吉林省“BEST合作体”2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

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本试卷分客观题和主观题两部分，共19道题，共150分，共3页。考试时间120分钟。考试结束后，只交答题卡。
第Ⅰ卷客观题
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，总计 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的。
1．设，直线，，若，则m 的值为（ ）
A． B．m = -3 C．m =-1 D． 或m = -3
2．某学校高二年级数学联考成绩XN(90,625)，如果规定大于或等于105分为数学成绩“良好”，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的数学成绩为“良好”的概率是（ ）
（提示：若，则，）
A．0.0455 B．0.15865 C．0.3173 D．0.34135
3．2025年的寒假就要到了，甲、乙、丙、丁四个同学都计划去旅游，除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，延边打卡也火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个同学恰好选择三个城市旅游的方法种数共有（ ）
A．1800 B．1080 C．720 D．360
某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高与其父亲身高的经验回归方程为
，当地人小王16岁时身高，他父亲身高180cm，则小王身高的残差为（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，已知两点，，点为动点，且直线与的斜率之积为-2，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线l经过，且与C交于 两点，若，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共总计18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．已知椭圆的焦距是，则m的值可能是（ ）
A． B．13 C． D．19
10．下列命题正确的是（ ）
A．线性回归直线不一定经过样本点的中心
B．设，若，，则
C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
D．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，且
11．已知 双曲线的左、右焦点，点在上，设的内切圆 圆心为，半径为，直线交于，若， ，则（ ）
A． B．圆心的横坐标为 1 C． D．的离心率为2
第Ⅱ卷主观题
三、填空题：本题每小题5分，共3小题，总计15分
12．已知圆和圆交于两点，则直线的方程是 .
13.以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则 ．
14.已知抛物线的焦点为，直线，点，点分别是抛物线、直线上的动点，若点在某个位置时，仅存在唯一的点使得，则满足条件的所有的值为 ．
四、解答题：本题共5道题，总计77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤
15．（本题13分）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生每天课外体育锻炼的平均时间（单位：分钟）进行调查，将收集的数据分成，，，，，六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”．
(1)请根据直方图中的数据，将下面的列联表补充完整；
(2)根据（1）中所得数据，判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
附：．
16．（本题15分）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线与抛物线交于两点，且与的横坐标之和为4，求的值及．
17．（本题15分）某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则有以下两种方案可供选择：
方案一：选取一名员工在袋中随机摸出一个球，若是红球，则放回袋中；若是白球，则不放回，再在袋中补充一个红球，这样反复进行3次，若最后袋中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元；
方案二：从袋中一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元.
(1)若用方案一，求的分布列与数学期望；
(2)比较方案一与方案二，求采用哪种方案，员工获得奖金数额的数学期望值更高？请说明理由；
课外体育不达标
课外体育达标
合计
男
60
女
110
合计
0.15
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
18．（本题17分）已知椭圆的右焦点为，且该椭圆过点，直线l交椭圆E于A，B两点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若AB的中点坐标为，求直线l的方程；
(3)若直线l方程为，过A、B作直线的垂线，垂足分别为P、Q，点R为线段PQ的中点，求证：四边形ARQF为梯形.
19．（本题17分）组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质：.小明同学想进一步探究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究.
(1)计算：，并与比较，你有什么发现？写出一般性结论并证明；
(2)证明：
(3)利用上述（1）（2）两小问的结论，证明：