重庆市育才中学校2026届高三下学期2月开学考试数学试题（含答案）

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（满分：150 分；考试时间：120 分钟）
（命题､审题人：向娟､周毅鸿､周颍､熊元豪）
注意事项：
1 答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名､准考证号；
2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5mm 黑色签字笔答题；
3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题
无效；
4 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠､损毁：考试结束后，将答题卡交回.
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数单调性解不等式化简集合 B，进而求交集.
【详解】因为集合 ，
且集合 ，所以 ．
故选：C.
2. 已知 ，其中 i 为虚数单位，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法运算和共轭复数的概念即可求解.
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【详解】因为 ，所以
所以 .
故选：B.
3. 有一散点图如图，在 5 个 数据中去掉 后，下列说法正确的是（ ）
A. 变量 与变量 的线性相关性变弱 B. 数据 的方差变大
C. 相关系数 变小 D. 残差平方和变小
【答案】D
【解析】
【分析】利用散点图分析数据，判断相关系数，方差，残差的平方和的变化情况．
【详解】从散点图可分析出，若去掉点 ，则剩下的点更能集中在一条直线附近，
所以解释变量 与响应变量 的线性相关性变强，
数据的离散程度减小，所以方差变小，相关系数 会变大，
因为拟合效果越好，所以残差平方和变小.
故选：D
4. 已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 M，N 分别为边 AB，DA 上的动点，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以点 为原点，建立平面直角坐标系，设 和 ，利用向量的数量积的
坐标运算公式，得到 ，即可求解.
【详解】以点 为原点，以 和 所在直线分别为 x 轴和 y 轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，设 ， ，
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可得 ，则 ．
故选 C．
5. 过直线 上的动点 向圆 引切线 ，切点为 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知当 与直线 垂直时， 取最小值，利用点到直线的距离公式可求出
的最小值，结合勾股定理可求得 的最小值.
【详解】连接 ，则 ，如下图所示：
圆 的圆心为坐标原点，半径为 ，由勾股定理可得 ，
所以当 取最小值时， 取最小值，
故当 与直线 垂直时， 取最小值，
即 的最小值为 ，
所以 .
故选：B.
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6. 某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就
餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，则不同的方案共有（ ）
A. 120 种 B. 144 种 C. 240 种 D. 288 种
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得，小王同学有两天吃同一种套餐，先从 5 天中选出两天吃同一种套餐，将这两天视为
一个整体，然后将 4 种不同的套餐安排在这两天和另外 3 天中，即可求解.
【详解】由题意可得，小王同学有两天吃同一种套餐，先从 5 天中选出两天吃同一种套餐，
然后将 4 种不同的套餐安排在这两天和另外 3 天中，则不同的方案共有 种.
故选：C.
7. 已知定义在 上的奇函数 和偶函数 ， ，则当 时，
的最大值为（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用奇偶性列方程，解方程，可得到 的解析式，进而可得到 的表达式，
利用三角函数最值的求法可得答案.
【详解】已知 ，
将 替换为 ，
得： ，
因为 为 上的奇函数， 为 上的偶函数，
所以 ， ，
则 ，
联立 ，
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两式相减得： ，
当 时，
，
由于 ，则 ，
当 即 时， 取得最大值 ，
所以 的最大值为 .
故选：D
8. 设函数 ，若 恒成立，则 的最大值为（ ）
A. -1 B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由 得到 或 ，解得 或 ，分别按照 和 讨论
求解，当 时，分别按照 ， ， 这三种情况讨论求解，得到 ，则
，构造函数 ，利用导数法求出 的单调性，得到 的最大值即为所求.
【详解】 ， ， 或 ，
或 ，
当 时， 的解为 ， 无解，故 的解为 ，
不满足 恒成立，故 不符合题意；
当 时， 的解为 ， 的解为 ，
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当 时， 的解为 ， 解为 ，
则 的解为 或 ，不满足 恒成立，故 不符合题意；
当 时， 的解为 ， 解为 ，
则 的解为 或 ，不满足 恒成立，故 不符合题意；
当 时， 的解为 ， 解为 ，
则 的解为 或 ，即 的解为 ，
满足 恒成立，故 符合题意；
，
设 ， ，
的解为 ，则 在 上是单调递增函数；
的解为 ，则 在 上是单调递减函数；
则 在 处取得最大值，且最大值为 .
故选：B.
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 数列 是公差为 1 的等差数列
D.
【答案】BC
【解析】
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分析】先结合已知条件求得 ， ，再依次讨论各选项即可得答案.
【详解】因为 ，
所以 ，解得 ，故 A 选项错误；
所以 ，解得 ，
所以 ， ，故 B 选项正确；
因为 ， ，
所以 ，即数列 是公差为 1 的等差数列，故 C 选项正确；
所以 ，故 D 选项错误.
故选：BC
10. 已知圆台的上底半径为 ，下底半径为 ，球 与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的
有（ ）
A. 圆台的母线长为 B. 圆台的体积为
C. 圆台的表面积为 D. 球 的表面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】画出圆台的轴截面，则轴截面是等腰梯形，内切圆是过球心的大圆，结合题意，分别求出圆台的
母线长和内切球的半径，即可得出结论．
【详解】画出圆台的轴截面，如图所示：
则四边形 是等腰梯形，且 ， ，内切圆圆心即球心 ；
所以圆台的母线长为 ，选项 A 正确；
连接 、 和 ，则 是直角三角形，且 ，
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所以球的半径为 ，
所以圆台的体积为 ，故选项 B 错误；
圆台的表面积为 ，故选项 C 正确；
球 的表面积为 ，故选项 D 正确．
故选：ACD．
11. 斜椭圆是由焦点在坐标轴上的椭圆绕其中心旋转一定角度 得到的图象.已知曲线
的 图 象 是 如 图 所 示 的 斜 椭 圆 ， 点 是 上 任 意 一 点 ， 点 ，
为坐标原点，则下列说法正确的为（ ）
A. 该椭圆 焦点在直线 上
B. 该椭圆的离心率为
C. 的最大值为
D. 最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】通过验证点 关于直线 ， 对称的点在曲线 上，结合图象可判断 A；将 ，
与曲线 方程联立可得顶点坐标，由此可长轴长和短轴长，结合椭圆 之间关系和离心率定义
可判断 B；当直线 与曲线 相切时， 取得最大值，联立后利用 可判断 C；将
转化为 ，根据 可求得 D.
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【详解】对于 A，点 关于直线 ， 对称的点分别为 ， ，
若点 在曲线 上，可知点 ， 在曲线 上，
则曲线 的图象关于直线 和 对称；
由图象可知：曲线 的长轴在 上，则焦点在直线 上，A 正确；
对于 B，由 得： 或 ，
则椭圆 长轴长 ，则 ；
由 得： 或 ，
则椭圆 短轴长 ，则 ；
， 离心率 ，B 错误；
对于 C，当直线 与曲线 相切时， 取得最大值；
由 得： ，
，解得： （舍）或 ，
的最大值为 ，C 正确；
对于 D，因为 ，且焦点在直线 上，所以 为椭圆的焦点，
中点为椭圆的焦点 ，
，
， ，
，D 正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 的展开式中 的系数是______.（用数字作答）
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【答案】24
【解析】
【分析】利用二项式展开的通项公式，求出 项对应的 值，再计算该项的系数.
【详解】二项式 的展开式通项公式为 .
令 ，则含 项的系数为 .
故答案为：24
13. 若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为_____
【答案】
【解析】
【分析】先对函数求导，再把函数的单调性问题转化为导函数的恒成立问题，结合分离参数法求解即可.
【详解】由 知 ，
因为函数 在 上单调递增，所以 在 上恒成立，即
， ，
令 ， ，则 在 上单调递增，所以 ，
所以 .
故答案为： .
14. 数学课上，小明同学给出了一种用数字 1，2 生成新数列的方法：每次都在相邻的两数之间插入一个数，
若相邻两数的和为奇数，则插入数字 1；若相邻两数的和为偶数，则插入数字 2．即第一次生成数列 ；
第二次生成数列 ；第三次生成数列 ；如此继续下去，记第 次生成数列的项数为
，第 次生成数列的所有项的和为 ，则 __________， __________．
【答案】 ①. 2026 ②.
【解析】
【分析】第一空，给出第四次生成数列为： ，得 ， ，且
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，即可求解；第二空，由当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，得
当 且 为奇数时，得 ，而 ，则数列 为等比数列，
进行求解即可．
【详解】第一空；由题可得 ，
则第四次生成数列为： ，
得 ， ，
得 ，
所以 ，
则数列 是首项为 、公比为 2 的等比数列，
所以 ，即 ，
得
得 ．
第二空：由题可得 ,
,
,
,
,
依次类推，
当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，
则当 且 为奇数时， ，
令 ，得 ，
得 ，得 ，
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得 ，而 ，
则当 为奇数时，数列 为等比数列，且首项为 ，公比为 4，
由于 为奇数，则 ，得 ，
当 为偶数时， ，
故 ，
故答案为：2026，
四､解答题：本题共 5 小题，15 题 13 分，16､17 题 15 分，18､19 题 17 分，共 77 分，解答应
写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知 的内角 的对边分别为 ，满足 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的周长.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由正弦边角关系及三角形内角的性质化简条件得 ，即可求；
（2）由余弦定理及已知得 ，进而即得.
【小问 1 详解】
由 及正弦边角关系得 ，
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而 ，整理得 ，
因为 ，所以 ；
【小问 2 详解】
由余弦定理 ，得 ，
进而得 ，得 ，
所以 的周长为 .
16. 已知抛物线 过点 ，焦点为 .
（1）求 ；
（2）过点 作直线 与 交于 ， 两点.若 的面积为 10，求直线 的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）根据条件求出 ，由焦半径公式计算即可求出；
（2）设 ， ，联立方程组，根据 计算即可.
【小问 1 详解】
由题意可得， ，则 ，则 ， ，
故 ；
【小问 2 详解】
由题意可知，直线 的斜率存在，设 ，
联立 ，得 ，
设 ，则 ， ，
则
，
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解得 ，满足 ，
则直线 的方程为 .
17. 如图，在三棱锥 中，底面 是正三角形，中心为 .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求平面 与平面 夹角的正切值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）延长 交 于点 ，则 为 的中点，连接 ，证明出 ，再利用线面平行的
判定定理可证得结论成立；
（2）方法一：以 为原点， 、 所在直线分别为 、 轴，建立空间直角坐标系，设点
，根据 ， 可得出关于 、 的方程组，解出这两个未知数的值，可得
出点 的坐标，再利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得平面 与平面 夹角的正切
值；
方法二：在平面 内作 ，垂足为点 ，过点 在平面 内作 ，垂足为点 ，
连接 ，推导出 平面 ，可知平面 与平面 夹角为 ，求出 、 的长，
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即可得解.
【小问 1 详解】
延长 交 于点 ，则 为 的中点，连接 ，如下图所示：
因为 为正 的中心，所以 ，
又因为 ，即 ，所以 ，故 ，
因为 平面 ， 平面 ，故 平面 .
【小问 2 详解】
由于 ， 为 的中点，故 .
又因为 为等边三角形，所以 ，
因为 ， 、 平面 ，所以 平面 ，
方法一：因为 平面 ，且 ，
以 为原点， 、 所在直线分别为 、 轴，建立空间直角坐标系，
则平面 的一个法向量为 .
易知 、 、 ，所以 ，
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设点 ，则 ，解得 ，即点 ，
因此 .
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
取 得 ，即平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 夹角为 ，则 ，
所以 ，所以 ，
故平面 与平面 夹角的正切值为 .
方法二：在平面 内作 ，垂足为点 ，过点 在平面 内作 ，垂足为点 ，
连接 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
又平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 ， ， 、 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
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所以平面 与平面 夹角为 ，
在 中， ， ，则 ，故 ，
由余弦定理可得 ，
所以 ，
故 ， ，
所以 ，
易知 ，故 ，所以 ，
所以 ，即平面 与平面 夹角的正切值为 .
18. 已知函数 ．
（1）若函数 图象在点 处的切线与函数 图象在点 处的切线平行，
求 的值；
（2）设 ，用 表示函数 和 ；
（3）求证： ．
【答案】（1） 或 或 ;
（2） ， ;
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数，结合余弦值相等的角满足的条件，即可求解；
（2）利用余弦的和差角公式和二倍角公式化简，即可求解；
（3）利用 ，结合四倍角公式和三倍角公式，建议方程，再结合零点存在定理即可求解.
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【小问 1 详解】
因为 所以依题意可知： ，
即 ．
所以 或 ， ，
又因 所以 或 或 ．
【小问 2 详解】
因为
，再由 ，可得 ；
同理
，再由 ，可得
【小问 3 详解】
.
．
令 ，则 是方程 的根．
又 ，
是函数 的零点．
，由 ，解得 ．
在 上单调递增，在 上单调递减．
当 时， 没有零点．
于是 必在区间 上．
又 在 上单调递增，
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且 ．
由零点存在定理可知： ．即 ．
19. 在乒乓球亚洲杯 决赛场上，中国队队员王楚钦击败了日本队队员张本智和并夺得金牌，重庆市育才中
学高三的学生们深受鼓舞，在冲刺高考的同时，利用课余时间积极地进行乒乓球运动.甲，乙两队进行乒乓
球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜.已知每场比赛甲队获胜的概率为
，乙队获胜的概率为 ，且每场比赛的结果相互独立.
（1）当 时.
（i）记比赛开始的前三场的中甲获胜的场数为 X，求 的分布列；
（ii）求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率；
（2）若比赛结果为 或者 时胜方的成长值记 3 分，负方记 0 分，比赛结果为 时胜方的成长值记
2 分，负方记 1 分，求甲队本次比赛的成长值得分的期望 ，并求 的取值范围.
【答案】（1）（i）分布列见解析；（ii）
（2）
【解析】
【分析】（1）（i）根据二项分布求出分布列即可；
（ii）分别计算甲队获胜的概率和甲队获胜且比赛恰好 4 场的概率，然后利用条件概率求解；
（2）先确定甲队成长值得分 的可能取值，并计算概率，根据期望计算公式计算.得出期望关于 的关系式
后，通过导数判断 在 上的单调性确定其范围.
【小问 1 详解】
（i）由题意可知， ，则 的可能取值为 ，
则 ； ；
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； ，
∴ 分布列为
0 1 2 3
（ii）设事件 表示“比赛恰好进行 4 场”，事件 表示“甲队获胜”.
甲队获胜包含三种情况：
比赛 3 场甲队获胜，其概率为 .
比赛 4 场甲队获胜，即前 3 场甲队胜 2 场，第 4 场甲队胜，概率为 .
比赛 5 场甲队获胜，即前 4 场甲队胜 2 场，第 5 场甲队胜，概率为 .
∴甲队获胜的概率为 .
甲队获胜且比赛恰好进行 4 场的概率为 .
∴在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了 4 场的概率为 .
【小问 2 详解】
甲队本次比赛的成长值得分 的可能取值为 3，2，1，0.
；
；
；
.
∴
.
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令 ，
则 ，
∵ ，∴ ，
再令 ，
，判别式 ，
的两根为 ， ，
由 可得 ，则 在 上单调递减，则 ，
所以 时， ， ，
因此函数 在 上单调递增，
又 ，当 趋近于 1 时， ，则 ，
故 的取值范围是 .
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