湖南省长沙市2025届高三下学期6月保温数学练习卷（三） 含解析

这是一份湖南省长沙市2025届高三下学期6月保温数学练习卷（三） 含解析，共10页。试卷主要包含了 请保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡
皮擦干净后, 再选涂其它答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 请保持答题卡的整洁. 考试结束后, 将本试题卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一
项是符合题目要求的.
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．复数 ，则复数 的虚部为
A． B． C． D．
3．甲､乙､丙､丁四人计划一起去陕西省榆林市旅游，他们从榆林古城､镇北台､红石峡､榆林
沙漠国家森林公园､红碱淖､白云山､易马城遗址这 7 个景点中选 4 个游玩（按照游玩的顺序，
最先到达的称为第一站，后面到达的依次称为第二､三､四站），已知他们第一站不去榆林沙
漠国家森林公园，且第四站去红碱淖或白云山，则他们这四站景点的选择共有（ ）
A．180 种 B．200 种 C．240 种 D．300 种
4．已知向量 ，若 的夹角为钝角，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数 的定义域为 R，且 为奇函数， 为偶函数，当 时，
，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．2025
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6．已知 是第四象限角，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知 是 上的增函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在三棱锥 中， ， ，平面 平面 ABC
，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有
多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分.
9．已知关于 的方程 有两个不相等的实数根 ， ，且 ，则下列说法
正确的是（ ）
A． 或
B．若 ，则关于 的不等式 的解集为
C．若 ，则 的最小值为 3
D．若 ，函数 在 时取得最大值
10．将函数 向左平移 个单位，得到函数 ，下列关于 的说法正
确的是（ ）
A． 关于 对称
B．当 时， 关于 对称
C．当 时， 在 上单调递增
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D．若 在 上有三个零点，则 的取值范围为
11．已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，过 的直线交 C 的右支于 A，
B 两点，若 ， ，则（ ）．
A．C 的离心率为 2 B．
C． 的面积为 4 D． 的周长为 18
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12．已知 是公比为 2 的等比数列， 是公差为 4 的等差数列，若 ，则
的通项公式为 ．
13．在对某中学高三年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机
抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有 50 人，其体重的平均数和方差分别
为 54，20，抽取的女生有 40 人，其体重的平均数和方差分别为 45，11，则估计该校高三年
级学生体重的方差为 ．
14．如图，在平面直角坐标系 中放置着一个边长为 1 的等边三角形 ，且满足 与
轴平行，点 在 轴上.现将三角形 沿 轴在平面直角坐标系 内滚动，设顶点
的轨迹方程是 ，则 的最小正周期为 ； 在其两个相邻零
点间的图象与 轴所围区域的面积为 .
四、解答题:本大题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(本小题满分 13 分)
在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知 ，
．
（1）求 的值；
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（2）若 ，求 的面积．
16．(本小题满分 15 分)
如图，已知椭圆 的一个焦点为 ，离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作斜率为 的直线交椭圆 于 两点， 的中点为 .设 为原点，射线 交
椭圆 于点 .当四边形 为平行四边形时，求 的值.
17．(本小题满分 15 分)
如图，在直三棱柱 中， ， ， 是 的中点．
（I）求证：平面 平面 ；
（II）若异面直线 与 所成角为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
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18． (本小题满分 17 分)
已知函数 ， ，其中 .
(1)若曲线 在 处的切线 与曲线 在 处的切线 平行，求 的值；
(2)若 时，求函数 的最小值；
(3)若 的最小值为 ，证明：当 时， .
19． (本小题满分 17 分)
将 n 个正整数构成的数列 ， ，…， 变为 1，2，…， ， ，1，2，…， ， ，…，
1，2，…， ， 的操作称为一次“扩展”．现对数列 1，2，3，…，n 扩展 m 次．
(1)若 ， ，写出扩展后的数列；
(2)设扩展 m 次后得到的数列所有项之和为 ，证明： ；
(3)从第 2025 次扩展后的数列中任取一项，求取到数字 的概率 ．
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湖南省长沙市 2025 届高三 6 月保温数学练习卷（三）
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B A C B A B ABD ABC
题号 11
答案 ABD
1．B
【分析】计算得到 ， ，再计算交集得到答案.
【详解】 ， ，
故 .
故选：B.
2．A
【分析】根据复数的乘法以及除法运算法则即可化简 ，进而可求虚部.
【详解】因为 ，所以复数 的虚部为 2．
故选:A
3．B
【分析】根据分步乘法原理，结合排列组合即可求解.
【详解】先考虑第四站，第四站去红碱淖或白云山，故有 种安排方法，
接着考虑第一站，去掉榆林沙漠国家森林公园以及第四站去的景点，有 种选择，
最后从剩下的景点中选择任意两个景点游玩有 种选择，
故可得他们这四站景点的选择共有 种.
故选：B
4．A
【分析】首先利用坐标公式求出向量 的数量积，然后求出向量 夹角的余弦值，根据
夹角为钝角条件求出 的取值范围.
【详解】因为向量 ，
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所以 .
所以向量 夹角的余弦值为：
因为向量 的夹角为钝角，所以
解得 且 （当 时 ），所以实数 的取值范围为 .
故选：A.
5．C
【分析】由函数奇偶性，确定 为周期函数，再结合 ，求得 ，即可求解.
【详解】因为 为奇函数，所以 关于点 中心对称，
又 为偶函数，所以 关于直线 对称，
所以 为周期函数且周期 ，
∴ ，∵ ，∴ ，∴
.
故选:C．
6．B
【分析】根据同角三角函数基本关系及二倍角公式，求得 ，再根
据角的范围计算即可.
【详解】
是第四象限角， ，
， .
故选：B．
7．A
【分析】求出函数的导函数，根据 是 上的增函数，可得
在 上恒成立，分离参数，从而可求得答案.
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【详解】由 ，
得 ，
因为 是 上的增函数，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
由于 ，所以 ，即
故选：A.
8．B
【分析】
由题意说明 为等腰直角三角形，根据面面垂直性质推出 平面 ，进而结合
球的几何性质，确定三棱锥 外接球球心位置，求出外接球半径，即可求得答案.
【详解】
由于 ， ，故 ，
即 为等腰直角三角形，
取 AC 的中点为 M，连接 ，
因为 ，即 为正三角形，故 ,
由于平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
故 平面 ， 平面 ，故 ；
又 M 为 的外心，
则三棱锥 外接球的球心必在 BM 上，
设 的中心为 O，则 O 在 BM 上且 ，
而 ，
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则 ，
即 ，
即 O 点即为三棱锥 外接球的球心，
故外接球半径为 ，所以外接球表面积为 ，
故选：B
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键在于要能根据条件，结合球的几何性质，确定出三棱锥外接球球
心的位置，进而求得半径.
9．ABD
【分析】A 选项，利用根的判别式列不等式求解；B 选项，根据 和韦达定理得到 ，
然后结合三个“二次”的关系解不等式；C 选项，根据韦达定理和基本不等式得到 ，然
后利用韦达定理和基本不等式求最值；D 选项，根据二次函数的性质判断.
【详解】易知 且 ，所以 或 ，故 A 正确；
因为 ， ， ，所以 ， ，
所以关于 的不等式 的解集为 ，故 B 正确；
因为 ，所以 ， ，则 ，
又 ，所以 ，解得 ，
，
当且仅当 时，等号不成立，故 C 错误；
因为 时， ，二次函数 的图象开口向下，且对称轴为直线 ，
所以当 时，二次函数 取得最大值，故 D 正确．
故选：ABD.
10．ABC
【分析】 ，故选项 A 正确；当 时， ， 是函数的最小值，故选
项 B 正确； ，所以 在 上单调递增，故选项 C 正确；得
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，所以 ，所以 ，故选项 D 错误.
【详解】 ，当 时，得 ， ，故选
项 A 正确；
当 时， ， 是函数的最小值，所以 关于 对
称，故选项 B 正确；
当 时， ，得 ，所以 在 上单调递增，
故选项 C 正确；
由 ，得 ，由于 在 上有三个零点，所以
，所以 ，故选项 D 错误.
故选：ABC．
11．ABD
【分析】由双曲线方程可得 ，由 ， 可得
∽ ，据此可得题中所涉线段长度，即可判断选项正误.
【详解】如图所示，不妨设 A 在第一象限，则 ，
由于 ，得 ， ，
由于 ，所以 ∽ ，
故 ，可得 ，故 ，
而 ，故 ，由 ，得 ，
对于 A，C 的离心率 ，故 A 正确；
对于 B，由以上分析可知 ，故 B 正确；
对于 C，在 中， ， ， ，
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故 ，故 C 错误；
对于 D， 的周长为 ，故 D 正确.
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用相似三角形的判定定理和性质定理得到比例式.
12．
【分析】根据等比数列通项公式求出 ，再利用等差数列通项公式即可.
【详解】由题意可得 ，则 ，即 ，
则 的通项公式为 .
故答案为：
13．36
【分析】根据分层随机抽样样本平均数公式和方差公式即可算出答案.
【详解】由分层随机抽样样本平均数公式可得 ，
根据分层随机抽样样本方差公式 ．
故答案为：36.
14．
【分析】根据题设条件可得 的轨迹（如图所示），再根据轨迹可得 的周期和相邻零点
间的图象与 轴所围区域的面积.
【详解】设 ，
如图，当三角形 沿 轴在平面直角坐标系 内滚动时，
开始时， 先绕 旋转，当 旋转到 时， 旋转到 ，此时 ，
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然后再以 为圆心旋转，旋转后 旋转到 ，此时 ，
当三角形再旋转时， 不旋转，此时 旋转到 ，
当三角形再旋转后，必以 为圆心旋转，旋转后 旋转到 ，
点 从开始到 时是一个周期，故 的周期为 ，
如图， 为 相邻两个零点，
在 上的图像与 轴围成的图形的面积为：
.
故答案为： .
【点睛】方法点睛：以图形旋转为背景的函数问题，应该通过前几次的旋转得到周期性，再
在一个周期内讨论对应的函数性质即可.
15．（1） ；（2）
【分析】（1）由正弦定理可得 ，再用余弦定理求出 ；
（2）由题可求出 ，根据 求出 ，根据面积公式可求出.
【详解】（1） ， ，
由正弦定理得 ，则 ，
；
（2）可知 ，则 ，
，
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 的面积 .
【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，属于基础题.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率以及焦距即可求解方程，
（2）联立直线与椭圆的方程得到韦达定理，利用向量的坐标匀速即可代入坐标求解.
【详解】（1）由题意得椭圆 的半焦距 ，
又 ，则 ， ，
椭圆 的方程为 .
（2）由（1）得椭圆 的方程为 ，
由题意得直线 的方程为 ，即 ，
联立 消去 得 ，
设 ，则 .
四边形 是平行四边形，
设 ，则 ，即 ，
，
又 ，即 ，解得
17．（I）见证明;（II） .
【分析】（I）做辅助线如图所示，根据图形的性质得到线面垂直 平面 ，再由平
行四边形的性质得到线线平行，进而得到面面垂直；（II）建立空间坐标系根据线线角得出
是正三角形，分别求出两个面的法向量进而得到面面角.
【详解】（I）证明：分别取 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ，
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则 ， ，有 ，即四边形 是平行四边形.
，
，
，
又平面 平面 ， 平面 ，
而 ， 平面 ，
又 平面 ，
平面 平面 .
（II）连接 ，由 知 是异面直线 与 所成角，
，易知 是正三角形
不妨设 ，则 ，取 为原点，直线 ， ， 分别为 ， ， 轴，
建立坐标系 ，显然平面 的一个法向量为 .
由 ， ， 得， ， .
设 是平面 的法向量.
则 ，取 .
. .
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故平面 与平面 夹角的余弦值为 .
【点睛】利用平面与平面垂直的判定定理的关键点：（1）通过直线与平面垂直来证明平面与
平面垂直，进一步转化为处理线线垂直问题，（2）证明平面与平面垂直，只要在一个平面内
找到两条相交直线和另一个平面内的直线垂直即可.
18．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出 ， ，依题意两数相等，即可得到方
程，解得即可；
（2）利用导数求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；
（3）利用导数说明 的单调性，即可求出 的最小值，从而得到 的解析式，再
利用导数求出 的最大值，即可得证.
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ，
，
所以 ， ，
因为两条切线平行，所以 ，解得
（2）由（1）可知 ，令 ，即 ，
即 ，即 ，又 ，解得 ，
令 ，解得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 时，函数 的最小值为 .
（3）证明：因为 ， ， ，
令 ，则 ，即 ，
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所以当 时解得 ，所以 在 上单调递增，
令 ，解得 ，所以 在 上单调递减，
所以 在 处取得极小值即最小值，
所以 ，
即 的最小值为 的解析式为 ， ，
则 ，令 ，解得 ，
所以当 时 ，即 在 上单调递增，
当 时 ，即 在 上单调递增，
所以 在 处取得极大值即最大值，即 ，
所以 ，即当 时，总有 .
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单
调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、
不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
19．(1)第 1 次扩展后为 1，1，2，1，2，3.第 2 次扩展后为 1，1，1，2，1，1，2，1，2，3．
(2)证明见解析
(3) ．
【分析】（1）根据数列“扩展”的定义求解即可．
（2）根据数列“扩展”的定义、等差数列的求和公式、组合数的性质得到扩展通项，然后利
用组合数化简即可.
（3）先找出第 2025 次扩展后的数列的总项数，以及数字 出现的次数，进而利用
古典概型概率公式求出概率.
【详解】（1）当 ， 时：
第 1 次扩展：原数列 1，2，3 扩展后变为 1，1，2，1，2，3．
第 2 次扩展：扩展得到 1，1，1，2，1，1，2，1，2，3．
（2）第 1 次扩展：
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．
利用等式 以及 可得
.
第 2 次扩展：相当于对 n 个数列 1；1,2；1,2,3； ；1,2， ，n 分别拓展 1 次，
所以
.
第 3 次扩展：相当于对 n 个数列 1；1,2；1,2,3； ；1,2， ，n 分别拓展 2 次，
所以
.
依次类推，第 m 次扩展：相当于对 n 个数列 1；1,2；1,2,3； ；1,2， ，n 分别拓展
次，
所以
.
（3）每次扩展时，将数字 n 扩展得到了 n 个数，
故扩展后数列的项数恰好等于上一次扩展后的数列所有项的和，
故第 2025 次扩展后数列的项数为 ．
每次扩展时，小于 t 的数不会扩展得到 t，每个大于或等于 t 的数字都扩展得到了一个 t，
所以 t 的频数是上一次扩展后的数列中大于或等于 t 的数的频数之和，
如：因为 1,2， ，n 中大于或等于 t 的数有 个，
所以第 1 次扩展后的数列中 t 的频数为 ，即， ，列表如下：
数字 1 2
频数
第 2 次扩展后的数列中 t 的频数为 ，列表如下：
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数字 1 2
频数
同理，第 3 次扩展后的数列中 t 的频数为 ，
依次类推，可知第 2025 次扩展后的数列中 t 的频数为 ，
根据古典概型的概率计算公式可得 .
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