湖南省长沙市2025届高三下学期6月保温数学练习卷一 含解析

这是一份湖南省长沙市2025届高三下学期6月保温数学练习卷一 含解析，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知直线 的一个方向向量为 ，则 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知复数 是纯虚数， 是实数，则 （ ）
A．－ B． C．－2 D．2
4．已知直线 与曲线 相切，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．5
5．若直线 与圆 O： 相切，则圆 与圆 O（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
6．已知函数 为奇函数，且当 时， ，则 （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
7．函数 在区间 内的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．在平面直角坐标系 中，已知点 ，点 是平面内的一个动点，若以 为
直径的圆与圆 ： 相切，记点 P 的轨迹为曲线 C，过曲线 C 上一点 Q 作直线 分
别与直线 ， 相交，交点为 M、N，且交点分别在第一象限和第四象限，若
， ，则 面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．对于 的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．展开式共有 6 项
试卷第 1 页，共 3 页
B．展开式中各项系数之和为 1
C．展开式中的常数项是
D．展开式中的奇数项的二项式系数之和为 32
10．在棱长为 1 的正方体 中，P 为线段 上的动点，则下列结论正确的
有（ ）
A．
B．三棱锥 的体积为定值
C．存在点 P 使得
D．直线 平面
11．函数 ，关于 x 的方程 ，则下列选项正确
的是（ ）
A．函数 的值域为
B．函数 的单调减区间为
C．当 时，则方程有 6 个不相等的实数根
D．若方程有 3 个不相等的实数根，则 m 的取值范围是
三、填空题
12．如果随机变量 ，且 ，那么 的值为 ．
13．函数 ，则满足 的 的取值范围是 ．
14．已知 ， ， ，则 的值为 .
试卷第 1 页，共 3 页
四、解答题
15．记 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ．
(1)若 ，求 B；
(2)求 的最小值．
16．如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中点.
（1）证明： ；
（2）若 是边长为 1 的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角
的大小为 ，求三棱锥 的体积.
17．已知函数 ， .
(1)若 存在极小值，且极小值为 ，求 ；
(2)若 ，求 的取值范围.
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18．已知抛物线 C： =2px 经过点 （1，2）．过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C 有两个
不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N．
（Ⅰ）求直线 l 的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设 O 为原点， ， ，求证： 为定值．
19．在数列 中，若存在常数 ，使得 恒成立，则称数列 为
“ 数列”．
(1)若 ，试判断数列 是否为“ 数列”，请说明理由；
(2)若数列 为“ 数列”，且 ，数列 为等比数列，且 ，
求数列 的通项公式；
(3)若正项数列 为“ 数列”，且 ， ，证明： ．
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湖南省长沙市 2025 届高三 6 月保温练习卷一参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A C A A C D BD ABD
题号 11
答案 ACD
1．C
【分析】根据题意，由直线的方向向量可得其斜率，从而可得直线的倾斜角.
【详解】因为直线 的一个方向向量为 ，
所以直线 的斜率 ，
又 ，所以 .
故选：C.
2．A
【分析】解不等式确定集合 ，再由补集定义求解．
【详解】∵ 或 ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查集合的补集运算，掌握补集的定义是解题基础．
3．A
【分析】由题意设 ，代入 中化简，使其虚部为零，可求出 的值，从而可
求出复数 ，进而可求得其共轭复数.
【详解】由题意设 ，
则 ，
因为 是实数，所以 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
故选：A.
4．C
【分析】设切点切点横坐标为 ，由题意列出 的关系，进而得到 ，再由
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二次函数求最值即可.
【详解】设切点横坐标为 ，求导： 得 ，
由题意可得 解得： ，
所以 ，
所以 时， 的最大值为 .
故选:C
5．A
【分析】若直线 与圆 O： 相切，得 ，由两圆圆心距与两圆
半径之和与半径之差作比较，进而得到两圆的位置关系.
【详解】若直线 与圆 O： 相切，
则圆心 到直线 的距离等于圆 O 的半径 ，
即 ，得 ，
圆 圆心 ，半径为 ，
两圆圆心距 ，大于两圆半径之和，所以两圆相离.
故选：A
6．A
【分析】利用奇函数性质代入数据计算得到答案.
【详解】因为函数 为奇函数，且当 时， ，
所以 .
故选：A.
7．C
【分析】由 直接求解在 内的零点即可.
【详解】由 ，得 ，
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解得 ，
由 ，得 ，
因为 ，所以 ，
所以 区间 内的零点个数为 4.
故选：C
8．D
【分析】根据给定条件，求出点 的轨迹方程，再设出点 的坐标，并表示出点 ，将
三角形面积表示为 的函数，借助对勾函数的性质求出范围.
【详解】依题意，以 为直径的圆的圆心为 ，而点 在圆 外，且圆 圆心
，半径 1，
由两圆相切，得 ，整理得 ，
设 ，由 ，得 ，
而点 在 上，则 ，整理得 ，
直线 ， 的倾斜角为 ，则 ，
的面积 ，
对勾函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，因此 ，
所以 面积的取值范围为 .
故选：D
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9．BD
【分析】根据二项式展开式的项数判断 A；根据二项式系数和性质可判断 B，D；根据二项
式通项公式求得常数项判断 C.
【详解】因为二项式的次数为 6，所以展开式共有 7 项，故 A 错误；
令 ，则展开式中各项系数之和为 1，故 B 正确；
的通项为 ，
令 ，得 ，故展开式中的常数项为 ，故 C 错误；
展开式中奇数项的二项式系数之和为 ，故 D 正确.
故选：BD
10．ABD
【分析】证明直线与平面垂直，可得直线与直线垂直判定 A；利用等体积法证明三棱锥
的体积为定值判断 B；由平面 内以 为直径的圆与 无交点判断 C；
证明平面与平面平行，可得直线与平面平行判断 D．
【详解】
对于 A，在正方体 中， 平面 ，又， 平面 ，则
，
由正方形 得 ，又因为 平面 ，所以 平
面 ，
又 平面 ，所以 ，故 A 正确；
对于 B，在正方体 中，因为 ，所以四边形 为平
行四边形，所以 ， 平面 ， 平面 ，
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所以 平面 ，则 P 到平面 的距离为定值，
所以 为定值，故 B 正确；
对于 C，因为 ，两平行线 与 间的距离为 1，则平面 内以 为直
径的圆与 无交点，故 为锐角，故 C 错误；
对于 D，因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，可得 ，
同理可证 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，因为 平面
， 平面 ，所以 平面 ，
而 平面 ，所以平面 平面 ，
而 平面 ，所以直线 ，故 D 正确.
故选：ABD.
11．ACD
【分析】先根据分式函数和导数相关知识判断函数单调性与渐近线，从而画出函数图象，进
而直接判断 A 和 B；通过方程的根与图象的公共点之间的联系进行转化，并结合图象即可
判断 C 和 D.
【详解】①当 时， ，
则 在 单调递减，且渐近线为 轴和 ，
恒有 .
②当 时， ， ，
当 在 单调递增，
当 在 单调递减，
故 ， 且恒有 .
综上①②可知， ，
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作出函数大致图象，如下图.
对于 A，函数 的值域为 ，故 A 正确；
对于 B，函数 的单调减区间为 ，故 B 错误；
对于 C，当 时，则方程 可化为
即 或 ，
由 ，得 或 ，有两个实数根；
由图象可知， 由 ，有 不相等的实数根，且均不为 ，也不为 ，
所以当 时，则方程有 6 个不相等的实数根，故 C 正确；
对于 D，若关于 x 的方程 有 3 个不相等的实数根，
即方程 与方程 共有 3 个不相等的实数根.
又因为 已有两个不等的实数根 ，
则方程 有且仅有 1 个根，且不为 .
所以 与 有且仅有 1 个公共点，
由图象可知 ，满足题意，即 m 的取值范围是 ，故 D 正确.
故选：ACD.
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【点睛】已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对函数解析式或方程变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角
坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
12． /
【分析】根据正态分布的对称性计算可得.
【详解】因为 且 ，
所以 .
故答案为：
13．
【分析】设 ，将不等式转化为 ，分别在 或 、 且 和
三种情况下，解不等式求得结果.
【详解】设 ，则 ， 不等式 等价于 ；
①当 或 时，不等式恒成立，即 或 ；
②当 且 时，不等式为 ， ，解得： 或 ，
即 或 ；
③当 时，不等式为 ， ，解得： （舍）；
综上所述：满足 的 的取值范围为 .
故答案为： .
14．
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【分析】先对已知条件变形，从而得到关于 的方程，解出 ，从而求得 .
【详解】因为 ，
， ，
所以 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，所以 .
故答案为： .
15．(1) ；
(2) ．
【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，
在变形，方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知
即可求解，方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解.
（2）由（1）知， ， ，再利用正弦定理以及二倍角公式将 化成
，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）方法一：直接法
可得 ，
则 ，即 ，
注意到 ，于是 ，
展开可得 ，则 ，
又 ， .
方法二：二倍角公式处理+直接法
因为 ，
即 ，
而 ，所以 ；
方法三：导数同构法
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根据 可知， ，
设 ， ，
则 在 上单调递减， ，
故 ，结合 ，解得 .
方法四：恒等变换化简
，
结合正切函数的单调性， ，则 ，
结合 ，解得 .
（2）由（1）知， ，所以 ，
而 ，
所以 ，即有 ，所以
所以
．
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
16．(1)证明见解析；(2) .
【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；
(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体
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积即可.
【详解】（1）因为 ，O 是 中点，所以 ，
因为 平面 ，平面 平面 ，
且平面 平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 .
（2）[方法一]：通性通法—坐标法
如图所示，以 O 为坐标原点， 为 轴， 为 y 轴，垂直 且过 O 的直线为 x 轴，建
立空间直角坐标系 ，
则 ，设 ,
所以 ，
设 为平面 的法向量，
则由 可求得平面 的一个法向量为 ．
又平面 的一个法向量为 ，
所以 ，解得 ．
又点 C 到平面 的距离为 ，所以 ，
所以三棱锥 的体积为 ．
[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角
如图所示，作 ，垂足为点 G．
作 ，垂足为点 F，连结 ，则 ．
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因为 平面 ，所以 平面 ，
为二面角 的平面角．
因为 ，所以 ．
由已知得 ，故 ．
又 ，所以 ．
因为 ，
．
[方法三]：三面角公式
考虑三面角 ，记 为 ， 为 ， ，
记二面角 为 ．据题意，得 ．
对 使用三面角的余弦公式，可得 ，
化简可得 ．①
使用三面角的正弦公式，可得 ，化简可得 ．②
将①②两式平方后相加，可得 ，
由此得 ，从而可得 ．
如图可知 ，即有 ，
根据三角形相似知，点 G 为 的三等分点，即可得 ，
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结合 的正切值，
可得 从而可得三棱锥 的体积为 ．
【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性
通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；
方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几
何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.
方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得
问题更加简单、直观、迅速.
17．(1)
(2)
【分析】（1）求导，判断函数的单调性，结合极小值为 求解；
（2）将不等式 分离参数，得 ，设 ， ，
利用导数求出最值得解.
【详解】（1） ， ，
当 时， ，所以函数 无极值，
当 时，由 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的极小值为 ，解得 .
（2）由 ，得 ，即 ， ，
设 ， ，
则 ，
当 时， ，即 单调递减，
当 时， ，即 单调递增，
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所以 ，则 ，
所以 的取值范围为 .
18．(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）
(2)证明过程见解析
【详解】分析：（1）先确定 p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线 l
的斜率的取值范围，最后根据 PA，PB 与 y 轴相交，舍去 k=3，（2）先设 A（x1，y1），B（x2，
y2），与抛物线联立，根据韦达定理可得 ， ．再由 ，
得 ， ．利用直线 PA，PB 的方程分别得点 M，N 的纵坐标，代
入化简 可得结论.
详解：解：（Ⅰ）因为抛物线 y2=2px 经过点 P（1，2），
所以 4=2p，解得 p=2，所以抛物线的方程为 y2=4x．
由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0，
设直线 l 的方程为 y=kx+1（k≠0）．
由 得 ．
依题意 ，解得 k