广东省湛江市2026届高三上学期一模数学试卷含解析（word版+pdf版）

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1.【答案】D
【解析】由题意得 A={x∣00 ,所以 ω=3 ,故选 A.
5.【答案】C
【解析】先取出同一主题的两个案例有 C41 种取法,再从剩下的主题中取出 2 个主题,有 C32 种方法,最后再从中各取一个案例有 C21C21 种,由分步计数原理得,取法种数为 C41C32C21C21=48 ,故选 C.
6.【答案】B
【解析】因为 an+1=an2+1 ,所以 an+12=an2+1 ,故 an2 为等差数列,所以 an2=n .
bn=1an+1+an=1n+1+n=n+1−n,
所以 Sn=n+1−1 ,故 S15=4−1=3 ,故选 B.
7.【答案】C
【解析】以点 D 为原点, DA,DC,DD1 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 可得 B4,4,0,E1,0,4,F2,4,4,C0,4,0 ,则可得平面 BEF 的一个法向量为 m=4,−1,2 . 点 C 到平面 BEF 的距离 d= BC⋅mm=162121 ,故选 C.
8.【答案】D
【解析】原不等式等价于 2x+1−n≥m+2lnx . 若 m−2 (也可令 x→0 , gx→+∞>1−n 进行排除). 所以上述不等式等价于 2xm+2+1−nm+2≥lnx ,设函数 fx=lnx , 直线 l:y=2xm+2+1−nm+2 . 经过分析可知, fx 单调递增,且直线 l 始终位于曲线 fx 的上方.
直线 l 经过点 2,5−nm+2 ,则可得该点位于函数 fx=lnx 的“外部”,即可得 5−nm+2≥ln2 ,由此即可得 n−5m+2≤−ln2 . 当直线 l 与 fx 相切于点 2,5−nm+2 时等号成立,此时 m=2,n= 5-4ln 2,故选 D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要 求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9.【答案】BD
【解析】由题意得极差变小,平均数变大. 原数据和新数据的中位数分别为 x3+x42,x4 ,故中位数变大. 原数据和新数据的 80% 分位数分别为 x5,x5+x62 ,故 80% 分位数变大,故选 BD.
10.【答案】 AC
【解析】由题意得 f−2x−1=−f2x−1 ,故 fx 关于 −1,0 中心对称,所以 f−1=0 , 因为 fx 是偶函数,所以 f1=0 ,选项 A 正确; 因为 f−x=fx ,且 fx−1= −f−x−1=−fx+1 ,所以 fx−1=fx+3 ,故 fx 的周期 T=4 ,从而 f4=f0 , 故选项 B 不确定; 对 f−x=fx 两边求导得 −g−x=gx ,故 gx 为奇函数,故 g0= 0,选项 C 正确; 因为 fx 关于 −1,0 中心对称,所以 gx 关于 x=−1 对称,由于周期 T=4 , 所以 g2n=0 ,故选项 D 不确定,故选 AC .
11.【答案】 ACD
【解析】因为渐近线 l1:ay=bx,l2:ay=−bx 互相垂直,所以两条直线的斜率分别为 1 和 -1,从而可得 a=b ,即可得双曲线 C 的离心率为 2 ,选项 A 正确; 若 △PF1F2 为等腰直角三角形,则 PF2⊥F1F2 且有 PF2=F1F2 ,从而可得 b2a=2c ,所以 a=2c ,与离心率为 2 矛盾,选项 B 错误; 因为直线 l:y=kx+1 恒过定点 0,1 ,当 k=±1 时,直线 l//l1 或 l//l2 ,当 k∈−1,1 时, 直线 l 与直线 l1,l2 都相交,结合双曲线 C 与渐近线的关系,即可得此时直线 l 与双曲线 C 的两支各有一个交点,选项 C 正确; 根据双曲线的定义可知 PF1−PF2=2a ,得 PF1PF2= PF2+2aPF2=2aPF2+1≤2ac−a+1 ,由离心率为 2 可得 c=2a ,代入上式即可得 PF1PF2 的最大值为 22+3 ,选项 D 正确,故选 ACD.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.【答案】 34
【解析】 tanα+5π4=tanα+π4=tanα+11−tanα=2 ,得 tanα=13 ,所以 tan2α=2tanα1−tan2α=34 .
13.【答案】 22
【解析】点 P 到 l2 的距离等于点 P 到焦点 F0,1 的距离,点 P 到直线 l1,l2 的距离之和的最小值为焦点 F 到直线 l1 的距离,即 1+31+1=22 .
14.【答案】 35
【解析】设 pA→B 表示先解答 A 类最终通过解答 B 类问题结束游戏的概率, pB→B 表示先解答 B 类最终通过解答 B 类问题结束游戏的概率,通过题意可得, pA→B=34pB→B,pB→B=13+23× 12pA→B+23×12pB→B . 计算可得 pA→B=35,pB→B=45 ,则可得甲先通过解答 A 类问题再通过解答 B 类问题结束游戏的概率为 35 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 解: (1) 如图,设 AD=a ,则 BD=2a ,
在 △ABD 中,由余弦定理得 AB2=a2+4a2−4a2cs∠ADB ,即 3=3a2 ,
故 a=1 , 2 分
∴AD=1,BD=2 . 3 分
在 △ABD 中,由正弦定理得 ADsinB=ABsin∠ADB ,即 1sinB=332 , 4 分
∴sinB=12 . 6 分

(2)如图，设 AD=x,BD=DC=y ，
在 △ABD 和 △ADC 中,由余弦定理得
AB2=x2+y2−2xycs∠ADB,AC2=x2+y2−2xycs∠ADC, 8 分
即 x2+y2−xy=3①,x2+y2+xy=7②, 10 分
②- ①,得 2xy=4 ,
∴xy=2 , 12 分
∴S△ABC=2S△ABD=2×12xysin∠ADB=3 . 13 分
16. 解: (1) 记育苗成功为事件 A ,移栽成活为事件 B .
由题意得 PA=p,PB∣A=q ,
因为 PAB=PAPB∣A=pq=12,PB∣A=1−PB∣A=1−q=14 ,
所以 q=34,p=23 . 4 分
设播撒 300 粒种子时育苗成功的种子数量为 ζ ,
根据题意可得 ζ∼B300,23 ,由此可得 Eζ=np=300×23=200 . 6 分
(2)解法一:一粒种子种植成功概率为 pq ，“ X=5 ”表示事件“恰好有 5 粒种子种植成功”，
所以 PX=5=C65pq51−pq=6pq5−6pq6 . 9 分
令 pq=t ,设函数 ft=6t5−6t6t∈0,1 , 10 分
∴f′t=6t45−6t . 11 分
当 t∈0,56 时， f′t>0 ；当 t∈56,1 时， f′t0 ; 当 t∈56,1 时, f′t0,∴ 存在两个不相等的实数根. 7 分
设 Cx1,y1,Dx2,y2 ,则 y1+y2=−2tt2+4,y1y2=−3t2+4, 8 分
故直线 CB 的方程为 yy1=x−2x1−2 ,令 x=4 ,可得 M4,2y1x1−2 . 9 分
又 AD=x2+2,y2,AM=6,2y1x1−2 , 10 分
∴x2+2⋅2y1x1−2−6y2=2y1ty2+3−6y2ty1−1x1−2=−4ty1y2+6y1+y2x1−2=0 . 11 分
∴AD//AM ,故 A,D,M 三点共线. 12 分
(3)是.
由 (2) 易得,直线 DB 的方程为 yy2=x−2x2−2 ,令 x=4 可得 N4,2y2x2−2 . 13 分
设 Hx,y 为以 MN 为直径的圆上一点,则有 MH⋅NH=0 ,
即 x−42+y−2y1x1−2y−2y2x2−2=0 , 14 分
由对称性可知,若存在定点,则定点必须在 x 轴上.
令 y=0 ,
得 x−42=−4y1y2x1−2x2−2=−4y1y2ty1−1ty2−1=−4y1y2t2y1y2−ty1+y2+1=3,⋯15 分 ∴x=4±3 , 16 分
∴ 以 MN 为直径的圆恒过两定点 4+3,0,4−3,0 . 17 分
19. ( 1 )解:由题意得 f′x=−xex ， 1 分
∴fx 在 −∞,0 上单调递增,在 0,+∞ 上单调递减, 2 分
故 fx 的最大值为 f0=1 . 3 分
(2)证明:令 x+1ex=x−n−1 ，即 x−1−x+1ex−n=0 .
设 gx=x−1−x+1ex−nx>0 , 4 分
则 g′x=1+xex>0 ,故 gx 在 0,+∞ 上单调递增. 5 分
∴gn+1=−n+2en+1en+1−n+12nen+1n+1. 6 分
设 hx=ex−x2x≥2 ,则 h′x=ex−2x ,设 mx=ex−2x ,则 m′x=ex−2≥e2−2>0 , 7 分
∴h′x 在 [2,+∞) 上单调递增,故 h′x≥h′2=e2−4>0 ,
∴hx 在 [2,+∞) 上单调递增,故 hx≥h2=e2−4>0 , 8 分
∴hn+1=en+1−n+12>0 ,即 gn+1+1n>0 , 9 分
故 n+11−1exn+1−xn , 16 分
解得 xn+1−xn>ee+1 . 17 分