湖北孝感市2025-2026学年高二上学期期末考试数学B卷试卷（Word版附解析）

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1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号
条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效.
一､单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1. 数列 的第 8 项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据所给数列，写出数列的一个通项公式，再求解第 8 项.
【详解】记数列 为 ，通过观察分子分母的特征，可得数列的一个通项公式为
， .
故选：B
2. 已知曲线 的方程为 .若曲线 表示的是双曲线，则 的取值范围（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】由双曲线方程的结构得到 ，求解即可.
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【详解】由方程 表示双曲线，
可得 ，
解得 或 ，
故选：D
3. 直线 的倾斜角 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程可得直线的斜率 ，再根据斜率的定义结合正切函数的性质运算求解.
【详解】因为直线 ，即 的斜率 ，
又因为 ，且 ，所以 .
故选：A.
4. 已知圆 ，一条光线从点 射出经 轴上的点 反射.若反射光线与圆
相切于点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】数形结合后，由对称性可知 即为过点 作圆 的切线所得的切线长；
【详解】如图所示，有两种情况，
若反射光线与圆 相切，分别记切点为 ，
关于 轴 对称点为 ，
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，
易知 ，
又
又 ，
即
故选：C
5. 下列对于有关概率的计算或说法错误的是（ ）
A. 掷一枚质地均匀的骰子，设事件 出现的点数不小于 5 出现的点数为偶数 ，则 出
现的点数为 6
B. 若事件 两两互斥，则
C. 随机事件 发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值.
D 若 ，则事件 相互独立与互斥能同时成立.
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】对于 A：事件 ，因此 ，A 正确；
对于 B：事件两两互斥时，由互斥事件的加法公式可知 ，B 正确；
对于 C：概率的统计定义表明，随机事件的概率是其频率在试验次数增多时的稳定值，频率是概率的近似值，
C 正确；
对于 D：若 ，则事件 相互独立时， ，
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事件 互斥时， ，两者不可能同时成立，D 错误.
故选：D.
6. 已知圆 ，一动圆 与直线 相切且与圆 外切，动圆圆心 的轨迹为 . 为
上一动点， 为定点，则下列结论正确的是（ ）
A. 准线 的方程是
B. 的最小值为 3
C. 为曲线 上的两点，点 为线段 的中点，则 所在的直线方程为
D. 以线段 为直径的圆与 轴相切
【答案】D
【解析】
【分析】先根据已知条件求出轨迹 的方程，然后根据抛物线的定义、中点公式等知识逐项计算即可.
【详解】圆 的半径为 ，圆心 ，设动圆圆心 ，半径为 ，则根据题意可得
，化简得 ，所以准线方程为 ，A 错误；
根据抛物线的定义可知 等于点 到准线 的距离，
所以 的最小值为点 到准线 的距离，即 ，B 错误；
因为 为线段 的中点，根据抛物线的对称性可知，直线 的斜率存在，
设 ，因为 为线段 的中点，
则 ，由 相减可得
，所以 .
所以直线 的方程为 ，即 ，C 错误；
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设 ，则 的中点为 ，中点到 轴的距离为 ，
而 ，故圆的半径为 ，等于中点到 轴的距离，
因此该圆与 轴相切，D 正确.
故选：D.
7. 在 平 行 六 面 体 中 ， 是 的 中 点 ， 为 平 面 内 一 点 ， 若
，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件和空间向量基本定理求出 ，进而求得结果.
【详解】由图可知， ，而 ，
若 ，所以 .
因为 ，所以 .
代入 得，
因为 为平面 内一点，所以 ，解得 .
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所以 .
故选：C.
8. 曲线 是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出的下列结论中正确
的个数为（ ）
①曲线 关于坐标轴和直线 均对称；
②曲线 恰好经过 8 个整点（即横､纵坐标均为整数的点）；
③曲线 围成的图形的面积是 ；
④曲线 上任意两点间的距离的最大值为 4；
⑤若 是曲线 上任意一点，则 的最小值是 2.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】分别讨论 ， ， 和 四种情况，去掉绝对值，可得曲
线 的方程，作出其图象，可判断①的正误；根据图象的对称性及特殊值，可判断②的正误；根据面积公
式，代入求解，可判断③的正误；根据圆的性质及图象，分析可得曲线 上任意两点间的距离的最大值为
两个半径与正方形的边长之和，代入数据，即可判断④的正误；根据点到直线距离公式，变形整理，结合
直线与圆的位置关系，即可判断⑤的正误.
【详解】当 时，曲线 ，
整理化简可得 ，表示圆心为 半径为 的半圆，
同理可得当 时， ，表示圆心为 半径为 的半圆，
当 时， ，表示圆心为 半径为 的半圆，
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当 时， ，表示圆心为 半径为 的半圆，
作出曲线图形如图所示 ，
对于①，由图象可得，曲线 关于坐标轴和直线 均对称，故①正确；
对于②，当 时，曲线 ，则过点 ，
同理曲线还过 ，共 个整数点，故②正确；
对于③，曲线围成的图形的面积为 ，故③错误；
对于④，曲线 上任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，
即为 ，故④错误；
对于⑤，因为点 到直线 的距离 ，
所以 ，当 最小时，易得点 在曲线 的第一象限图象上，
且最小距离为圆心 到直线 的距离减去半径，
所以 ，
所以 ，故⑤正确，
综上所述总共有 个正确.
故选：
二､多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出 2 只，记事件 “取出的鞋不成双”； “取出的
鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
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【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意列出事件 的情况总数，然后逐项计算判断即可.
【详解】设左脚运动鞋为 ，右脚运动鞋为 ，左脚凉鞋为 ，右脚凉鞋为 ，
则 ，
所以 ，A 错误；
，B 正确；
，C 正确；
，D 正确.
故选：BCD.
10. 空间直角坐标系 中，已知向量 ，则经过点 ，且法向量为
的平面方程为 ，经过点 且一个方向向量为 的直线 的
方程为 ，根据上面的材料，以下选项说法正确的是（ ）
A. 若直线 的方程为 ，则点 在直线 上
B. 已知平面 的方程 ，平面 的方程为 ，则这两平面所成角的正弦值为
C. 已知平面 的方程为 ，则点 到平面 的距离为
D. 已知平面 的方程为 ，平面 的方程为 ，平面 的方程为
，则直线 与平面 的夹角的余弦值为
【答案】BC
【解析】
【分析】对 A，将点代入直线检验，即可判断正误；对 B，根据题设定义求出两平面的法向量，再由面面角
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的向量法，即可求解；对 C，根据条件，求出平面 的法向量及 内一个点的坐标，再由点面距的向量法，
即可求解；对 D，根据条件，求出直线 的方向向量及平面 的法向量，再由线面角的向量法，即可求解.
【详解】对于 A，因为直线 的方程为 ，则 ，
所以点 不在直线 上，故 A 错误；
对于 B，因为平面 的方程 ，所以平面 的法向量为 ，
又平面 的方程为 ，所以平面 的法向量为 ，
所以 ，
则这两平面所成角的正弦值为 ，所以 B 正确，
对于 C，因为平面 的方程为 ，即为 ，
所以平面 的法向量 ，且点 在平面 内，所以 ，
设点 到平面 的距离为 ，则 ，所以 C 正确；
对于 D，因为平面 的方程为 ，所以平面 的法向量 ；
又平面 的方程为 ，所以平面 的法向量 ；
设直线 的方向向量为 ，则有 ，
取 ，则 ，又因为平面 的方程为 ，
所以平面 的法向量为 ，
设直线 与平面 的夹角为 ，则 ，
所以 ，故 D 错误，
故选：BC.
11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；
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反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线 的焦点为
为坐标原点，一束平行于 轴的光线 从点 射入，经过抛物线上的点 反
射后，再经抛物线上另一点 反射后，沿直线 射出，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 若点 的坐标为 ，则
C. 的最小值为 16
D. 若直线 与直线 相交于点 ，则 三点共线
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A，直线 方程可设为 ，与抛物线方程联立，结合韦达定理判断即可；对于 B，
将点坐标代入抛物线方程即可求出结果；对于 C，利用基本不等式的性质求出最小值；对于 D，计算
即可判断是否共线.
【详解】根据抛物线的对称性，不妨设点 在第一象限.
对于 A：抛物线 的焦点坐标为 ，根据抛物线的光学性质可知直线 经过 ，
直线 方程可设为 ，与抛物线方程联立，
得 ，
所以 ，所以选项 A 正确；
对于 B：若点 的坐标为 ，由题意可知： ，代入 中，得 ，
代入 中，得 ，代入 中，得 ，则 ，
所以 ，因此 B 正确；
对于 C：点 的坐标为 ，由题意可知： ，代入 中，得 ，
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代入 中，得 ，代入 中，得 ，
，
即 ，当且仅当 时取等号，即当 时，
的最小值为 18，所以 C 错误；
对于 D：点 坐标为 ，因为 ，所以 ，
又直线 都经过同一点 ，所以 三点共线.
故选：ABD.
三､填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 直线 经过点 ，则点 到 的距离为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由条件结合数量积的坐标表示，得到 ，结合向量模长公式即可求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 即为点 到 的距离， .
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故答案为：
13. 若圆 上到直线 的距离为 3 的点恰好有 2 个，则 的取值范围__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据圆的几何性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，
当圆 上到直线 的距离为 3 的点恰好有 1 个时，直线在圆外，
此时圆心到直线的距离为 7，即 ，解得 ；
当圆 上到直线距离为 3 点恰好有 3 个时，直线到圆心的距离为 1，
则 ，解得 ，
当直线位于到圆心距离为 1 和到圆心距离为 7 的两条平行直线之间时，
圆 上到直线距离为 3 的点恰好有 2 个，此时 的取值范围是 .
故答案为：
14. 已知椭圆 .若圆 的方程为 ，椭圆上存在点 ，过 作圆 的
两条切线，切点分别为 ，使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】分 和 两种情况，利用圆与椭圆的位置关系、切线性质及三角函数单调性，推导出
椭圆离心率的取值范围.
【详解】若 ，此时 与椭圆有公共点，故存在点 ，
过 作圆 的两条切线，切点分别为 ，
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使得 ，此时 ，即 ；
若 ，即 时，如图，
连接 ，显然 ，则 ，
因为 在 上单调递增，要想 最大，只需 最大，
故当 最小时，满足要求，故 点与上顶点 C 或下顶点 D 重合时， 最大，
故当 时满足要求，所以 ，
即 ，所以 ，解得 ，所以 ，
综上，椭圆 的离心率的取值范围是 .
故答案为： .
四､解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）
15. （1）已知数列 的前 项和 ，求数列 的通项公式；
（2）已知数列 的通项公式 .试判断 是否有最大值并说明理由.
【答案】（1） （2）有最大值，理由见解析
【解析】
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【分析】（1）由 和 的关系即可求解；
（2）由 再结合单调性即可求解.
【详解】（1）因为数列 的前 项和 ，
所以当 时， ，
所以 ，
当 时， 不符合上式，
所以
（2）因为 ，
当 时， ，则 ，
结合函数 单调性可知此时数列 单调递减，
当 时， ，则 ，
结合函数 单调性可知，此时数列 单调递减，
故 ，
故数列 最大项为 .故 的最大值为 6.
16. 在平面直角坐标系中，圆 为过点 的圆.
（1）求圆 的标准方程；
（2）已知斜率为 的直线 与圆 相交于异于原点 的两点 ，直线 的斜率分别为 ，且
证明：直线 恒过定点.
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【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设圆的标准方程，将圆上三点坐标代入，解方程组求得圆心坐标与半径，从而确定圆的标准
方程；
（2）联立直线与圆的方程，利用韦达定理和斜率乘积条件推导出直线斜率与截距的关系，进而确定直线恒
过的定点.
【小问 1 详解】
设圆 的标准方程为
∴圆 的标准方程为 .
【小问 2 详解】
设直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
因为直线与圆相交，所以 ，
且
所以
，化简得 ，
故直线 的方程为 ，恒过点 .
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17. 某奖闯关活动共设置三道试题，选手需依次进行答题，每次答题正确后均会获得相应奖金，且奖金累积
.选手每次独自答题正确后选择继续答题或放弃答题的概率相同，若选择放弃答题，则奖金有效；若选择继
续答题，当答题错误时，选手可以使用一次场外求助机会，若求助后答题正确，则奖金有效，同时答题结
束，若求助后答题错误，则奖金清零，同时答题结束.已知甲在本次活动中依次独自答题正确的概率分别为
，场外求助后答题正确的概率为 .
（1）求甲答题两次并获得奖金的概率；
（2）求甲在后两题中使用场外求助并获得奖金的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将甲答题两次并获奖的事件拆分为 “第一题正确→选择继续→第二题独立答对并选择放弃答
题” 和 “第一题正确→选择继续→第二题独立答错但场外求助答对” 两种互斥情况，再用概率加法公式计算
总概率；
（2）将甲在后两题使用场外求助并获奖的事件拆分为 “第一题正确→选择继续→第二题独立答错但求助答
对” 和 “前两题独立答对→选择继续→第三题独立答错但求助答对” 两种互斥情况，再用概率加法公式计算
总概率.
【小问 1 详解】
记甲第一题独自答题正确为事件 ､第二题独自答题正确为事件 ､
第三题独自答题正确为事件 ，甲选择继续答题为事件 ，
甲场外求助后答题正确为事件 ，
则
甲答题两次并获得奖金包含两种情况：
①第一题独自答题正确且选择继续答题，同时第二题独自答题正确且选择放弃答题；
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②第一题独自答题正确且选择继续答题，第二题独自答题错误但场外求助后答题正确.故甲答题两次并获得
奖金的概率：
；
【小问 2 详解】
甲在后两题中使用场外求助并获得奖金包含两种情况：
①第一题独自答题正确且选择继续答题，同时第二题独自答题错误
但场外求助后答题正确；②前两次均独自答题正确且均选择继续答题，
同时第三题独自答题错误但场外求助后答题正确.
因为 ，
所以甲在后两题中使用场外求助并获得奖金 概率 .
18. 如图，在四棱锥 中， 平面 与底面 所成的角为 ，底面 为
直角梯形， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离；
（3）棱 上是否存在点 ，使二面角 的余弦值为 .若存在，试确定 点的位置；若不存
在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在， 是 靠近 的三等分点
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【解析】
【分析】（1）利用线面垂直性质证得 ，结合几何关系推出 ，进而证明 ⊥ 平面
，再根据面面垂直判定定理得到平面 ⊥ 平面 ；
（2）过点 作 ，结合 ⊥ 平面 证得 ⊥ 平面 ，从而将点 到平面 的距
离转化为线段 的长度，再通过直角三角形面积公式求出 的值；
（3）建立空间直角坐标系，设出点 的坐标，求出平面 与平面 的法向量，利用二面角的余弦
值条件列方程求解参数 ，从而确定点 的位置.
【小问 1 详解】
因为 平面 平面 ，
所以 ， 为 与底面 所成的角，
所以 ，
因为 ，
取 中点 ，连接 ，则 ，
则四边形 为长方形，又 ,故四边形 为正方形，
则 ，故 ，
所以
又因为 ，
所以 平面
因为 平面 ，
所以平面 平面 .
【小问 2 详解】
过点 作 于点 ，
由于 平面 平面 APC，
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所以
因为 ，
所以 平面
故 即为点 到平面 的距离，
因为 ，
所以 .
【小问 3 详解】
令 .以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为
轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
其中平面 的法向量为 ，设平面 的法向量为 ，
,
则 ，令 得： ，
所以
设二面角 的平面角为 ，则 ，
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其中
解得： 或
因为 ，所以 .故 是 靠近 的三等分点.
19. 我们把下面的定义称为双曲线的第二定义：平面内到定点 的距离与到定直线 ：
的距离之比为常数 的点的轨迹叫做双曲线，其方程为 ，其
中 ，此时 叫做该双曲线的右准线.已知双曲线 的左､右焦点分别为
，直线 是 的右准线.
（1）求双曲线 的方程；
（2）过点 的直线 交 E 的右支于 两点，过点 作直线 的垂线，垂足为 .证明：直线 过
定点；
（3）过点 作直线 交曲线 于异支两点记为 .设直线 分别与直线 轴相交于点 .问：
在实轴 上是否存在定点 使 恒成立，若存在，则求出对应定直线 ，若不
存在，则说明理由.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）存在定点 ，直线是
【解析】
【分析】（1）根据 ，再根据准线方程得到 ，求解即可；
（2）设 ， ，联立双曲线方程，结合韦达定理得到
，再结合对称性即可求证；
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（3）设直线 的方程，与双曲线的方程联立，由等式成立，可得 为 的角平分线，可得直线
的斜率之和为 0，求出直线 的斜率之和的代数式，利用韦达定理整理可得参数的值.
【小问 1 详解】
设 的半焦距为 ，易知 ，
因为 为 右准线，所以 ，
解得 ，所以 ，
所以 的方程为 .
【小问 2 详解】
证明：设 ，则 ，
由 斜率不为 0，可设 ，
联立双曲线并整理得 ，
则 ，
所以
由 ，直线 ，
根据双曲线的对称性，直线 所过定点必在 轴上，
令 ，则 ，解得
因为 ，所以 ，
而 ，所以 ，则 ，
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所以 过定点
【小问 3 详解】
由过点 作直线 交曲线 于异支两点，得直线 的斜率存在，且斜率不为 0，
设直线 的方程为 ，其中 或
因为 恒成立，即 ，得 为 的角平分线，
设 ，假设存在 ，
联立 ，整理可得： ，
，
因为 ，所以 ，
整理可得 ，
，
即 ，
因为 ，整理可得 ，即 ，
综上所述，在实轴 上存在定点 使 恒成立，对应定直线是 .
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