广东省广州市荔湾区2026年中考二模数学试题附答案

这是一份广东省广州市荔湾区2026年中考二模数学试题附答案，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．用5个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的左视图是( )
A．B．C．D．
3．若分式的值为零，则x等于（ ）
A．0B．2C．D．
4．下列命题为假命题的是（ ）
A．两点确定一条直线B．若，则
C．等角的余角相等D．两直线平行，同位角相等
5．如果n边形的内角和是它外角和的2倍，则等于 （ ）
A．B．C．D．
6．如图，将边长为的等边沿边向右平移得到，则四边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
7．扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴，如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为S、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则m与n关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
8．为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（ ）
A．B．C．D．
10．如图，过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A、B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE，若AD＝2DC，△ADE的面积为8，则k的值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
11．因式分解： ．
12． ．
13．关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 ．
14．如图，在中，，，的垂直平分线交于，交于，若，则的长为 ．
15．某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架上的点E处，然后沿着直线后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，则这棵树的高度（的长）是 米．
16．如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论正确的有 ．（填序号）
①的最小值为；②的最小值为；③周长的最小值为6；④四边形面积的最小值为．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．解方程组：．
18．如图，在中，点，分别是对角线上的两点，且，连结，．求证：．
19．（1）化简：；
（2）若是方程的根，求的值．
20．如图，已知线段和线段．
（1）用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）
①作线段的垂直平分线，交线段于点；
②以线段为对角线，作矩形，使得，并且点在线段的上方．
（2）当，时，求（1）中所作矩形的面积．
21．在“全民阅读月”活动中，某校提供了四类适合学生阅读的书籍：A文学类，B科幻类，C漫画类，D数理类．为了解学生阅读兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：
（1）本次抽查的学生人数是______，统计表中的______．
（2）若该校共有1200名学生，请你估计该校学生选择“D”数理类”书籍的学生人数；
（3）学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团．若小文、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率．
22．如图，内接于，是的直径，为上一点，，延长交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
23．根据以下素材，探索完成任务．
24．如图所示，为等腰三角形，，点D是上一点，连接．
（1）如图1，若，，以为边在的右侧作等边，连接，求的长；
（2）如图2，若，以为底边在的右侧作等腰直角，连接，求证：；
（3）如图3，若，点E为中点，将绕点A顺时针旋转得到线段，连接，直线与直线交于点F，当取得最小值时，直接写出的值．
25．如图，已知抛物线的顶点为，且经过点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点的一条直线与抛物线交于点，且满足，求点的坐标；
（3）过点作轴的平行线交轴于点，过点的直线与抛物线交于，两点，求的值．
答案
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、，故此选项运算错误，A不符合题意；
B、，故此选项运算错误，B不符合题意；
C、，故此选项运算错误，C不符合题意；
D、，故此选项运算正确，D符合题意；
故答案为：D．
【分析】分别根据有理数的乘方，绝对值的性质，算术平方根，立方根，逐项进行正确计算，即可得出答案。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：从左面观察立体图形可知：小正方体有两列，左边一列有由3层，右边一列只有1层，即可画出立体图形的左视图为：
故答案为：C．
【分析】根据立体图形的三视图，左视图即为从左边向右看看到的图形，即可得出答案。
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵分式的值为零，
∴，
解得，
故答案为：C。
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零；然后再根据分式的值为零时，分子等于零，据此即可求解。
4．【答案】B
【解析】【解答】解：A、两点确定一条直线是真命题，不符合题意；
B、若，则或，故原命题是假命题，符合题意；
C、等角的余角相等是真命题，不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等是真命题，不符合题意；
故答案为：B。
【分析】根据真假命题的定义：正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，然后再对各个选项逐一进行分析即可求解。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：依题意，列方程得
＝2360
解得，n=6。
故答案为：C。
【分析】根据n边形的内角和公式：S=（n-2）×180，然后再根据“n边形的内角和是它外角和的2倍”，据此建立方程：＝2360，然后解出n即可。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵是沿向右平移得到
∴cm，
∵是等边三角形，且边长为5cm
∴，，AB=5cm，
∴
∴四边形的周长为：9+5+4+5=23cm
故答案为：C。
【分析】根据平移的条件，求出、的值， 再根据是等边三角形，即可求出的长度，进而得出的长度，最后再根据四边形的周长公式，代入数据即可求解。
7．【答案】C
【解析】【解答】
解：设扇面的半径为，则：，
∴，
∴是的正比例函数，且；
∴图象为；
故答案为：C．
【分析】根据扇形面积计算公式，可得出且（n＞0），根据一次函数的图象与系数的关系，可得出答案。
8．【答案】A
【解析】【解答】解：设每个足球的价格为x元，则每个篮球的价格为(x+20)元，用1500元购进篮球的数量为个，用800元购进足球的数量为，
∴-=5.
故答案为：A.
【分析】设每个足球的价格为x元，则每个篮球的价格为(x+20)元，根据总价÷单价=数量表示出购买足球、篮球的个数，然后根据题意就可列出方程.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：连接、、，交于，如图，
，与相切，切点分别为，，
，，平分，
，
，
，
，
，
∵
∴
∵
∴在中，，
，
．
故答案为：D。
【分析】连接、、，交于，根据切线的性质，可得，再根据切线长定理，可得，平分，然后再根据等腰三角形的性质得到，进而可得，根据圆周角定理得到，根据AB的长，求出AO、OC、和OB的长， 在中，根据勾股定理：，代入数据，求出OP的值，然后再根据正弦函数的定义： ，代入数据即可求解。
10．【答案】B
【解析】【解答】解：连接，，过点作轴，过点作轴，过点作，
过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，
与关于原点对称，
是的中点，
，
，
，
为的平分线，
，
，
，
，的面积为8，
，
设点，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：。
【分析】连接，，过点作轴，过点作轴，过点作；根据题意，可知O是AB的中点，再根据平行线的判定定理，可得，进而可得；设点，根据题干信息，可得，，可得，进而可求出点D的坐标，易证，从而可得，所以，代入数据即可求解。
11．【答案】
【解析】【解答】解∶，
故答案为：．
【分析】根据因式分解步骤，首先提公因式，然后再利用乘法公式进行因式分解即可。
12．【答案】
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：．
【分析】首先根据负整数指数的性质化简，并把30°锐角的余弦值代入原式，然后再进行运算，即可得出答案。
13．【答案】
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
故答案为：。
【分析】根据“有两个不相等的实数根 ”，可知，据此即可求解。
14．【答案】
【解析】【解答】解：的垂直平分线交于，交于，
，，
，
，
根据勾股定理。
故答案为：。
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可求出AD=BD的值，进而可求出的值，然后再根据三角形的外角定理，即可求出的值，再根据直角三角形的性质，求出AC的值，最后再根据勾股定理： ，代入数据，即可求解。
15．【答案】4.1
【解析】【解答】解：过点作水平线交于点，交于点，如图，
∵是水平线，都是铅垂线．
∴米，米，米，
∴（米），
由题意得，
∴，
，即，
解得：米，
∴(米)．
故答案为：4.1．
【分析】过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质可得∠CEH=∠GEA，由相似三角形的判定“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，再根据相似三角形的性质"相似三角形的对应边成比例”可得关于AG的方程，解方程求出AG的长，然后由线段的和差AB=AG+GB计算即可求解．
16．【答案】②③④
【解析】【解答】解：①如图，延长交于M，过P作直线，
和是等边三角形，
，
，
四边形是平行四边形，
为中点，
为中点，
在线段上运动，
在直线l上运动，
由知等边三角形的高为，
到直线l的距离，P到直线的距离都为，
作A关于直线l的对称点，连接，当P运动到与直线l的交点，即共线时，最小，
此时最小值，故①错误；
②，
，
当共线时，最小，最小值为的长度，
为的中点，
，
为等边三角形的高，
的最小值为，故②正确；
过D作于K，过C作于T，如图，
和是等边三角形，
，
，
，即，
，
周长的最小值为6，故③正确；
④设，则，
，，，，
，
当时，四边形面积的最小值为，故④正确．
故答案为：②③④。
【分析】①延长交于M，过P作直线，根据和是等边三角形，根据平行四边形的判定定理，易证四边形是平行四边形，根据P为中点，知P为中点，易得P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点，连接，当P运动到与直线l的交点，即共线时，最小，再根据勾股定理求出的值；②根据，易得共线时，最小，最小值为MF，根据等边三角形的性质和勾股定理，代入数据，即可求出MF的值；③过D作于K，过C作于T，根据题意，可知和是等边三角形，得，有，根据三角形CDE的周长公式，即可求出周长的最小值；④设，则， 进而求出AK、BT、DE和CT的值，最后再根据三角形的面积公式和梯形的面积公式，分别求出三角形ADK、BCT和梯形DKCT的面积，用m表示，再配方，当m=1，将m代入即可求出四边形ABCD面积的最小值。
17．【答案】解：
把②代入①，得，
解得：，
把代入②，得，
所以原方程组的解是。
【解析】【分析】先将方程组进行标注，然后再将②代入①，求出x的值，再将x的值代入②，求出y的值，进而即可求出方程组的解。
18．【答案】证明∶连接交于O，连接，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴。
【解析】【分析】连接交于O，连接，，根据平行四边形的性质：对角线互相平分，然后再根据，易得，最后再根据平行四边形的判定定理和性质，易证，最后再根据平行线的性质，即可求解。
19．【答案】解：（1）
；
（2）∵是方程的根，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
当时，；
当时，．
即的值为3或0。
【解析】【分析】（1）先对括号里面的分式进行通分运算，然后再对除号后面的分式根据完全平方公式，再将除法换算成乘法，最后再进行约分化简即可。
（2）将a代入 ，然后再根据十字交叉法，对式子进行分解，求出a的值，然后再将a的值代入（1）中化简的分式中，即可求出T的值。
20．【答案】（1）解：①线段的垂直平分线，如图所示，
②如图，矩形ABCD即为所求．
（2）解：如图所示，
∵在矩形中，，，，
∴在中，，
∴矩形的面积是，
故答案是：．
【解析】【分析】（1）①根据线段垂直平分线的尺规作图法进行作图，要保留作图痕迹，同时垂直平分线表示为l，垂足标记为点O即可；
②根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可以点O为圆心，线段OA的长为半径作弧，又因为要使AB=a，所以再以A为圆心，已知线段a的长为半径，作弧，根据点B位置的要求，即可得出点B的位置，进而得出点C的位置，即可得出矩形ABCD。
（2）根据勾股定理可求出的长度，然后根据长×宽，即可得出矩形的面积．
（1）解：①线段的垂直平分线，如图所示，
②如图，矩形ABCD即为所求．
（2）解：如图所示，
∵在矩形中，，，，
∴在中，，
∴矩形的面积是，
故答案是：．
21．【答案】（1）80；32
（2）解：根据题意，可得
人，
答：估计该校学生选择“D”数理类”书籍的学生人数为120人；
（3）解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中他们选择同一社团的结果有4种，
所以他们选择同一社团的概率是。
【解析】【解答】（1）解：本次抽查的人数为：人；
；
故答案为：80；32。
【分析】（1）用文学类的学生人数除以其占比，即可求出本次调查的学生人数；然后再用本次调查的学生人数乘以科幻类的占比，即可求出科幻类的学生人数；
（2）用数理类的学生人数除以本次调查的学生人数，求出其占比，然后再乘以该校的学生总人数，即可求出数理类的学生人数；
（3）根据题干信息，列出四种阅读社团的所有等可能的结果数，然后再找出符合条件的结果数，最后再根据概率的公式，即可求解。
（1）解：本次抽查的人数为：人；
；
故答案为：80；32；
（2）解：人，
答：估计该校学生选择“D”数理类”书籍的学生人数为120人；
（3）解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中他们选择同一社团的结果有4种，
所以他们选择同一社团的概率是．
22．【答案】解：（1），
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
是的切线；
（2），
，
，
设，则，
，，
在中，，
即，
解得（舍去），
．
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于90°，可得出，然后再通过等量代换得出∠D+∠AED=∠ACE+∠BEC=∠ACE+∠BCE=90°，进而得出DAE=90°，再根据切线的判定，即可得出结论；
（2）根据，可得出tan∠D=，设，则，AB=2(x+3），在中，根据勾股定理，可得出，解方程得出x=2，进一步即可得出BC=BE=6+x=8.
23．【答案】解：任务一：由题意抛物线的顶点坐标为，
，
解得，
，．
任务二：由题意抛物线的对称轴，
顶点在直线上，
顶点坐标为，
此时喷出的抛物线水线最大高度为9米。
任务三：∵要使喷出的抛物线水落地时离岸边不能少于米且不能超出2米，
∴，
∴，
，
。
当时，抛物线的顶点坐标，，此时，解得，
当时，抛物线的顶点坐标为，此时，解得，
的取值范围为。
【解析】【分析】任务一：根据素材2的条件和任务一中的条件，可知抛物线的顶点坐标，根据再顶点坐标公式可得，解该方程组即可求出a和b的值。
任务二：根据（1）中的解析式，然后再根据抛物线的对称轴公式：，代入数据，求出对称轴；根据顶点在直线y=x上，由此，可求出顶点坐标，进而确定喷出的抛物线水线最大高度。
任务三：由于要使喷出的抛物线水落地时离岸边不能少于米且不能超出2米，根据抛物线的对称轴的位置，列出不等式：，求出的取值范围，即可求解。
24．【答案】（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
过点A作于点F，
则，，
∴，
∴；
（2）证明：延长到F，使得，连接，，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴；
（3）
【解析】【解答】
解：过作交于点G，交于点H，设，
∵，
∴，
又∵
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴点在的垂直平分线上运动，当时，长最小，
这时，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【分析】（1）根据SAS可证得，从而得出，进而得出，然后过点A作于点F，根据等边三角形的性质可得出DF=1，AF=3，进而根据勾股定理，可得出AD的长；
（2）延长到F，使得，连接，，可根据SAS证明，可得出=45°，进而得出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论；
（3）过作交于点G，交于点H，设，可以得到，即可知道点在的垂直平分线上运动，当时，长最小，然后利用解直角三角形求出和长解题即可．
（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
过点A作于点F，
则，，
∴，
∴；
（2）证明：延长到F，使得，连接，，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴；
（3）解：过作交于点G，交于点H，设，
∵，
∴，
又∵
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴点在的垂直平分线上运动，当时，长最小，
这时，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
25．【答案】（1）解：∵抛物线的顶点，
∴，
∵抛物线经过点，
∴，
解得：，
∴，
即。
（2）解：由（1）知，如图1，
取的中点，以为边向下作正方形，连接，
根据对称性，此时点一定在边上，，，
∵，，
∴，，
过点作于点，则，
∴，
∵，
∴，
①当在轴下方时，，则，
联立，
解得或，
∴；
②当在轴上方时，，则，
联立，
解得或，
∴；
综上所述，点的坐标为或。
（3）解：如图2，
∵，
∴，
设，，，且，
联立，
得，
则，，
则，
，
∴
，
∴。
【解析】【分析】（1）根据抛物线的顶点式解析式：，将P点坐标代入该解析式中，得到，然后再将O点坐标代入，求出a的值，即可求出顶点式解析式，最后再将顶点式的解析式化为一般形式即可。
（2）根据（1）的解析式，可求出A点的坐标，取的中点，以为边向下作正方形，连接，根据对称的性质，可知，P点在EF上，然后再根据勾股定理：，代入数据，求出的长度，进而可求出PF和PA的长度；过点作于点，求出，根据正切函数的定义：和，代入数据，求出其值。然后再分两种情况：C在轴下方和C在轴上方，联立OC直线解析式和抛物线的解析式，然后再解方程组，即可求解；
（3）根据图形所示，可求出P和Q的坐标，设，，，联立直线和抛物线的解析式，然后再根据韦达定理，求出和的值，然后再根据两点间的坐标公式，分别求出MQ和NQ的值，然后再将MQ和NQ的值代入，即可求解。
（1）解：∵抛物线的顶点，
∴，
∵抛物线经过点，
∴，
解得：，
∴，
即；
（2）解：由（1）知，
如图1，
取的中点，以为边向下作正方形，连接，
根据对称性，此时点一定在边上，，，
∵，，
∴，，
过点作于点，则，
∴，
∵，
∴，
①当在轴下方时，，则，
联立，
解得或，
∴；
②当在轴上方时，，则，
联立，
解得或，
∴；
综上所述，点的坐标为或；
（3）解：如图2，
∵，
∴，
设，，，且，
联立，
得，
则，，
则，
，
∴
，
∴．书籍类别
学生人数
A文学类
24
B科幻类
C漫画类
16
D数理类
8
素材1
某广场的音乐喷泉形状如抛物线（图1），其出水口不变，抛物线的形状随音乐的节奏起伏变化而变化，出水口离岸边18米（图2）．
素材2
设其出水口为原点，音乐变化时，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线（图3），这组抛物线的统一形式为．例如当时，直线，若抛物线最大高度达2米，则此时抛物线的顶点坐标为．
素材3
若是函数图象上一点，则，得．
任务一
若已知，且喷出的抛物线水线最大高度达3米，求此时抛物线的顶点坐标及a、b的值．
任务二
若，喷出的水恰好达到岸边，求此时喷出的抛物线水线最大高度．
任务三
若，要使喷出的抛物线水落地时离岸边不能少于米且不能超出2米，求k的范围．