安徽省2025-2026学年高三（上）质检数学试卷（2月份）

这是一份安徽省2025-2026学年高三（上）质检数学试卷（2月份），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合M={x|x(x−2)a>bB. b>c>aC. b>a>cD. a>c>b
5.已知x6.635，
根据小概率值α=0.010的χ2的独立性检验，我们推断H0不成立，
故认为数学成绩与语文成绩有关；
(2)P(B−|A)=P(AB−)P(A)=30110=311；
(3)按分层抽样，语文成绩优秀的5人，语文成绩不优秀的3人，
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X=0)=C33C83=156,P(X=1)=C51C32C83=1556，
P(X=2)=C52C31C83=3056=1528,P(X=3)=C53C83=1056=528，
故X的概率分布列为：
数学期望E(X)=0×156+1×1556+2×1528+3×528=10556=158．
【解析】(1)计算χ2≈16.498>6.635，得到答案；
(2)P(B−|A)=P(AB−)P(A)，计算得到答案；
(3)根据分层抽样比例关系得到人数，确定随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案．
本题考查了独立性检验和离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
17.【答案】解：(1)证明：∵平面BDEF⊥平面ABCD，ED⊥BD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，ED⊂平面BDEF，
∴ED⊥平面ABCD，
又AB⊂平面ABCD，
∴ED⊥AB，又AB⊥AD，DE∩AD=D，DE，AD⊂平面ADE，
∴AB⊥平面ADE，
∴∠BEA为直线BE与平面ADE所成角，
不妨设AB=2，则tan∠BEA=ABAE=2AE= 63，所以AE= 6，则DE= AE2−AD2= 6−4= 2．
连接BD，交AC于点G，
∴DG=BG=12BD= 2，
∴△EDG、△FBG为等腰直角三角形，
∴∠EGD=∠FGB=45°，所以∠EGF=90°，即EG⊥GF，
又AC⊥BD，平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥平面BDEF，
∵EG⊂平面BDEF，
∴AC⊥EG，
又AC∩FG=G，AC，FG⊂平面AFC，
∴EG⊥平面AFC，
EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC；
(2)过点G作AF的垂线，垂足为H，连接EH，如图所示．

由(1)知EG⊥平面AFC，
∵HG，AF⊂平面AFC，
∴HG⊥EG，EG⊥AF，
又∵HG⊥AF，HG∩GE=G，HG，GE⊂平面EHG，∴AF⊥EH，
∴∠EHG是二面角E−AF−C的平面角．
不妨设AB=2，在△ACF中，易得AF=FC= 4+2= 6,AC=2 2，
由余弦定理得cs∠FAC=AF2+AC2−FC22AF⋅AC=6+8−62× 6×2 2= 33，
∴sin∠FAC= 1−cs2∠FAC= 63，
∴HG=AGsin∠FAC= 2× 63=2 33．
在△EHG中，HG=2 33,EG=2,HG⊥EG，
∴EH= EG2+HG2= 4+43=4 33，所以cs∠EHG=HGEH=2 334 33=12，
∴二面角E−AF−C的大小为π3．
【解析】(1)根据线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理可证结论成立；
(2)过点G作AF的垂线，垂足为H，连接EH，可证∠EHG是二面角E−AF−C的平面角，通过计算可得结果．
本题考查二面角相关知识，属于中档题．
18.【答案】解：(1)h(x)=2( 32cs x−12sin x)−( 32cs x−12sin x)=−12sinx+ 32csx，
所以函数h(x)的“相伴向量”OM=(−12, 32)；
(2)由题知：f(x)=0⋅sinx+2⋅csx=2csx，
g(x)=2csx+2 3sinx−1=4sinx+π6−1,0≤x≤π4csx+π3−1,π6cs4x+cs2x−2，
因为x∈(−π4,π4)，所以2x∈(−π2,π2)，
∴cs2x>0，
所以a>6cs4x+cs2x−22cs2x
=(3cs2 x+2)(2cs2 x−1)2cs 2x
=3cs2 x+22对任意x∈(−π4,π4)恒成立，
所以a>32cs2x+1对任意x∈(−π4,π4]恒成立，设g(x)=32cs2x+1，x∈(−π4,π4)，
当x=0时，g(x)=32cs2x+1取到最大值52，
所以a>52，即a的取值范围为52,+∞．

【解析】本题主要考查向量和三角函数相结合的新定义问题，属于较难题．
(1)由两角和差的三角函数公式可得h(x)=−12sinx+ 32csx，进而可得函数h(x)的相伴向量；
(2)根据题意可得f(x)=2csx，作出分段函数g(x)的图象，得出函数g(x)与y=k有四个交点时，实数k的取值范围；
(3)由题得2acs2x>6cs4x+cs2x−2，分离参数可求得实数a的取值范围．
19.【答案】解：(1)∵f(x)=lnxx，
∴f′(x)=1−lnxx2，
∴f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减；
又∵函数y=f(x)在(a,+∞)上单调递减，
∴a≥e．
(2)证明：由(1)知，f′(1)=1，
所以l的方程为y=x−1；
令g(x)=x−1−f(x)，
∵除切点外曲线C在直线l的下方，
∴∀x>0且x≠1，g(x)>0，
而g(x)满足g(1)=0，且g′(x)=1−f′(x)=x2−1+lnxx2，
当00且x≠1，g(x)>g(1)=0；
所以除切点外，曲线C在直线的下方．
【解析】(1)求导f′(x)=1−lnxx2，从而可得f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减；从而求得a≥e．
(2)可知切线l的方程为y=x−1；再令g(x)=x−1−f(x)，从而可得∀x>0且x≠1，g(x)>0，求导g′(x)=1−f′(x)=x2−1+lnxx2，从而证明即可．
本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，属于中档题．语文成绩
合计
优秀
不优秀
数学成绩
优秀
50
30
80
不优秀
40
80
120
合计
90
110
200
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
X
0
1
2
3
P
156
1556
1528
528