浙江省浙南名校2025-2026学年高一下学期开学考试数学练习试卷含答案（word版）

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1. 本卷共 4 页满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3. 所有答案必须写在答题纸上, 写在试卷上无效.
4. 考试结束后, 只需上交答题纸.
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的.
1. 已知集合 A={x∈N∣x>1},B=x∣2x≤16 ，则 A∩B=
A. {2,3,4} B. 1,4 C. (1,4] D. ⌀
2. “ φ=π2 ”,是“函数 y=csx−φ 为奇函数” 的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 若函数 fx=2x+m 在区间 −∞,2 上单调递减,则实数 m 的取值范围是
A. (−∞,4] B. [4,+∞) C. (−∞,−4] D. [−4,+∞)
4. 已知 tanθ=−34,θ∈0,π ,则 2sinθ+csθ 的值为
A. -1B. −25C. −25 或 25 D. 25
5. 若 a=sin25π3,b=e0.5,c=lg20.4 ,则 a、b、c 的大小关系为
A. b>a>c B. a>b>c C. c>a>b D. b>c>a
6. 函数 fx=lga2x−1+1a>0且a≠1 的图象过定点 Am,n ,若对任意正数 x,y , 都有 mx+ny=3 ,则 3x+1+xy 的最小值为
A. 1 B. 2C. 115 D. 3
7. 在 △ABC 中, DA+2DB=0,AE=EC,BE 和 CD 相交于点 F ,设 AC=a,AB=b , 若 AF=xa+yb ,则 x+y 等于
A. 12 B. 25 C. 35 D. 34
8. 已知 a>b>0 ,则下列命题正确的是
A. 若 a−b=1 ，则 a3−b31
C. 若 ea−eb=1 ,则 a−b1
二、选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列结论正确的是
A. O 为平面内一定点，若 OA=4OB−3OC ，则 A 、 B 、 C 三点共线且 AB=3BC
B. 非零向量 a,b 满足 a⋅b0 ,则下列说法正确的是
A. 若将 fx 图象向左平移 π4 个单位长度，所得图象与原图象重合，则 ω 的最小值为 4
B. 若 fπ6=fπ3 ,则 ω 的最小值为 1
C. 若 fx 在 π2,π 内无零点,则 ω 的取值范围为 0,34
D. 若 fx 在 π2,π 内单调递减,则 ω 的取值范围为 12,54
11. 已知定义域为 R 的函数 fx ,对任意实数 x,y 都有 fx+y+fx−y=fxfy ,且 f2=−2 , 则以下结论一定正确的有
A. f0=0 B. fx 是偶函数
C. fx 的图象关于点 1,0 中心对称 D. f1+f2+⋯+f2026=−2
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若 csα+π3=12 ，则 sinπ6−α 的值为_____.
13. 已知 a,b 满足 a+b=1 ，且 a=1,−1 ，则 b 在 a 上的投影向量的模的最小值为_____.
14. 已知两条直线 l1:y=m+1 和 l2:y=4mm>0,l1 与函数 y=lg2x 的图象从左至右相交于点 A,B , l2 与函数 y=lg2x 的图象从左至右相交于点 C,D . 记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a,b ,当 m 变化时, ba 的最小值为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
已知向量 a,b 满足 a=csθ,sinθ,b=0,2, .
(1)若 a,b 的夹角为 π3 ，求 a+2b⋅b ；
(2)若 a+b⊥a ，求 csθ+5π2 的值.
16.(本小题满分 15 分)
已知函数 fx=csωxω>0 .
(1)若函数 y=fx 的最小正周期为 π ，求 ω 的值及 y=fx 的单调递增区间；
(2)设 ω=2,gx=fx−2fx2fx2−π4 ，求函数 y=gx 在区间 −π2,0 上的值域.
17.(本小题满分 15 分)
若函数 fx 的定义域为 D ,对于任意 x∈D ,都有 fm−x+fm+x=2n ,则称函数 fx 为中心对称函数,其中 m,n 为函数 fx 的对称中心.
(1)已知定义 R 上的函数 fx 的图象关于点 1,1 中心对称,且当 x≥2 时, fx=lg4x , 求 f0,f1 的值;
(2)探究函数 gx=x3−3x2 是否为中心对称函数. 若是，请求出对称中心并用定义证明； 若否, 请说明理由.
(3)运用第(2)问的结论
求 g2cs21∘+g2cs22∘+g2cs23∘⋯+g2cs287∘+g2cs288∘+g2cs289∘ 的值.
18.(本小题满分 17 分)
有一种新型的洗衣液,去污速度特别快,已知每投放 a1≤a≤6,a∈R 个单位的该洗衣液在一定量水的洗衣机中,它在水中释放的浓度 y (克 / 升) 随着时间 x (分钟) 变化的函数关系式近似为 y=a⋅fx ,其中 fx=2412−x−10≤x≤65−13x6