-5号盒共放3个球，有种放法；
1-5号盒共放4个球，有种放法；
1-5号盒共放5个球，有1种放法，所以共有种放法.
解法二：用表示个分配指标，现考虑符合题意的一种放法：
第1､2两个盒子各放1个球，第3､4､5､6盒子不放球，第7个盒子放3个球，
这个放法可用符号表示为.
考虑母函数
，
从第一､二个括号中各取，从第三､四､五､六个括号中各取，从第七个括号中取，
然后相乘，即得到展开式中的一个项，
此项的系数即为满足题意的分配名额的方案数.
从上分析可见，满足题意的名额分配的方案与多项式展开式中项正好一一对应，
故多项式的展开式中项的系数即为满足题意的名额分配的方案数.
又，
其中，
所以满足题意的分配方案数为98 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知分别是锐角三个内角的对边，且，．
(1)求的值；
(2)求面积的取值范围 .
【解析】（1）在锐角中，由正弦定理得，
又，
∵，所以，则，
在锐角中，，，即.
，
（2）由（1）得，，由正弦定理：，得
因为为锐角三角形，所以，所以，
所以，所以，
所以，
故面积的取值范围为 .
16.已知．
(1)讨论的单调性；
(2)若，且函数有三个零点，求的取值范围.
【解析】（1）因为的定义域为，且，
当时，恒成立，
当且仅当时等号成立，所以在上单调递减；
当时，，令，解得或，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；
当时，，令，解得或，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.
（2）若，由（1）得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
且当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于0，且，
当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于正穷大，
因为函数有三个零点，则方程有三个根，
所以函数与直线有三个交点，
又，由图可知：，即的取值范围为.
17.在三棱锥中，，，与平面所成的角为．
(1)若，如图，过点作平面，分别交，于点，．求证：平面；
(2)若，，求二面角的取值范围.
【解析】
（1）证明：由⊥平面，平面，可得⊥，
与平面所成的角为，且，所以⊥平面BCD，
因为平面，可得⊥，
又因为，，且平面，所以⊥平面，
因为平面，则，
又因为，且平面，所以平面PCD.
（2）因为，可得与平面BCD所成的角为，
以为坐标原点，以所在直线为轴，平行的直线为轴，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
因为，可得，
因为与平面BCD所成的角，，
可得点在平面BCD的投影为以为圆心，为半径的圆，
设，，，
设平面的法向量为，
则，
令，可得，所以，
又由平面的法向量为，
设二面角的大小为，
由图形知，二面角是锐二面角，即，
则，
令，则，
又因为在上单调递减，可得，
所以二面角的取值范围为.
18.已知无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为，，现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，训练结束.假定各轮结果相互独立.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件，蓝方击中红方目标为事件.
(1)求概率、；
(2)设随机变量表示经过1轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差，求的分布列和数学期望；
(3)求恰好经过3轮对抗后训练结束的条件下，红方多击中蓝方目标两次的概率.
【解析】（1）记无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中分别为事件，，，
红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功分别为事件，，，.
，
.
（2）经过1轮对抗，红方与蓝方击中对方目标数之差X的可能取值为.
，
，
.
X的概率分布为：
所以的数学期望.
（3）记3轮对抗后训练结束为事件C，记红方比蓝方多击中对方目标两次为事件D.
记3轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差为Y，
，
，
所以，
所以.
所以在3轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为.
19.已知离心率相同的椭圆与椭圆分别是同一矩形（两组对边分别与对称轴平行）的内切椭圆和外接椭圆
(1)求，
(2)设直线l与椭圆相交于两点，与椭圆相交于两点，且A在线段BD上
（ⅰ）求证：
（ⅱ）若，恰为DE的三等分点，求坐标原点O到直线l距离的取值范围.
【解析】（1）由题知点，，又因为两椭圆离心率相同，因此，即，，．
（2）由（1）知，，
当斜率k不存在时，显然成立；
当斜率k存在时，设直线l为，，，，，
联立得，，，，
设中点为，则，，
，
联立得，，，，
设中点为，则，，
，
和Q重合，
，
，
（ⅱ）①当斜率k不存在时，，
联立得，，
联立得，，
所以，计算得，所以．
②当斜率k存在时，，，，
，即，直线，
所以原点到直线的距离为，
，
，，，，
综上，坐标原点O到直线距离的取值范围是.0
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