湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年高一下学期入学考试数学试题（Word版附解析）

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时量：120 分钟 满分：150 分
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求.
1. 已知集合 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由于 ，但 ，故 不是 的子集，A 错误； B 错误；
，C 错误，D 正确.
2. “ 为第一象限角”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据正切函数在各个象限的符号，结合充分条件、必要条件的概念，即可得出答案.
【详解】若 为第一象限角则必有 ；
反之，若 ，则 为第一或第三象限角.
故选：A.
3. 如果 ，那么下列不等式中成立的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质一一判断即可.
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【详解】对于 A：因为 ，所以 ，则 ，故 A 错误；
对于 B：因为 ，所以 ，所以 ，故 B 错误；
对于 C：因为 ，所以 ，故 C 正确；
对于 D：因为 ，所以 ，故 D 错误.
故选：C
4. 函数 的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数 的定义域，利用复合函数法可求得函数 的增区间.
【详解】对于函数 ，有 ，解得 或 ，
故函数 的定义域为 ，
内层函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
外层函数 为减函数，
由复合函数的单调性可知，函数 的单调递增区间为 .
故选：D.
5. 已知 是奇函数，当 x≥0 时， （其中 e 为自然对数的底数），则 （ ）
A. 3 B. C. 8 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇函数的性质 即可求解.
【详解】由 是奇函数得 ，又 时， ，
所以 .
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故选：D
6. 当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解.
【详解】当 时，不等式 恒成立，
当 时，满足不等式恒成立；
当 时，令 ，则 在 上恒成立，
函数 的图像抛物线对称轴为 ，
时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
则有 ，解得 ；
时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
则有 ，解得 .
综上可知， 取值范围是 .
故选：D.
【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要 考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方
法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处
理能力和解决能力.
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7. 已知函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（
）
A. 在区间 上单调递增
B. 点 是 图象的一个对称中心
C. 若 ，则 的值域为
D. 的图象可以由 的图象向右平移 个单位长度得到
【答案】D
【解析】
【详解】设函数 的最小正周期为 ，
由题图及五点作图法得 ， ，则 ，又 ，
所以 ，所以 ，
又 ，即 ，又 ，则 ，故 .
对于 C，当 时， 的值域为 ，故 C 错误；
对于 A，由 知 在 上不单调递增，故 A 错误；
对于 B，由 ，故 B 错误；
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对于 D， ，将函数 的图象向右平移 个单位长度得到
的图象，故 D 正确.
8. 定义：对于 定义域内的任意一个自变量的值 ，都存在唯一一个 使得 成立，
则称函数 为“正积函数”．下列函数是“正积函数”的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“正积函数”的定义逐项判断即可.
详解】对于 A 选项， ，由 ，
当 时，则不存在 满足情况，故函数 不是正积函数；
对于 B 选项， ，由 ，
则任意一个自变量的值 ，都存在唯一一个 满足 ，故函数 是正积函数；
对于 C 选项， ，
由 ，
得 ，当 时， ，则 不唯一，
故函数 不是正积函数；
对于 D 选项， ，由 ，
当 时，则不存在 满足情况，故函数 不是正积函数．
故选：B．
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.每小题给出的四个选项中，有多个选项是
符合题意的.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，选错或不选得 0 分.
9. 下列选项中，结果为正数的有（ ）
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A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】先算出 的范围，然后结算象限角的三角函数特点即可得解.
【详解】因为 ，所以 .
故选：AC.
10. 下列函数中是奇函数的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【详解】对于 A 项，定义域为 ，关于原点对称，因为 ，所以
为奇函数，故 A 正确；
对于 B 项，定义域为 ，关于原点对称，因为 ，所以 为
偶函数，故 B 错误；
对于 C 项，定义域为 ，关于原点对称，因为 ，所以 为偶函数，
故 C 错误；
对于 D 项，定义域为 ，关于原点对称，因为
，所以 是奇函数，故 D 正确.
11. 已知 是定义在 上的偶函数，且 是奇函数，当 时， ，则（ ）
A. 的值域为 B. 的最小正周期为 4
C. 在 上有 3 个零点 D.
【答案】BC
【解析】
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【分析】根据函数的奇偶性、以及 时， ，可作出函数图象，并确定函数的周期，即可
求解.
【详解】对于 A，因为 是奇函数，
所以 的图象关于 对称，
且 ，
因为 为偶函数，图象关于 轴对称，
且当 时， ，
作出 的图象，如下图所示：
由图可知， 的值域为 ，故 A 错误；
对于 B，因为 是奇函数，
所以 ，即 ，
因为 为偶函数，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以函数 的最小正周期为 4，故 B 正确；
对于 C，由图象可得在 上， 的图象与 轴有 3 个交点，
所以函数 在 上有 3 个零点，故 C 正确；
对于 D，由题意得 ， ，
所以 ，故 D 错误.
故选:BC.
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三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】应用换元法，令 ，根据 的定义域为 ，有 ，即可求 的
定义域.
【详解】对于 ，令 ，则 ，
所以 ，即 的定义域为 .
故答案为：
13. 已知函数 ，若 ，总 ，使
成立，则实数 取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由函数的单调性分别求解出 与 的值域范围，结合题意 ，求解即可.
【 详 解 】 当 时 ， 函 数 在 上 单 调 递 增 ， 可 得 ， 又 函 数
在 上单调递减，可得 ，
由 ，总 ，使 成立，可知 ，解得 ；
当 时，函数 在 上单调递减，可得 ，
同理可知 ，解得 .
综上， 或 .
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所以实数 的取值范围是 .
14. 已知函数 在 上单调递增，且在 上有且仅有 1 个零点，
则 的取值范围为_____．
【答案】
【解析】
【分析】由 ，求出 的范围，结合正弦函数的单调性可求出 ，再由
，求出 的范围，结合正弦函数的零点可求.
【详解】当 时， ，
由 在 上单调递增，结合正弦函数的单调性可得 ，
解得 ．
当 时， ，
因为 ，所以 ，
又 在 上有且仅有 1 个零点，所以 或 ，
解得 或 ．
则 的取值范围为 .
故答案为：
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四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明､计算过程､证明过程.
15. 已知函数 .
（1）在平面直角坐标系中，画出函数 的简图，并写出 的单调区间和值域；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）图象见解析， 的增区间为 ，减区间为 ，值域为 .
（2）
【解析】
【分析】（1）画出图象，然后可得答案；
（2）根据图象可得答案.
【小问 1 详解】
函数 的简图如下：
由图可知，函数 的增区间为 ，减区间为 ；值域为 .
【小问 2 详解】
由 ，及函数 的单调性可知，
若 则实数 的取值范围为 .
16. 求下列关于 x 的一元二次不等式的解集：
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（1） ；
（2）
【答案】（1）
（2）当 时，不等式的解集为 ，当 时，不等式的解集为 ，当 时，
不等式的解集为
【解析】
【分析】（1）首先求出 的根，然后直接求解不等式即可.
（2）首先对原式因式分解，然后对 分类讨论，即可求得.
【小问 1 详解】
原不等式可化为 ，
方程 的两个根为 ， ，
所以不等式的解集为
【小问 2 详解】
原不等式可化为 ，
①当 时，不等式的解集为 ，
②当 时，不等式的解集为 ，
③当 时，不等式的解集为
17. 已知函数 .
（1）求 的最小正周期；
（2）若任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；
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（2）
【解析】
【分析】（1）根据两角和的余弦公式、二倍角的正弦和余弦公式化简，结合辅助角公式可得
，即可求解；
（2）由（1）得 ，结合正弦函数的性质可得 ，则 在
上恒成立，即可求解.
【小问 1 详解】
，
所以函数 的最小正周期为 ；
【小问 2 详解】
由（1）知 ，
由 ，得 ，
又函数 在 上单调递增，所以 ，即 .
因为 ， 恒成立，所以 在 上恒成立，则 ，
即实数 m 的取值范围为 .
18. 如图所示，一条笔直的河流 （忽略河的宽度）两侧各有一个社区 （忽略社区的大小）， 社区距
离 上最近的点 的距离是 社区距离 上最近的点 的距离是 ，且 .点 是线段
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上一点，设 .
现规划了如下三项工程：
工程 1：在点 处修建一座造价 0.1 亿元的人行观光天桥；
工程 2：将直角三角形 地块全部修建为面积至少 的文化主题公园，且每平方千米造价为
亿元；
工程 3：将直角三角形 地块全部修建为面积至少 的湿地公园，且每平方千米造价为 1 亿元.
记这三项工程的总造价为 亿元.
（1）求实数 的取值范围；
（2）问点 在何处时， 最小，并求出该最小值.
【答案】（1）
（2）当点 满足 时， 最小，最小值为 亿元.
【解析】
【分析】（1）由直角三角形 地块全部修建为面积至少 和直角三角形 地块全部修建为
面积至少 的文化主题公园湿地公园，列不等式求解即可得出答案.
（2）由题意可得 ，由基本不等式求解即可.
【小问 1 详解】
因为直角三角形 地块全部修建为面积至少 的湿地公园，
所以 ，解得：
直角三角形 地块全部修建为面积至少 的文化主题公园，
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所以 ，解得： ,
故实数 的取值范围为 .
【小问 2 详解】
依题意可得：
，
当且仅当 ，即 时取等.
所以当点 满足 时， 最小，最小值为 亿元.
19. 若存在实数对 ，使等式 对定义域中每一个实数 都成立，则称函数 为
型函数.
（1）若函数 是 型函数，求 的值；
（2）若函数 是 型函数，求 和 的值；
（3）已知函数 定义在 上， 恒大于 0，且为 型函数，当 时，
.若 在 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）根据给定的定义，结合指数运算计算即得.
（2）利用给定的定义，建立恒成立的等式，借助恒等式求解即得.
（3）利用新定义建立关系，再分段讨论并借助函数不等式恒成立求解即得.
【小问 1 详解】
由 是 型函数，得 ，即 ，
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所以 .
【小问 2 详解】
由 是 型函数，得 ，
则 ，因此 对定义域 内任意 恒成立，
于是 ，解得 ，
所以 .
小问 3 详解】
由 是 型函数，得 ，
①当 时， ，而 ，则 ，满足 ；
②当 时， 恒成立，
令 ，则当 时， 恒成立，于是 恒成立，
而函数 在 单调递增，则 ，当且仅当 时取等号，因此 ；
③当 时， ，则 ，
由 ，得 ，
令 ，则当 时， ，
由②知 ，则只需 时， 恒成立，即 恒成立，
又 ，当且仅当 时取等号，因此 ，
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】结论点睛：函数 的定义区间为 ，
①若 ，总有 成立，则 ；
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②若 ，总有 成立，则 ；
③若 ，使得 成立，则 ；
④若 ，使得 成立，则 .
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