吉林省四平市2026年中考三模数学试题附答案

这是一份吉林省四平市2026年中考三模数学试题附答案，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列两个数中，互为相反数的是（ ）
A．和B．和
C．和D．4和
2．隋朝时期的青瓷高足盘是湖北省博物馆重要馆藏文物之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同D．三种视图都相同
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，小亮为将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，用数学知识解释他这样操作的原因，应该是（ ）
A．过一点有无数条直线
B．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
C．两点确定一条直线
D．两点之间，线段最短
6．图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若，，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
7．计算： ．
8．一元二次方程根的情况是 ．
9．如图，小明同学用木棍制成的测量旗杆的高度．他调整自己的位置，使斜边保持与地面平行，直角边与点在同一直线上．已知米，米，斜边离地面的高度米，米，则旗杆的高度 米．
10．如图，将平行四边形绕点A旋转得到平行四边形，点B'落在边CD上，若，当三点共线时，等于 ．
11．如图，在正方形中，以A为圆心，为半径画弧，再以为直径作半圆，连接，若正方形边长为4，则图中阴影部分的面积为 .
三、解答题（本大题共11小题，共87分）
12．先化简代数式，再从，，，四个数中选择一个你喜欢的数代入求值．
13．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，随机取出一个小球然后放回，再随机取出一个小球．
（1）第一次取出的小球标号为3的概率是 ；
（2）请用画树状图或列表的方法求两次取出的小球标号的和等于4的概率．
14．如图，在大长方形草坪中规划出了3块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．已知大长方形的长和宽分别为，，求小长方形的长和宽．
15．图①、图②、图③均是由的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．的三个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求完成作图（保留必要的作图痕迹）．
（1）如图①，作点A关于的对称点D；
（2）如图②，作，垂足为E；
（3）如图③，M是上一点（点M不与点B、C重合），在上找一点N，使的值最小．
16．如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离处有多远？（参考数据：，，）
17．如图，直线与双曲线的一个分支交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求双曲线的解析式；
（2）点在轴上，若，求点的坐标．
18．某学校举办的“青春之歌”主题歌手大赛分为初赛和决赛两个阶段．初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．教师评委打分：84 90 90 91 91 91 91 92 94 96；
b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）；
c．评委打分的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m的值为______，n的值位于学生评委打分数据分组的第______组；
（2）若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，求其余8名教师评委打分的平均数，并比较与原平均数的大小；
（3）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数，平均数较大的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是_____，表中k（k为整数）的值为 ．
19．蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量（千瓦时）和已行驶路程（千米）的相关数据，用函数图象表示如下．
（1）电池充满电时的电量为______千瓦时；
（2）求所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）在电量允许的情况下，如果在某段连续行驶时间里，汽车消耗了10千瓦时的电量，直接写出这段时间连续行驶路程的取值范围．
20．【问题情境】如图①，在正方形中，E为边上一点（不与点B、C重合），垂直于的一条直线分别交于点M、P、N．判断线段之间的数量关系，并说明理由．
【解决问题】小明根据所学知识，给出了如下不完整的证明过程：
线段之间的数量关系为．
理由如下：
∵四边形是正方形，
，如图①，过点B作分别交于点G、F．
∴四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
．
根据小明的解答思路，解答下列问题：
（1）将过程补充完整；
（2）上述证明过程中，证明四边形为平行四边形的理论依据为 ；
【结论应用】如图②，若图①的点M是的中点，且，其他条件不变，则的长为 ；
【问题拓展】如图③，将图①中的正方形沿着翻折，使得的对应边恰好经过点A，交AD于点F．若E为边的中点，且，直接写出的值．
21．如图，为矩形的对角线，，．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向点B运动，连接AP，取AP的中点Q，过点P作于点M，连接，以、为边作．设矩形与重叠部分图形的面积为y（平方单位），点P的运动时间为x（秒）
（1）当点N落在边上时，求x的值；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）连接，当直线将矩形的面积两等分时，直接写出x的值．
22．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过点，其顶点A的横坐标为1．点P是该抛物线在x轴上方的图象上的一点，其横坐标为m，点Q的坐标为，连接并延长交该抛物线的对称轴于点M，连接，以、为边作．
（1）求该抛物线对应的函数关系式；
（2）当，且轴时，求点Q的坐标；
（3）当点N与点Q的纵坐标之和为0时，求m的值；
（4）当四边形是轴对称图形时，直接写出m的值．
答案
1．【答案】B
【解析】【解答】解：A、，故和不是互为相反数，不符合题意；
B、，，故和是互为相反数，符合题意；
C、和，不是互为相反数，不符合题意；
D、4和，不是互为相反数，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数， 0的相反数是 0，负数的相反数是正数．
2．【答案】A
【解析】【解答】这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．
故选：A．
【分析】
从物体正面观察得到的图形叫主视图，从物体左边观察得到的图形叫左视图，从物体上面观察得到 的图形叫俯视图．
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A、，故选项错误，不符合题意；
B、 与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项正确，符合题意；
故选：D
【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方，幂的乘方等知识，分别进行计算，即可得出答案。
4．【答案】C
【解析】【解答】解：，
由得，，
由得，，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的解集在数轴上表示为：
故选：．
【分析】
先求出各不等式的解集，再在同一数轴上表示出各解集即可．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：因为“两点确定一条直线”，所以他在衣架两端各用一个钉子进行固定．
故选：C．
【分析】
利用直线公理“两点确定一条直线”．
6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】先利用两直线平行内错角相等得，，再根据等边对等角求得，最后再利用三角形内角和定理即可．
7．【答案】2
【解析】【解答】解：
，
故答案为：2．
【分析】实数的混合运算，先根据负整数指数幂的性质和零指数幂的性质运算即可．
8．【答案】有两个不相等的实数根
【解析】【解答】解：一元二次方程，，
∴
，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的实数根．
【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c=0，根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此即可求解．
9．【答案】12
【解析】【解答】解：延长交于H，
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，米，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（米），
即旗杆的高度米．
故答案为：12．
【分析】
延长交于H，则四边形ACDH为矩形，则可判定，由相似比可求得BH，再由矩形的对边相等即AH=CD即可．
10．【答案】28
【解析】【解答】解：∵平行四边形绕点A旋转得到平行四边形，
， ，，
，
，
，
，
∴=，
故答案为：．
【分析】根据图形旋转的性质求出∠C'=∠C=76°，再根据平行四边形的性质求出 ，，接着根据等腰三角形的性质求出，最后根据三角形的内角和定理计算求解即可。
11．【答案】
【解析】【解答】解：如图，设半圆与的交点为点E，取的中点为点O，连接，设以A为圆心，为半径画弧交于点F，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】
由圆的对称性可把弓形AE转化到弓形DE上，从而把阴影部分面积转化到扇形ADF中，再利用割补法即即可.
12．【答案】解：
，
，
只能取，
当时，原式
【解析】【分析】分式的化简求值，先根据分式的混合运算化简，化简时先把括号内的异分母分式化为同分母分式，再颠倒分子与分母的位置与前面的分式相乘，同时对分子和分母分别分解因式并约分，化结果为最简分式或整式，然后根据分式有意义的条件取舍的值，代入化简结果进行计算即可求解．
13．【答案】（1）
（2）解：画树状图如图．
由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的结果数有3种，
∴两次取出的小球标号的和等于4的概率是
【解析】【解答】（1）解：∵一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，
∴第一次取出的小球标号为3的概率是，
故答案为：；
【分析】（1）简单事件的概率可直接由概率公式求解；
（2）两步试验可通过画树装图或列表法求概率，画树状图是不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据.
（1）解：∵一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，
∴第一次取出的小球标号为3的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图如图．
由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的结果数有3种，
∴两次取出的小球标号的和等于4的概率是．
14．【答案】解：设小长方形的长和宽分别为、，根据图形可得：
，
解得：，
答：小长方形的长和宽分别为，
【解析】【分析】设小长方形的长和宽分别为、，观察图形可得，再联立方程组并求解即可．
15．【答案】（1）解：如图，点即为所求：
（2）解：如图，即为所求：
（3）解：如图，点即为所求：
【解析】【分析】（1）由轴对称的性质结合网格图的特征可在BC下方确定点D使BC垂直平分AD即可；
（2）先在BC上取格点G，使，再在BC上方取格点H，使且CH=CG，再连接BH与AC交点即为点E，因为可利用SAS证明，由全等的性质可得，则即；
（3）取格点，连接，延长与交于点，连接与交点即为点，由作法（2）得，同理，则，则，所以，则，故点关于的对称点为点，那么，则，根据两点间线段最短即可说理．
（1）解：如图，点即为所求：
（2）解：如图，即为所求：
（3）解：如图，点即为所求：
16．【答案】解：过作于，
在中，，海里，
（海里），
（海里），
在中，，
（海里），
（海里），
答：处距离处有140海里．
【解析】【分析】过作于构造直角三角形，再解求出PC和AC，再解求BC即可．
17．【答案】（1）解：把点代入直线得：，
解得：，
，
设双曲线的解析式为：，
把代入双曲线解析式得：，
，
双曲线的解析式为；
（2）解：在中，令，则，
解得：，
，
设点的坐标为，则，
，
，即，
解得：或，
点的坐标为或．
【解析】【分析】
（1）先利用直线上点的坐标特征把点代入直线解析式求出，再利用待定系数法求解即可；
（2）先利用直线上点的坐标特征求出点，设点的坐标为，则，再由三角形面积公式可得，再解方程即可．
（1）解：把点代入直线得：，
解得：，
，
设双曲线的解析式为：，
把代入双曲线解析式得：，
，
双曲线的解析式为；
（2）解：在中，令，则，
解得：，
，
设点的坐标为，则，
，
，即，
解得：或，
点的坐标为或．
18．【答案】（1）91；4
（2）解：若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为：，
∴，
∴比原平均数大
（3）甲，90
【解析】【解答】（1）解：由题意得，教师评委打分中91出现的次数最多，故众数，
45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n的值位于学生评委打分数据分组的第4组；
故答案为：91；4；
（3）解：甲选手的平均数为，
乙选手的平均数为，
∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
∴这三位选手中排序最靠前的是甲，丙选手的平均数大于乙选手的平均数且小于甲选手的平均数，
∴，
∴，
∵k为整数，
∴k的值为90．
故答案为：甲，90．
【分析】（1）众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据，可以是一个也可能是多个；中位数需要先对所有数据按照从小到大顺序排序，再根据样本容量取最中间的一个或最中间的两个数据的平均值；
（2）直接利用算术平均数的定义求出其余8名教师评委打分的平均数，再与原平均数进行比较即可；
（3）先由平均数的计算公式求出甲、乙的平均数，再根据丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中可得关于k的不等式，再解不等式求出满足条件的整数解即可．
（1）解：由题意得，教师评委打分中91出现的次数最多，故众数，
45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n的值位于学生评委打分数据分组的第4组；
故答案为：91；4；
（2）解：若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为：
，
∴，
∴比原平均数大；
（3）解：甲选手的平均数为，
乙选手的平均数为，
∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
∴这三位选手中排序最靠前的是甲，丙选手的平均数大于乙选手的平均数且小于甲选手的平均数，
∴，
∴，
∵k为整数，
∴k的值为90．
故答案为：甲，90．
19．【答案】（1）60
（2）解：设所对应的函数关系式为，将代入得
解得
；
（3）
【解析】【解答】解：（1）由图可知，电池充满电时的电量为60千瓦时，
故答案为：60；
（2）当在段消耗了10千瓦时的电量时，
(千米)
当在段消耗了10千瓦时的电量时，
（千米）
．
【分析】
本题考查一次函数的应用．
（1）观察图象可直接得出答案；
（2）设线段的函数关系式为，利用待定系数法直接求解即可；
（3）分别求出在段消耗了10千瓦时的电量时和在段消耗了10千瓦时的电量时对应的路程即可．
20．【答案】解决问题：（1）
四边形是正方形，
，
已证，
又，
，
，
， ，
，即；
（2）第一空：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
结论应用：1；
问题拓展：
解：如图，连接，
由轴对称图形的性质可得：，
，
，
，
为边的中点，，
，
，
，
设，
由折叠性质可得：，，
则，
在中，，则，
解得：，
，
，
又，
，
，，
，
，即，
设，则，则，
在中，，
解得：或（负数舍去）
，，
【解析】【解答】解：（2），，
，
又，
四边形为平行四边形，
则证明四边形为平行四边形的理论依据为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
结论应用：，
，则，
点M是的中点，
，
由，
，
故答案为：1；
【分析】解决问题：（1）过点B作MN的平行线交CD于点F，则四边形MBFN是平行四边形，则BM=FN；再由正方形性质可利用ASA证明，则，由于正方形中CD=CB，即CB=CE+BE=DF+CF，所以CE=DF=DN+BM；
（2）由平行四边形的概念可得四边形MBFN是平行四边形；
结论应用：由BE=1可得AB=CB=4，则CE=3，再由中点的概念可得BM=2，则DN=CE-BM=3-2=1；
问题拓展：如图，连接，由轴对称图形的性质得，则，再由平行线分线段成比例求出，因为B`C`=BC=4，所以，此时可设，则由折叠得：，由勾股定理可得，即，则；此时可再证明，由相似比可得，则可设FD=m，则AF=4-m，FC`=4m，再利用勾股定理可求得，则DF、AF均可求得，即可求．
21．【答案】（1）解：当点N落在边上时，如图，作于点，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由题意得，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，点Q是AP的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由题意得，即，
解得
（2）解：当时，；
当时，如图，
，
∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴
；
当时，如图，
由题意得，
同理，是的中位线，
∴，，，
∴，
综上，；
（3）x的值为或
【解析】【解答】（3）解：连接交于点，当直线经过点时，直线将矩形的面积两等分，
当时，如图，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点Q是AP的中点，
∴，
∴，
解得；
当时，如图，作于点，直线交于点，
由（2）得，
∴，
同理，是的中位线，
同理，求得，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上，x的值为或．
【分析】（1）延长NQ交AD于点E，由平行四边形的性质可得QE//PM//CD，则可证明，则由相似比可得，，同理可证明，则，，再根据列方程并求解即可；
（2）可分三种情况进行计算，即当点P在AC上且点N在矩形ABCD内部时，此时，则；当点P在AC上但点N在矩形ABCD外部时，此时，则，此时可证明，则利用三角函数可求出FG；当点P在CB上运动时，此时，则；
（3）由于矩形是中心对称图形，则经过对角线交点的任一条直线均可等分矩形面积，因此可连接交于点，当直线经过点时，直线将矩形的面积两等分，此时可分两种情况分别计算，即当N在BC上时，此时和N在矩形ABCD外时，此时时．
（1）解：当点N落在边上时，如图，作于点，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由题意得，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，点Q是AP的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由题意得，即，
解得；
（2）解：当时，；
当时，如图，
，
∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴
；
当时，如图，
由题意得，
同理，是的中位线，
∴，，，
∴，
综上，；
（3）解：连接交于点，当直线经过点时，直线将矩形的面积两等分，
当时，如图，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点Q是AP的中点，
∴，
∴，
解得；
当时，如图，作于点，直线交于点，
由（2）得，
∴，
同理，是的中位线，
同理，求得，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上，x的值为或．
22．【答案】（1）解：∵抛物线顶点A的横坐标为1，∴，
∴，
∵抛物线经过点，
∴，
解得，
∴该抛物线对应的函数关系式为
（2）解：设点P的坐标为，
∵轴，且点Q的坐标为，
∴点M和点P的纵坐标都为1，
解方程，
得或（舍去），
∴点Q的坐标为
（3）解：对于抛物线，顶点A的坐标为．
∵点N与点Q的纵坐标之和为0，又点Q的纵坐标为1，
∴点N的纵坐标为，
∵四边形是平行四边形，
∴互相平分，
∴，即，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∵，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入得，
整理得，
解得或
（4）m的值为或或或
【解析】【解答】（4）解：当平行四边形是菱形时，平行四边形是轴对称图形，此时，对角线与对角线互相垂直平分，
∵点Q的坐标为，
∴点N的纵坐标为，
∵点A的坐标为，
∴点M与点A关于直线对称，
∴点M的坐标为，
设直线的解析式为，
∵，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入得，
整理得，
解得或．
当平行四边形是矩形时，平行四边形是轴对称图形，
此时，，
∴，
设，
，
，
，
∴，
∴，
∴，
同理得的解析式为，
将代入得，
整理得，
解得或．
综上，m的值为或或或．
【分析】（1）由于抛物线的对称轴经过顶点，则可先求出b，再利用待定系数法求出c即可；
（2）由于垂直y轴的直线上所有点的纵坐标相等，即点M和点P的纵坐标都为1，即，解方程求出正数解即可；
（3）由题意可先求得点N的纵坐标为，由平行四边形的对角线互相平分得，求得，，设直线的解析式为，利用待定系数法求出QM的解析式，再把点P的坐标代入到直线QM上即可；
（4）若成轴对称图形，则是菱形或矩形时才是轴对称，所以应分别计算，具体方法同（3）求解即可．
（1）解：∵抛物线顶点A的横坐标为1，
∴，
∴，
∵抛物线经过点，
∴，
解得，
∴该抛物线对应的函数关系式为；
（2）解：设点P的坐标为，
∵轴，且点Q的坐标为，
∴点M和点P的纵坐标都为1，
解方程，
得或（舍去），
∴点Q的坐标为；
（3）解：对于抛物线，顶点A的坐标为．
∵点N与点Q的纵坐标之和为0，又点Q的纵坐标为1，
∴点N的纵坐标为，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∵，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入得，
整理得，
解得或；
（4）解：当平行四边形是菱形时，平行四边形是轴对称图形，
此时，对角线与对角线互相垂直平分，
∵点Q的坐标为，
∴点N的纵坐标为，
∵点A的坐标为，
∴点M与点A关于直线对称，
∴点M的坐标为，
设直线的解析式为，
∵，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入得，
整理得，
解得或．
当平行四边形是矩形时，平行四边形是轴对称图形，
此时，，
∴，
设，
，
，
，
∴，
∴，
∴，
同理得的解析式为，
将代入得，
整理得，
解得或．
综上，m的值为或或或．
平均数
中位数
众数
教师评委
91
91
m
学生评委
90.8
n
93
评委1
评委2
评委3
评委4
评委5
甲
91
92
92
92
92
乙
90
90
92
93
92
丙
90
94
90
94
k