【数学】黑龙江哈尔滨市2025-2026学年上学期期末考试高二试卷（学生版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线的倾斜角为30°，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
2. “曲线表示椭圆”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 若直线与互相垂直，则（ ）
A. B. C. 4D. 1
4. 直线与双曲线交于不同两点，则斜率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 设是等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
7. 双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的渐近线为（ ）
A. B.
C. D.
8. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑中，平面，，，是的中点，是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的有（ ）
A. 设，，是三个空间向量，则
B. 方程表示曲线，为实数，曲线不可能表示圆
C. 直线的斜截式方程可以表示平面内的所有直线
D. 点关于直线的对称点为
10. 已知数列不是常数列，其前项和为，则下列选项正确的是（ ）
A. 若数列等差数列，恒成立，则为递减数列
B. 若数列为等差数列，，，则最大值在或时取得
C. 若数列为等比数列，则恒成立
D. 若数列为等比数列，则也为等比数列
11. 已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点距离为3，过焦点的直线交于，两点，则下列选项正确的是（ ）
A. 过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条
B. 当时，
C. 为钝角三角形
D. 的最小值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知等比数列的各项均为正数，若，，则该等比数列的公比为______．
13. 已知两点分别在圆和圆上，则的最小值为__________.
14. 如图所示，在边长为的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围成一个圆锥，则该圆锥的表面积为____________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，．
（1）试用向量，，表示向量；
（2）若，，求的值．
16. 已知圆，直线：，
（1）证明：直线恒过定点，并判断直线与圆的位置关系；
（2）当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程及最短弦的长度．
17. 已知数列的前项和为，且满足，当时，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18. 已知椭圆长轴长为4，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，，，，求四边形面积的最小值.
19. 如图，已知平行六面体侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点，分别在和上．

（1）若，，求证：，，，四点共面；
（2）求；
（3）若，点为线段上（包括端点）的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．