四川广元市川师大万达中学2025-2026学年高二下学期入学考试数学试题含 答案

这是一份四川广元市川师大万达中学2025-2026学年高二下学期入学考试数学试题含 答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的选项中, 只 有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线过点 m,3,1,m+2 ,且倾斜角为 150∘ ,则 m= ( )
A. 3+1 B. 4−23 C. -2 D. 2
2. 抛物线 y=2x2 的准线方程为
A. y=−14 B. y=−18 C. x=12 D. x=−14
3. 已知数列 an 满足 a1=12,an+1=an+1n2+n ,则 an= ( )
A. 32−1n B. 2−3n+1 C. 1−1n+1 D. 32+1n
4. 已知 A−1,1,2,B1,0,−1 ,设 D 在直线 AB 上,且 AD=2DB ,设 C(λ,13+λ,1+ λ) ,若 CD⊥AB ,则 λ 的值为( )
A. 116 B. −116 C. 12 D. 13
5. 若过点 2,1 的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线 2x−y−3=0 的距离为( )
A. 55 B. 255 C. 355 D. 455
6. 设点 F1,F2 分别是双曲线 C1:x2a2−y22=1a>0 的左、右焦点,过点 F1 且与 x 轴垂直的直线 l 与双曲线 C 交于 A,B 两点. 若 △ABF2 的面积为 26 ,则该双曲线的渐近线方程为( )
A. y=±3x B. y=±33x C. y=±2x D. y=±22x
7. 已知正项等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 S5=4,S15=28 ,则 S10= ( )
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
8. 已知 F1,F2 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左，右焦点， A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 36 的直线上， △PF1F2 为等腰三角形， ∠F1F2P=120∘ ，则 C 的离心率为
A. 23 B. 12 C. 13 D. 14
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求.
9. 下列描述正确的是( )
A. 若事件 A,B 满足 PA+PB=1 ,则 A 与 B 是对立事件
B. 若 PAB=19,PA=23,PB=13 ,则事件 A 与 B 相互独立
C. 掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”是对立事件
D. 一个袋子中有 2 个红球, 3 个绿球, 采用不放回方式从中依次随机地取出两球第二次取到红球的概率是 25
10. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中, 正确的有( )
A. 若两条不重合的直线 l1,l2 的方向向量分别是 a=2,−2,−1,b=−2,−2,1 ,则 l1//l2
B. 若直线 l 的方向向量是 a=1,1,2 ,平面 α 的法向量是 n=−2,−2,−4 ,则 l⊥α
C. 若直线 l 的方向向量是 a=0,2,0 ,平面 α 的法向量是 n=−2,0,2 ,则 l//α
D. 若两个不同的平面 α,β 的法向量分别是 m=3,−4,2,n=−2,0,3 ,则 α⊥β
11. 已知直线 l:kx−y+1+2k=0 与圆 M:x−22+y−12=4 ,则()
A. 直线 l 的方程可转化为 kx+2+1=y ,即直线 l 过定点 P−2,1 .
B. 若直线 l 与圆 M 有公共点,则实数 k 的取值范围为 −33,33
C. 若圆 M 上恰有 3 个点到直线 l 的距离为 1,则 k=±1515
D. 若直线 l 与圆 M 相交于 A,B 两点,则 MA⋅MB 的取值范围为 −4,4
第II卷(非选择题)
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知圆 C1:x2+y2=1 和圆 C2:x2+y2−4x−4y+4=0 ,则 C1,C2 的公切线共有_____条.
13. 已知双曲线 C1 与双曲线 C2:x2−2y2=1 有相同的渐近线,且过点 2,2 ,则双曲线 C1 的标准方程为_____.
14. 将数列 {2n−1} 与 {3n−2} 的公共项从小到大排列得到数列 {an} ,则 {an} 的前 n 项和为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 72 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.
15. 甲、乙两人进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为 35 ，乙获胜的概率为 25 ，且各局比赛的胜负互不影响. 有两种比赛方案供选择，方案一:三局两胜制(先胜 2 局者获胜， 比赛结束)；方案二:五局三胜制 (先胜 3 局者获胜, 比赛结束).
(1)用掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数， 若两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于 1 ，则选择方案一，否则选择方案二. 求选择方案一的概率;
(2)若选择方案一，求甲获胜的概率.
16. 记 Sn 为正项等比数列 an 的前 n 项和,已知 S6=63,a5+a4=8a2+a1 .
(1)求 an 的通项公式；
(2)设 bn=2n⋅an ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn .
17. 已知椭圆 Γ 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 32 ，且经过点 −2,0 ，直线 l:y=12x+12 与 y 轴交于 P 点,且与椭圆 Γ 交于 A,B 两点.
(1)求椭圆 Γ 的标准方程；
(2)求 PA⋅PB 的值.
18. 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, E 为棱 BC 的中点, F 为棱 CD 的中点.

(I) 求证: D1F// 平面 A1EC1 ;
(II) 求直线 AC1 与平面 A1EC1 所成角的正弦值.
(III) 求二面角 A−A1C1−E 的正弦值.
19. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F ,过点 F 的直线 l1 与 C 交于 A,B 两点,且 OA⋅OB=−3,O 为坐标原点.
(1)求 C 的方程；
(2)若直线 l1 与 C 的准线交于点 P ，过点 P 作直线 l2 交 C 于 M ， N 两点，且直线 l1 与 l2 的倾斜角互补.
(i) 求直线 l2 所过定点的坐标;
(ii) 证明: A,B,M,N 四点共圆.
1. C
tan150∘=m+2−31−m=−33 ,
解得 m=−2 ,
故选: C.
2. B
抛物线的方程可变为 x2=12y
故 p=14
其准线方程为 y=−18
故答案为: B.
3. A
由 an+1=an+1n2+n 得: an+1−an=1n2+n=1n−1n+1 ,
即 an−an−1=1n−1−1n ,
所以 an=a1+a2−a1+a3−a2+⋯+an−an−1
=12+1−12+12−13+⋯+1n−1−1n=32−1n .
故选: A .
1. 型如: an+1−an=fn 的数列的递推公式,采用累加法求通项;
2. 形如: an+1an=fn 的数列的递推公式,采用累乘法求通项;
3. 形如: an+1=pan+qpqp−1≠0 的递推公式,通过构造转化为 an+1−t=pan−t ,构造数列 an−t 是以 a1−t 为首项， p 为公比的等比数列,
4. 形如: an+1=pan+qnpqp−1≠0 的递推公式,两边同时除以 qn+1 ,转化为 bn+1=mbn+t 的形式求通项公式;
5. 形如: anan+1an−an+1=d ,可通过取倒数转化为等差数列求通项公式.
4. B
设 Dx,y,z ,则 AD=x+1,y−1,z−2,AB=2,−1,−3,DB=(1−x,− y,−1−z) ,
∵AD=2DB,∴x+1=21−x,y−1=−2y,z−2=−2−2z.∴x=13,y=13,z=0.
∴D13,13,0,CD=13−λ,−λ,−1−λ ,
∵CD⊥AB,∴CD⋅AB=213−λ+λ−3−1−λ=0,∴λ=−116 .
故选: B
5. B
由于圆上的点 2,1 在第一象限,若圆心不在第一象限,
则圆与至少与一条坐标轴相交, 不合乎题意, 所以圆心必在第一象限,
设圆心的坐标为 a,a ,则圆的半径为 a ,
圆的标准方程为 x−a2+y−a2=a2 .
由题意可得 2−a2+1−a2=a2 ,
可得 a2−6a+5=0 ,解得 a=1 或 a=5 ,
所以圆心的坐标为 1,1 或 5,5 ,
圆心 1,1 到直线 2x−y−3=0 的距离均为 d1=2×1−1−35=255 ;
圆心 5,5 到直线 2x−y−3=0 的距离均为 d2=2×5−5−35=255
圆心到直线 2x−y−3=0 的距离均为 d=−25=255 ;
所以,圆心到直线 2x−y−3=0 的距离为 255 .
故选: B.
6. D
点 F1−c,0 ,将 x=−c 代入 x2a2−y22=1 ,可得 c2a2−y22=1 ,
解得 y=±2a ,所以 A−c,2a,B−c,−2a ,
所以 S△ABF2=12×AB×F1F2=12×4a×2c=4ca=26 ，
所以 c=62a ,
又因为 c2=a2+b2=a2+2=32a2 ,所以 a2=4 ,则 a=2 ,
又因为 b2=2 ,所以 b=2 ,
所以该双曲线的渐近线方程为 y=±bax=±22x ,
故选:D.
7. A
由题意及等比数列前 n 项和的性质,得 S5,S10−S5,S15−S10 成等比数列, 则 S10−S5S5=S15−S10S10−S5 ,即 S10−44=28−S10S10−4 ,解得 S10=12 或 S10=−8 (舍) .
故选: A
8. D
因为 △PF1F2 为等腰三角形, ∠F1F2P=120∘ ,所以 PF2=F1F2=2c , 由 AP 斜率为 36 得, tan∠PAF2=36,∴sin∠PAF2=113,cs∠PAF2=1213 , 由正弦定理得 PF2AF2=sin∠PAF2sin∠APF2 , 所以 2ca+c=113sinπ3−∠PAF2=11332⋅1213−12⋅113=25∴a=4c,e=14 , 故选: D.
9. BD
A: 事件 A : 掷一枚硬币,正面朝上; 事件 B : 掷一个质地均匀的骰子,出现奇数点,
显然 PA=12,PB=12 ,满足 PA+PB=1 ,
显然 A 与 B 不是对立事件，所以本选项不正确；
B: 因为 PA=23 ,所以 PA=1−23=13 ,因为 PAPB=19=PAB ,
所以事件 A 与 B 相互独立,所以本选项正确;
C: 抛掷两枚质地均匀的骰子,“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点可以同时出现,故不是对立事件;
D: 因为采用不放回方式从中依次随机地取出两球,
所以第二次取到红球的概率是 25×14+35×24=25 ,因此本选项正确,
故选: BD
10. BD
对于 A 中,由直线 l1,l2 的方向向量分别是 a=2,−2,−1,b=−2,−2,1 ,
设 a=λb ,可得 2=−2λ−2=−2λ−1=λ ,此时方程组无解,即 a 与 b 不平行,
所以 l1 与 l2 不平行,所以 A 错误;
对于 B 中,由直线 l 的方向向量是 a=1,1,2 ,平面 α 的法向量是 n=−2,−2,−4 ,
可得 a=−12n ,所以 a//n ,所以 l⊥α ,所以 B 正确;
对于 C 中,由直线 l 的方向向量是 a=0,2,0 ,平面 α 的法向量是 n=−2,0,2 ,
可得 a⋅n=0 ,可得 a⊥n ,所以 l//α 或 l⊂α ,所以 C 不正确;
对于 D 中,由两个不同的平面 α,β 的法向量分别是 m=3,−4,2,n=−2,0,3 ,
可得 m⋅n=3×−2+2×3=0 ,所以 m⊥n ,则 α⊥β ,所以 D 正确.
故选: BD.
11. ABC
对于 A ,由 x+2=0 ,可得 y=1 恒成立,直线 l 过定点 P−2,1,A 正确;
圆 M:x−22+y−12=4 的圆心 M2,1 ,半径 r=2 ,
对于 B ,点 M 到直线 l 的距离 2k−1+1+2kk2+1≤2 ,解得 k∈−33,33 , B 正确;
对于 C ,由圆 M 上恰有 3 个点到直线 l 的距离为 1,得点 M 到直线 l 的距离
2k−1+1+2kk2+1=1 ,解得 k=±1515 , C 正确;
对于 D,MA⋅MB=MAMBcs⟨MA,MB⟩=4cs∠AMB ,而 00 ,
因为 a5+a4=8a2+a1 ,所以 a2+a1q3=8a2+a1 ,所以 q3=8,q=2 .
又 S6=a11−q61−q=a11−261−2=63 ,
解得 a1=1 .
所以 an=a1qn−1=2n−1 .
(2)由题知 bn=2n⋅an=n⋅2n ，
所以 Tn=1×21+2×22+3×23+⋯+n×2n ,
2Tn=1×22+2×23+3×24+⋯+n×2n+1,
两式相减得 −Tn=2+22+23+⋯+2n−n×2n+1=21−2n1−2−n×2n+1 .
所以 Tn=n−12n+1+2 .
17. 1x24+y2=1
(2) 158
(1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,且经过点 −2,0 , 所以 a=2 ,而离心率为 32 ,则 c2=32 ,解得 c=3 , 可得 b=1 ,故椭圆方程为 x24+y2=1 .
(2)如图，作出符合题意的图形，设 Ax1,y1,Bx2,y2 ，

令 x=0 ,可得 y=12 ,则 P0,12 ,且 y=12x+12 ,
联立方程组 x24+y2=1y=12x+12 ,可得 2x2+2x−3=0 ,
由韦达定理得 x1+x2=−1,x1x2=−32 ,
由两点间距离公式得 PA=x1−02+y1−122=x12+12x1+12−122
=x12+14x12=52x1 ,同理可得 PB=52x2 ,
则 PA⋅PB=52x1×52x2=54x1x2=54×32=158 .
18. (I) 以 A 为原点, AB,AD,AA1 分别为 x,y,z 轴,建立如图空间直角坐标系,
则 A0,0,0,A10,0,2,B2,0,0,C2,2,0,D0,2,0,C12,2,2,D10,2,2 ,
因为 E 为棱 BC 的中点, F 为棱 CD 的中点,所以 E2,1,0,F1,2,0 ,
所以 D1F=1,0,−2,A1C1=2,2,0,A1E=2,1,−2 ,
设平面 A1EC1 的一个法向量为 m=x1,y1,z1 ,
则 m⋅A1C1=2x1+2y1=0m⋅A1E=2x1+y1−2z1=0 ,令 x1=2 ,则 m=2,−2,1 ,
因为 D1F⋅m=2−2=0 ,所以 D1F⊥m ,
因为 D1F⊄ 平面 A1EC1 ,所以 D1F// 平面 A1EC1 ;
(II) 由 (1) 得, AC1=2,2,2 ,
设直线 AC1 与平面 A1EC1 所成角为 θ ，
则 sinθ=csm,AC1=m⋅AC1m⋅AC1=23×23=39 ;
(III) 由正方体的特征可得,平面 AA1C1 的一个法向量为 DB=2,−2,0 ,
则 cs⟨DB,m⟩=DB⋅mDB⋅m=83×22=223 ,
所以二面角 A−A1C1−E 的正弦值为 1−cs2DB,m=13 .

19.(1) 由题知 Fp2,0 ,设 A,B 两点的坐标分别为 x1,y1,x2,y2 , 显然直线 l1 的斜率为 0 时不合题意,则设直线 l1 的方程为 my=x−p2 ,
联立方程 y2=2px,my=x−p2, 消去 x 整理得 y2−2pmy−p2=0 ,
则 Δ=−2pm2+4p2>0,y1+y2=2pm,y1y2=−p2 ,
所以 x1x2=y12y224p2=−p224p2=p24 ,
所以 OA⋅OB=x1x2+y1y2=p24−p2=−3p24=−3 ,解得 p=2 ,
所以 C 的方程为 y2=4x .
(2)(i)由(1)知 C 的准线方程为 x=−1 ，直线 AB 的方程为 my=x−1m≠0 ， 令 x=−1 ,得 y=−2m ,即点 P 的坐标为 −1,−2m ,
由直线 l1 的斜率为 1m ,直线 l1 与直线 l2 的倾斜角互补,知直线 l2 的斜率为 −1m ,
故直线 l2 的方程为 y−−2m=−1mx−−1 ,即 x+my+3=0 ,
故直线 l2 过定点 −3,0 .
(ii) 设点 M 的坐标为 x3,y3 .
联立方程 y2=4xx+my+3=0 消去 x 后整理得 y2+4my+12=0 ,故 y32+4my3+12=0 ,
由 (1) 知 y1+y2=4m,y1y2=−4 ,
直线 AM 的斜率为 y3−y1x3−x1=y3−y1y324−y124=4y3+y1 ,同理可得直线 BM 的斜率为 4y3+y2 . 又 4y3+y1×4y3+y2=16y32+y1+y2y3+y1y2=16y32+4my3−4=16−12−4=−1 , 所以直线 AM 与直线 BM 互相垂直,故点 M 在以线段 AB 为直径的圆上,
同理可得点 N 在以线段 AB 为直径的圆上, 故 A,B,M,N 四点共圆.