广东省湛江市2026届高三上学期高考测试（一）数学试卷（Word版附解析）

这是一份广东省湛江市2026届高三上学期高考测试（一）数学试卷（Word版附解析），共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．设复数在复平面内的点关于实轴对称，，则（ ）
A．B．C．D．
3．设为单位向量，且，则（ ）
A．1B．C．D．2
4．若是函数的两个相邻的零点，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．某次展览会有4个核心主题，已知每个主题下有2个案例，现需从8个案例中随机抽取4个案例进行重点演示，则抽出的4个案例中，恰好包含某一个主题下的2个案例，而另外2个案例来自两个不同主题的抽取方案的种数为（ ）
A．120B．96C．48D．24
6．在数列中，，令，则数列的前15项的和为（ ）
A．2B．3C．D．4
7．如图，正方体的棱长为4，其中，点F为的中点，则点C到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．已知不等式（，且）对任意正实数x恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
二、多选题
9．一组互不相等的数据从小到大排列为，去掉后，则下列选项正确的有（ ）
A．极差变大B．平均数变大C．中位数变小D．分位数变大
10．已知为的导函数，两个函数的定义域均为，为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的有（ ）
A．B．C．D．
11．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，两条渐近线互相垂直，点P是双曲线C右支上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为
B．存在点P，使得为等腰直角三角形
C．当时，直线与双曲线C一定有两个交点
D．的最大值为
三、填空题
12．已知，则 ．
13．已知直线和直线，则抛物线上一动点P到直线的距离之和的最小值为 ．
14．某智力问答游戏的规则如下：游戏共有两类问题（每类问题的数量无限多，且不重复）．参加游戏的选手解答任意一道问题正确，则游戏结束；若解答错误，则按以下规则抽取一道问题进行解答：若解答的是A类问题，则抽取一道B类问题进行解答，若解答的是B类问题，则等可能地抽取一道A类或B类问题进行解答．如此循环，直到解答正确为止．已知甲解答两类问题的正确率分别是，且解答每道问题是相互独立的．若甲最先解答一道A类问题，则他通过解答B类问题结束游戏的概率是 ．
四、解答题
15．在中，是的中点，．
(1)当时，求的值；
(2)求的面积S．
16．某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节．在育苗环节，每粒种子的成活率为p．在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q．若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功．每粒种子种植是否成功互不影响．
(1)若一粒种子种植成功的概率为，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为，求；
(2)播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求的概率P，并求P的最大值．
17．如图，在四棱锥中，平面，且．过点A作平面与棱交于点，其中，且点G为的中点．

(1)证明：平面；
(2)求的值；
(3)求平面与平面夹角的余弦值．
18．已知椭圆的左、右顶点分别为，其离心率为，且上的点到其中一个焦点的距离的最小值为，过点的直线交椭圆于两点，直线分别交直线于点．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：三点共线；
(3)试问以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．
19．已知，设与的图象位于第一象限的交点为．
(1)求的最大值；
(2)证明：；
(3)证明：．
参考答案
1．D
【详解】解可得，所以，
所以.
故选：D．
2．B
【详解】，在复平面内的点关于实轴对称，；
.
故选：B.
3．B
【详解】因为为单位向量，所以，
因为，平方得，即，
所以，即.
故选：B．
4．A
【详解】由题意得，故，因为，所以，
故选：A．
5．C
【详解】先取出同一主题的两个案例有种取法，再从剩下的主题中取出2个主题，有种方法，
最后再从这2个主题分别包含的2个案例中各取一个案例有种，
由分步计数原理，可得取法种数为.
故选：C．
6．B
【详解】因为，所以，即，
故为首项是，公差为的等差数列，所以，．
，
所以数列的前项的和，
故，
故选：B．
7．C
【详解】以点D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．
可得，,
设平面的一个法向量为，
则，
令得，故，
其中，
点C到平面的距离.
故选：C．
8．D
【详解】原不等式等价于．
若，则曲线必然有一部分位于直线的上方，
与原不等式恒成立相矛盾，所以（也可令进行排除）．
所以上述不等式等价于，
设函数，直线．
经过分析可知，单调递增且上凸，直线l经过点，
要想恒成立，
需满足在函数上方或在上且与相切于此点，
可得，由此即可得，
显然等号成立时，在上，
即直线l与相切于点，
又的斜率为，，故，
解得，此时，所以的最大值为.
故选：D．
9．BD
【详解】由题意，去掉后，极差为，极差变小，故A错误；
平均数，所以平均数变大，故B正确；
原数据和新数据的中位数分别为，且，故中位数变大，故C错误；
原数据的分位数：，取第5个数，新数据的分位数：，
取第4、5个数的平均，因为，所以，故分位数变大，故D正确.
和新数据
故选：BD．
10．AC
【详解】为奇函数，为偶函数，
，，
令，则，解得，
是偶函数，，选项A正确；
，且，
，故的周期，
，但的值不确定，故选项B不一定正确；
是偶函数，，，即，
为奇函数，故，故选项C正确；
令，则，
，为奇函数，满足题设条件；
，，故D不一定正确；
故选：AC．
11．ACD
【详解】渐近线互相垂直，
，解得，即，两条直线的斜率分别为1和，
双曲线C的离心率为，选项A正确；
点P是双曲线C右支上任意一点，，
若为等腰直角三角形，假设直角顶点为，则，与矛盾；
直角顶点为，故且有，，
，解得，故或，
，，，
无法构成等腰直角三角形，故B错误；
联立直线与双曲线，整理得，
当 时，，
，
直线与双曲线有2个交点，故C正确；
根据双曲线的定义可知，
，
的最小值为，
，
的最大值为，故D正确．
故选：ACD．
12．/
【详解】因为正切函数的最小正周期是，
所以，
解得，
所以．
故答案为：
13．
【详解】抛物线，即，焦点坐标，准线方程，
设点到直线的距离为，点到直线的距离为，
由抛物线的定义可知点到直线的距离等于点到焦点的距离，
过点作直线的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，则，
过点作直线的垂线，垂足为，
故点到直线的距离之和为，
当且仅当三点共线时等号成立，
即点到直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离，即.
故答案为：.
14．
【详解】设表示先解答A类最终通过解答B类问题结束游戏的概率，
设表示先解答B类最终通过解答B类问题结束游戏的概率，
通过题意可得，，
计算可得，
则可得甲先通过解答A类问题再通过解答B类问题结束游戏的概率为．
故答案为：.
15．(1)
(2)
【详解】（1）解：如图，设，则，
因为，
所以，在中，由余弦定理得，
即，故，
所以．
在中，由正弦定理得，即，解得．
所以.
（2）解：如图，设，
在和中，由余弦定理得，
即，，得，
所以，所以
所以．

16．(1)
(2)概率，最大值
【详解】（1）记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B．
由题意得，
因为，
所以．
设播撒300粒种子时育苗成功的种子数量为，
根据题意可得，由此可得．
（2）解法一：一粒种子种植成功概率为，“”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”，
所以．
令，设函数，
．
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
的最大值为，
综上，的概率，其最大值．
解法二：为了保证，则6粒种子中育苗成功的数量需大于或等于5．
设育苗成功的数量等于5为事件C，育苗成功的数量等于6为事件D，
则可得，
则有，
从而可得．
令，设函数，
．
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
的最大值为，
综上，的概率，其最大值为．
17．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【详解】（1）证明：如图，设的中点为M，连接．

在中，点G为中点，M为中点，
，且．
根据条件可得，且，
且，
四边形为平行四边形，
．
又平面平面平面．
（2）解：平面，平面，平面平面，
．
又，
，
．
又，
．
（3）解：如图，以点A为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，

可得．
设平面的法向量为，则
即令，可得．
易得平面的一个法向量为，
故平面与平面夹角的余弦值为．
18．(1)
(2)证明见解析
(3)是，
【详解】（1）设点P是上任意一点，是其左、右焦点，则有．
又，即，
结合以上两式可得，
当且仅当三点共线时取等号，
点P到其中一个焦点的距离的最小值为，故．
又，
解得，故，
∴椭圆的方程为．
（2）依题意可设直线的方程为，
代入的方程消去x得存在两个不相等的实数根．
设，则
故直线的方程为，令，可得．
又，
．
，故三点共线．
（3）是．
由（2）易得，直线的方程为，令可得．
设为以为直径的圆上一点，则有，
即，
由对称性可知，若存在定点，则定点必须在x轴上
令，
得，
，
∴以为直径的圆恒过两定点．
19．(1)1；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1）由，函数的定义域为R，，所以，.
在上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值也是最大值.
故的最大值为．
（2）设，则.
又因为，所以在上单调递减．且，所以.
设，则，设，则，
在上单调递增，故，在上单调递增，故，
，即，所以，即.
所以，且在上单调递减，所以.
综上所述，故．
（3）由（2）知，所以，故．
在处的切线方程为，即．
令，
则，
由（1）知当时，，故，所以当时，以代换得在上单调递增，
，即，．
由，得，