湖北孝感市2025-2026学年高二上学期期末考试数学A卷试卷（Word版附解析）

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符合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设直线的倾斜角为 ，根据题意，得到 ，即可求解.
【详解】由直线 的斜率 ，
设直线的倾斜角为 ，可得 ，
又因为 ，所以 .
故选：D.
2. 圆 与圆 的位置关系为（ ）
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离
【答案】B
【解析】
【分析】利用圆与圆的位置关系可得出结论.
【详解】圆 的圆心为 ，半径 为 ，
的圆心为 ，半径 为 ，
圆心的距离为 ，所以 ，故两个圆相交.
故选：B.
3. 在等比数列 中，若 ，则 （ ）
A. 18 B. 36 C. 54 D. 60
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列的性质 求解.
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【详解】设等比数列 的公比为 ，因为 ，
所以 .
故选：C.
4. 已知抛物线 上的点 到焦点 的距离为 8，则点 到 轴的距离为（ ）
A. 4 B. C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，设点 的坐标为 ，根据焦半径公式求出 ，从而
求出 ，即可得解.
【详解】抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
设点 的坐标为 ，点 到焦点 的距离等于它到准线的距离 ，
因此 ，解得 ，因此 ，则 ，
所以点 到 轴的距离为 .
故选：C.
5. “数列 是等差数列”是“数列 是等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先假设数列 是等差数列，结合等差数列的性质设出其首项及公差，计算可得数列 亦
为等差数列，举出恰当的数列 的通项公式，使 是等差数列，但 不是等差数列即可得.
【详解】若数列 是等差数列，可设其首项为 ，公差为 ，
则 ，则 ，
即数列 是以 为首项， 为公差的等差数列；
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若数列 是等差数列，取 ，则 ，符合要求，
但数列 不为等差数列，
故“数列 是等差数列”是“数列 是等差数列”的充分不必要条件.
故选：A,
6. 已知点 ，则点 到直线 的距离为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量坐标，判断出两向量的位置关系，即可直接求出结果.
【详解】由题知， ，
因为 ，所以 ，
因此点 到直线 的距离为 .
故选：A
7. 已知数列 满足 ，则 的前 2025 项和等于（ ）
A. 1013 B. 1014 C. 2025 D. 2026
【答案】B
【解析】
【分析】根据周期性即可求解.
【详解】由递推式写出前几项： ，
故该数列为周期数列，且周期为 4，一个周期的取值分别为 ，每个周期的和为 2，
前 2025 项包括 506 个完整周期及第 507 周期的第一项 .
故选：B
8. 在平行六面体中 中， ， 为
的中点，则 与平面 所成角的正弦值为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设 作为基底，利用向量数量积求出 ，再利用基底表示向量
，利用向量法说明 为平面 的法向量，最后利用向量法求出线面角的正弦值即可.
【详解】由题意如图所示：
设 两两夹角都是 ，
故 ，同理 ，
，
因为 ，
，
所以 为平面 的法向量，
由
，
，
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，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
故选：D.
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知数列 的前 项和为 ，则（ ）
A. 为等比数列 B. 为等比数列
C. 为递减数列 D. 为递减数列
【答案】BD
【解析】
【分析】利用 得出 为等比数列以及通项公式判断 BD；利用 判断
AC.
【详解】由 得 ，即 ，
由 ，及以上递推关系可知， ，则 ，
所以 是以 4 为首项， 为公比的等比数列，则 ，
则 为单调递减数列，故 B、D 正确；
当 时， ，而 不符合上式，
因此 并不是等比数列，故 A 错误；
因为 ，所以 不是递减数列，故 C 错误.
故选：BD.
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10. 在正方体 中， 为底面 的中心，则（ ）
A. 平面 B. 平面
C. 平面 D. 平面
【答案】ABC
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，写出所需 点坐标，选项 A，利用 平行即可得出；选项 B，求出
平面 的法向量，利用法向量与向量 数量积为 0 即可判断；选项 C，利用
即可验证；选项 D，利用 即可说明.
【详解】设正方体 的棱长为 1，以 为坐标原点，分别以 所在直线
为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则 ， ，
选项 A，因为 ，
所以 ，所以 ，
由 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，故 A 正确；
选项 B， ，
设平面 的一个法向量为 ，
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由
由 ，令 ，则 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
由 ，
所以 ，直线 不在平面 内，
故 平面 ，故 B 正确；
选项 C，由 ，
因为 ，
所以 ，
又因为 ，所以 平面 ，故 C 正确；
选项 D：由 ，
则 ，所以 与 不垂直，
所以 与平面 不垂直，故 D 错误，
故选：ABC.
11. 已 知 点 分 别 是 椭 圆 的 左 ､ 右 焦 点 ， 上 存 在 两 动 点 都 在 轴 上 方 ，
，直线 与 相交于点 ，则（ ）
A. 当 时，
B. 当 时，
C. 的最小值为
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D. 为定值
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A， 时，A 点横坐标与 相同，代入椭圆方程求解即可
对于 B，结合向量的坐标运算表示出 A 点和 B 点横纵坐标的关系联立椭圆方程可得答案
对于 C，运用向量的坐标运算并代入椭圆方程，用含参数 的函数表达式表示出 ，并利用椭
圆横坐标的取值范围求函数最值
对于 D，运用相似三角形对应边之间的关系及椭圆的定义表示出 并对其进行化简即可得答案
【详解】选项 A：当 时， 轴， ，所以 ，故 A 正确；
选项 B：设 ，其中 均为正数，
由 得 ，所以 且 .
因为 在椭圆上，所以 ，
解得 ， ，故 B 错误；
选项 C：由 得 ，所以 且 .
因为 在椭圆上，所以 ，
解得
，
由 解得 ，当且仅
当 即 时取等号，
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所以 的最小值为 ，故 C 正确；
选项 D：因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，解得 ，
同理可得 ，所以
，故 D 正确.
故选：ACD
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知空间向量 ，若 ，则 __________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解.
【详解】因为 ，所以存在实数 ，使得 ，
即 ，解得 ， .
故答案为： .
13. 设双曲线 的左､右焦点分别为 ，过 作平行于 轴的直线交 于
两点，若 ，则 的离心率为__________.
【答案】
【解析】
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【分析】根据双曲线的定义及在 中勾股定理得到 关系，求出离心率.
【详解】因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ， ，
在 中，由勾股定理得 即 ，
化简得 ，所以 的离心率 .
故答案为： .
14. 某地开展“退耕还林”生态工程.第一年末，某片林区的木材蓄积量为 10 万立方米，从第二年开始，每
年末的蓄积量变化由自然生长和人工补种共同决定：自然生长使得蓄积量变为上一年末的 1.1 倍，同时人工
补种会额外增加 万立方米（其中 表示年份）.设第 年末的木材蓄积量为 万立方米，则
__________万立方米，该林区前 年末的木材总蓄积量 __________万立方米.
【答案】 ① ②.
【解析】
【分析】第一空：根据题意得当 时， ，变形得出数列 为等差数列，
从而得出数列 的通项公式，化简得出数列 的通项公式；第二空：利用错位相减法求出即可.
【详解】木材蓄积量数列 满足 ，
当 时， ，
则 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以数列 的通项公式为： ，
所以 ，
当 时，满足 ，
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所以 ；
由 ，①
则 ，②
①－②得：
，
所以 ，
故答案为： ； .
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知圆 经过点 ，且圆心在直线 上.
（1）求圆 的标准方程；
（2）求过点 且与圆 相切的直线方程.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）设圆的一般方程，根据条件列方程组求解，最后再转化为标准方程；
（2）讨论直线斜率的存在性，利用圆心到直线的距离等于半径求解.
【小问 1 详解】
设圆 的一般方程为 ，圆心为 ，
则由题意可得， ，
解得 ，
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所以圆 的一般方程为 ，
故圆 的标准方程为 ；
【小问 2 详解】
当直线斜率不存在时，方程为 ，
圆心到该直线的距离为 5，不等于半径 ，故不满足；
当直线斜率存在时，设方程为 ，即 ，
圆心到直线的距离等于半径，即 ，
平方化简得 ，解得 或 ，
因此过点 且与圆 相切的直线方程为 或 .
16. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）记 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，根据已知条件得出相应的方程解出 与 ，然后利
用等差数列通项公式求解即可；
（2）利用裂项相消法求出数列 的前 项和为 ，然后根据结果分析即可得证.
【小问 1 详解】
设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
由题意得 ，①
，②
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联立①②解得： ，
所以 的通项公式 .
【小问 2 详解】
因为 ，
所以 ，
，
因为 ，所以 ，
即证得 .
17. 已知四棱锥 的底面 为菱形，且 底面 ， 为
棱 上一点， 为棱 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 中点为 ，取 中点为 ，连接 ，连接 ，连接 交 于点 ，利用中
位线性质，得到 为 的中点，再结合中位线性质，利用线面平行的判定定理证明即可；
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（2）以 的中点 为原点，以 为 轴， 为 轴，过 且垂直底面 的直线为 轴，建立空
间直角坐标系，求出各点的坐标，进而利用向量法，直接求解面面角的余弦值即可.
【小问 1 详解】
取 中点为 ，取 中点为 ，连接 ，连接 ，连接 交 于点 ，连接 ，
因为点 为 中点，点 为 中点，所以 ，
因为 为 的中点，所以 为 的中点，
又因为 为 的中点，
所以 ，又 平面 平面 ，故 平面 .
【小问 2 详解】
以 的中点 为原点，以 为 轴， 为 轴，
过 且垂直底面 的直线为 轴，建立空间直角坐标系.
设 ，则 ，菱形 中， ，所以 ，
则 ，
又 ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
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取 ，得 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
取 得 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
故平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18. 已知 为抛物线 的焦点，过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点
.
（1）求抛物线 的方程；
（2）若 ，求直线 的方程；
（3）若 为 和 的等比中项，求 .
【答案】（1）
（2） 或
（3）
【解析】
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【分析】（1）利用抛物线焦点坐标与系数的关系 ，求出 ，从而得到抛物线方程；
（2）设直线的斜截式方程并联立抛物线，结合韦达定理与向量条件 ，求出直线参数 ，进而得
到直线方程；
（3）根据抛物线定义将 、 转化为横坐标表达式，结合韦达定理求出 和 ，再利用题
设等式求解 ，最终得到 的值。
【小问 1 详解】
因为抛物线 的焦点为 ，
所以 ，解得 ，
故抛物线 的方程为 ；
【小问 2 详解】
设直线 的方程为 ，代入抛物线 的方程得： ，
设 ，由韦达定理得 ，
由 ，得 ，
联立 与 得 ，
代入 ，得 ，解得 ，
所以直线 的方程为 或 ；
【小问 3 详解】
由抛物线定义得 ，
所以 ，
，
，
故 ，
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由 得 ，
解得 ，
所以 .
19. 已知椭圆 的右顶点为 ，且离心率为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若过定点 且斜率不为零的直线 与 交于 两点， 关于 轴对称的点为 .
（i）求 面积的最大值；
（ii）记直线 与 的斜率分别为 ，证明： 为定值.
【答案】（1）
（2）（i） （ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到 且 ，求得 的值，即可求得椭圆 的标准方程；
（ 2）（ i） 设 ， 直 线 ， 联 立 方 程 组 ， 得 到 和
，求得 的面积 ，令 ，结合基本不等式，即可求解；（ii
）根据题意，求得 ，化简得到 ，结合韦达定理，代入化简，即可求解.
【小问 1 详解】
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解：因为椭圆 的右顶点为 ，且离心率为 ，
可得 ，且 ，所以 ，则 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
小问 2 详解】
解：（i）设直线 ，
联立方程组 ，整理得 ，
则 ，可得 ，解得 或
设 ，由韦达定理得， ，
则 的面积
，
令 ，则 ，
代入可得 ，当且仅当 即 时，取等号，
所以 面积的最大值为 ；
（ii）因为 关于 轴的对称点为 ，
可得直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
所以 ，
因为 ，可得 ，
第 18页/共 19页
则 ，所以 为定值 .