黑龙江哈尔滨市2025-2026学年上学期期末考试高二数学试卷与解析（word版+pdf版）

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1. 已知直线 y=kx−1 的倾斜角为 30∘ ,则实数 k 的值为
A. −3B. −33 C. 33 D. 3
2. “曲线 x2t+y22−t=1 表示椭圆” 是 “ 00 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,点 P 是以 F1F2 为直径的圆与双曲线 E 的一个交点,若 PF1+PF2=54F1F2 ,则双曲线 E 的渐近线为
A. y=±34x B. y=±43x C. y=±77x D. y=±377x
8. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑. 在如图所示的鳖臑 A−BCD 中， AB⊥ 平面 BCD ， ∠BDC=90∘,BD=2AB=2CD=4,E 是 BC 的中点， H 是 △ABD 内的动点(含边界)，且 EH// 平面 ACD ，则 CA . EH 的取值范围是
A. 0,12 B. 2,12 C. 2,11 D. 12,22
二、选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列结论正确的有
A. 设 a,b,c 是三个空间向量,则 a⋅b+c=a⋅b+a⋅c
B. 方程 x2m+y22m+4=1 表示曲线 C ， m 为实数，曲线 C 不可能表示圆
C. 直线的斜截式方程 y=kx+b 可以表示平面内的所有直线
D. 点 1,0 关于直线 y=2x 的对称点为 0,1
10. 已知数列 an 不是常数列,其前 n 项和为 Sn ,则下列选项正确的是
A. 若数列 an 为等差数列, Sn0,S3=S8 ,则 Sn 的最大值在 n=5 或 n=6 时取得
C. 若数列 an 为等比数列,则 S2027⋅a2027>0 恒成立
D. 若数列 an 为等比数列,则 2an 也为等比数列
11. 已知 O 为坐标原点,抛物线 C:y2=2pxp>0 上一点 P2,y0 到其焦点的距离为 3,过焦点 F 的直线交 C 于 A,B 两点,则下列选项正确的是
A. 过点 M0,−3 且与抛物线 C 仅有一个公共点的直线有 3 条
B. 当 S△AOB=22 时， AF⋅BF=4
C. △AOB 为钝角三角形
D. AF+2BF 的最小值为 2+22
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知等比数列 an 的各项均为正数,若 a1+a3=16,a2+a4=4 ,则该等比数列 an 的公比为_____.
13. 已知 M,N 两点分别在圆 C1:x2+y−122=9 和圆 C2:x2+y2− 10x+21=0 上,则 MN 的最小值为_____.
图 1 图 2
14. 如图所示，在边长为 52+2 的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆, 使之恰好围成一个圆锥, 则该圆锥的表面积为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
如图，在空间四边形 OABC 中， 3BD=DC ，点 E 为 AD 的中点，设 OA=a ， OB=b ， OC=c .

(1)试用向量 a,b,c 表示向量 OE ；
(2)若 OA=OB=OC=4,∠AOC=∠BOC=∠AOB=π4 ，求 OE⋅BC 的值.
16. (本小题满分 15 分)
已知圆 C:x−12+y−22=25 ,直线 l:2m+1x+m+1y−7m−4=0,m∈R .
(1)证明:直线 l 恒过定点，并判断直线 l 与圆的位置关系；
(2)当直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时,求直线 l 的方程及最短弦的长度.
17. (本小题满分 15 分)
已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a2=6 ,当 n≥2 时, Sn=12n+2ann∈N∗ .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若 bn=−1nan ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn .
18. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 长轴长为 4,离心率为 12 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)过椭圆右焦点 F 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 M,N,P,Q ,求四边形 MPNQ 面积的最小值.
19. (本小题满分 17 分)
如图，已知平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 的侧棱长为 3，底面是边长为 4 的菱形，且 ∠A1AD= ∠A1AB=∠DAB=π3 ,点 E,F 分别在 B1B 和 D1D 上.

(1)若 BE=13BB1,DF=23DD1 ，求证: A,E,C1,F 四点共面；
(2)求三棱锥 A1−AEF 的体积；
(3)若 BE=13BB1 ，点 F 为线段 DD1 上(包括端点)的动点，求直线 EF 与
平面 ABB1A1 所成角的正弦值的取值范围.
高二数学试题答案
一、二选择题:
一、单选题
1. C
【详解】由题意可知,直线 y=kx−1 的斜率为 k=tan30∘=33 .
故选: C.
【知识点】直线的倾斜角与斜率的关系.
【核心素养】数学运算 (直线倾斜角与斜率关系运算)
2. B
【详解】若曲线 x2t+y22−t=1 表示椭圆,有 t>02−t>0t≠2−t ,可得 0