四川省南充市嘉陵一中2025-2026学年高二下学期入学考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份四川省南充市嘉陵一中2025-2026学年高二下学期入学考试数学试卷（Word版附答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．圆的半径为（ ）
A．1B．2C．D．4
3．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则实数b的值为（ ）
A．B．C．2D．18
4．“”是直线与直线平行的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．高一某班参加“红五月校园合唱比赛”，10位评委的打分如下：，则（ ）
A．该组数据的平均数为7，众数为
B．该组数据的第60百分位数为6
C．评判该班合唱水平的高低可以使用这组数据的平均数、中位数，也可以使用这组数据的众数
D．如果再增加一位评委给该班也打7分，则该班得分的方差变小
6．一个口袋中装有大小形状相同的个红球和个白球，现从中不放回地依次取出两个小球，记事件“第一次取出红球”，事件“第二次取出红球”，事件“两次取出颜色相同的小球”，事件“两次取出颜色不同的小球”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件互斥B．事件与事件相互独立
C．D．
7．与圆及圆都内切的动圆的圆心在（ ）
A．椭圆上B．双曲线的一支上C．抛物线上D．圆上
8．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（每题6分）
9．已知两椭圆和，则（ ）
A．两椭圆有相同的焦点B．两椭圆的离心率相等
C．两椭圆有4个公共点D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心
10．关于空间向量，下列说法正确的是（ ）
A．若向量和向量都是单位向量，则
B．若向量与向量的夹角为钝角，则
C．若四点共面，对空间中任意一点，有，则
D．若，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为
11．在平面直角坐标系中，已知，点满足的斜率之积为，点的运动轨迹记为.下列结论正确的（ ）
A．轨迹的方程 （）
B．存在点使得
C．点，则的最小值为
D．斜率为的直线与轨迹交于，两点，点为的中点，则直线的斜率为
三、填空题（每题5分）
12．过，两点的直线的倾斜角为________.
13．已知向量，,则___________．
14．已知椭圆T：（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，离心率为，过椭圆T的右焦点且斜率不为零的一条直线交椭圆T于M，N两点，若两直线和的斜率分别为，则的最小值为______．
四、解答题
15（13分）．2023年中国田协召开了2023路跑工作会议，会议对《2022年中国田径协会路跑管理文件汇编》进行了修订.新版在年龄组别上调整为8个：34岁以下组、35-39岁组、40-44岁组、45-49岁组、50-54岁组、55-59岁组、60-64岁组、65岁以上组.现抽取了1000名年龄在35-64岁的参赛人员，得到各年龄段人数的频率分布直方图如下：
(1)求图中的值，并估计这1000人年龄的中位数；
(2)用分层抽样的方法从年龄在内的人数中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这两人中至少一人的年龄在中的概率.
16（15分）．已知等差数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，证明：．
17（15分）．已知圆C关于y轴对称且经过点和．
(1)求圆C的标准方程；
(2)过点的直线l与圆C交于A，B两点；若，求直线l的方程．
18（17分）．在如图所示的多面体中，底面是边长为2的正方形，平面，，且，为的中点，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点到平面的距离.
19（17分）．已知椭圆，抛物线：，点是与的一个交点，过点的直线与分别交于点B，M（B，M不同于点）．
(1)若点的横坐标为1，求的方程；
(2)若过的右焦点，坐标原点关于的对称点为，求四边形面积取得最大值时的的方程；
(3)若存在不过原点的使得，求的最大值．
嘉陵一中高二第一次学情调研数学答案
11．AD对于A，由已知设点的坐标为，由题意知
，得点的轨迹方程为，故A正确；
对于B，由椭圆方程知，，，，若，则点在以线段为直径的圆上，以线段为直径的圆的方程为的圆在椭圆外，
所以椭圆上不存在满足，B错误；
对于C，由设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义为，
所以，所以，当且仅当为的延长线与椭圆的交点时，等号成立.故C错误.对于D，设，因为点为的中点，所以设，因为在椭圆上，
所以，两式相减得，
，即，
所以，所以，则直线的斜率为，故D正确.
14．设直线，，
联立椭圆方程，可得，
，设直线的斜率为，
则，
又，
所以，又椭圆离心率，所以，故，
所以，由二次函数性质易知最小值为，当且仅当时取到．
15．（1）由题可得，∴，∵的频率为，的频率为，∴中位数在之间，设中位数为，则，∴，即中位数为46.5.
（2）∵的频率为，的频率为，
∴这两组的频率之比为，∴抽取的人数为：（人），记为，，，
抽取的人数为：（人），记为，，则5人中抽取2人的基本事件包含：
、，共10种，其中至少1人在的基本事件共有7种.∴至少1人在中的概率为.
16．（1）由题意得，解得，所以；
（2），
所以，
因为，所以，所以.
（1）由圆C关于y轴对称知：设圆心； ∴设圆的方程为， 则解得：故圆C的标准方程为；
（2）∵ ∴圆心C到直线l的距离为；
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时，圆心C到直线l的距离为，满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
即 则圆心C到直线l的距离，
解得 此时直线l的方程为，即；
综上所述：直线l的方程为或．
18．（1）取棱的中点，连接.因为为的中点，所以∥，且.
因为，且，所以∥.
所以四边形是平行四边形，所以∥.因为平面，平面
所以平面；
（2）因为底面是边长为2的正方形，平面，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.由题可知，.
则.所以.
设平面的法向量为，则.
令，则，所以平面的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）由（2）得.设平面的法向量为，则.令，则，所以平面的一个法向量为.所以点到平面的距离为.
19．（1）设，因为点在上，所以，解得，
又因为点在上，所以，解得，所以的方程为．
（2）椭圆，所以右焦点为，显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，
由消去得，，，
设，则，
所以，
又坐标原点关于的对称点为，
，当且仅当时取等号，
所以四边形面积取得最大值时的的方程为．
（3）因为存在不过原点的使得，
所以，所以点为线段的中点， 当与轴垂直时，点与点重合，不满足题意．当的斜率存在时，设的方程为，
由消去可得，
则，即，，
所以，则．
因为点在上，所以．
由解得，代入的方程得，
解得，而，所以，
因此，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
B
C
A
D
C
A
D
BD
BCD
AD