四川省广元市川师大万达中学2025-2026学年高二上学期秋季入学数学试卷（含解析）含答案解析

这是一份四川省广元市川师大万达中学2025-2026学年高二上学期秋季入学数学试卷（含解析）含答案解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列计算结果是的是（ ）
A．B．C．D．
2．某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有（ ）
A．40人B．36人C．30人D．24人
3．已知向量与的夹角为 ，且则 （ ）
A．B．C．D．
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则∠B＝（ ）
A．B．C．D．
5．设、是不同的直线，、是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
6．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是
A．56B．60C．140D．120
7．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）

A．B．C．D．
8．在锐角中，若，则的最小值是（ ）
A．4B．C．D．8
二、多选题
9．已知复数，则（ ）
A．若复数z为实数，则
B．若复数z为纯虚数，则
C．当时，
D．复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限
10．下列四个命题为真命题的是（ ）
A．若向量，，则与反向共线
B．向量在上的投影向量为
C．与向量共线的单位向量为
D．已知向量，，则的最大值为
11．如图，在直棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，，点为的中点，点为侧面内（包含边界）一动点，则下列结论正确的是（ ）

A．平面截四棱柱所得的截面是五边形
B．
C．平面与平面ABCD所成角的余弦值为
D．若∥平面，则点轨迹的长度为
三、填空题
12．已知一组数据如下：，则这组数据的第80百分位数是 .
13．已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．若为直角三角形，则的面积为 ．
14．已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球表面积为 .
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，分别是，的中点.
(1)求证：平面；
(2)若侧面底面，求证：平面.
16．课外阅读有很多好处，可以帮助学生提高阅读能力、拓展知识面、提高思维能力等．某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生一个学期的课外阅读时间（单位：时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图，现知道课外阅读时间在内的有80人．
(1)求n和a的值；
(2)估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(3)估计该校学生一个学期课外阅读时间的中位数．
17．已知分别为锐角三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)若；求周长的取值范围.
18．如图，在边长为2的菱形中.

(1)求；
(2)若E为对角线上一动点.连结并延长，交于点F，连结，设.当λ为何值时，可使最小，并求出的最小值.
19．如图，在四棱锥中，底面，是的中点，点在棱上，且，四边形为正方形，．
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离；
(3)求二面角的余弦值．
1．D
由倍角公式计算即可.
【详解】，A错误；
，B错误；
，C错误；
正确．
故选：D
2．D
确定高一、高二、高三的人数比，由分层抽样特征即可求解；
【详解】由题意可知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，
则高一年级，高二年级与高三年级的学生人数比为，
根据分层抽样的特征可知，抽取的学生中，高一年级有人，
故选：D
3．C
根据平面向量的模结合向量的数量积的运算律求解即得.
【详解】与的夹角
则，
解得.
故选：C.
4．B
由正弦定理可得，即，再利用三角形内角和为即可求角.
【详解】
由正弦定理得，
即，
所以，在中，所以，
，又，所以，
则．
故选：B．
5．A
利用线面平行、线面垂直的性质定理以及面面垂直的判定定理可判断A；举反例可判断BCD，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：因为，，所以，因为，过作平面与平面交线为，则，因为，由面面垂直的判定定理可得，故选项A正确；
对于B：如下图正方体中，
对于B，令直线为，直线为，平面为，平面为，符合，，，但，所以选项B错误．
对于C，令直线为，直线为，平面为，平面为，符合，，，但与相交，故选项C错误．
对于D，如图为，为，平面为，平面，且，则满足，，，，但与相交，故选项D错误；
故选：A.
6．C
【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于小时的频率为，故自习时间不少于小时的人数为，故选C.
考点：频率分布直方图及其应用．
7．A
先求出正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径，再根据截面圆半径，球的半径以及球心距的关系，即可求出球的半径，再利用球的体积公式计算即可．
【详解】设球的半径为，如图所示，

根据已知条件知，正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为，
球心到截面圆的距离为，
所以由，
解得，
所以球的体积为，
故选：A.
8．D
由可得，在中，利用和角的正切公式化简推出，由利用基本不等式和上述结论，可推得，从而可得的最小值.
【详解】由，可得．
因为为锐角三角形，所以均大于0．
则（*），
当且仅当时取等号．
而
，
则由（*）可得：，
即，当且仅当，
即时取等号.
即当或时， 的最小值是8．
故选： D.
9．ACD
对于AB，由复数的概念验算即可；对于C，由复数模的计算公式求解即可；对于D，由复数的几何意义即可求解.
【详解】对于A，依题意可得，即，则，故A正确；
对于B，依题意可得，故B错误；
对于C，依题意可得，所以，故C正确；
对于D，若复数z在平面内对应的点在第二象限，则，所以D正确，
故选：ACD．
10．ABD
对于A，根据向量数乘的坐标运算及平面向量共线定理即可判断；对于B，根据投影向量的计算公式直接求解即可；对于C，与向量共线的单位向量有同向和反向两种情况，直接判断；对于D，利用向量减法、向量模长及辅助角公式即可求解.
【详解】对于A，因为，所以与反向共线，故A正确；
对于B，向量在上的投影向量为，故B正确；
对于C，与向量共线的单位向量为或，故C不正确；
对于D，若向量，，
则，
其中，
当且仅当时，取得最大值，故D正确.
故选：ABD.
11．BCD
作出截面判断A，由线面垂直的判定与性质定理判断B，用空间向量法求二面角判断C，确定出动点轨迹后判断D.
【详解】对A，取中点，连接PM，如图，则（都与平行），所以四点共面，
则平面截四棱柱所得的截面是四边形，A错误．
对B，连接，由题意可得，底面，
底面ABCD，所以，而平面，
所以平面，又平面，所以，B正确．

对C，设AC与BD交于点，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
设平面的法向量为，则
不妨取，则，易知平面ABCD的一个法向量为，
则，C正确．
对D，连接，由A项知四点共面，平面，
又平面平面，所以，
所以的轨迹为线段（不含点），，D正确．
故选：BCD.
12．8.5/
根据题意，利用百分位数的计算方法，即可求解.
【详解】由题意，数据，可得，
故第80百分位数是第8个数和第9个数的平均数，即为.
故答案为：8.5.
13．或
根据题意，由正弦定理化简，再结合余弦定理即可求得，然后根据为直角三角形，分或，再由三角形的面积公式即可得到结果.
【详解】由正弦定理，可化为：
，即，
所以，，所以，
又为直角三角形，
若，则，，，，
若，则，，，．
14．
根据勾股定理逆定理，构造长方体，利用长方体的性质、球的表面积公式进行求解即可.
【详解】因为，
显然有，，，
因此两两互相垂直，补成长方体如图所示：
该长方体的对角线长为，
所以该三棱锥的外接球的半径为，
因此该三棱锥的外接球表面积为，
故答案为：

15．(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，故，证明出平面；
（2）由面面垂直得到线面垂直，即⊥平面，所以⊥，由三线合一得到⊥，故可证平面.
【详解】（1）取的中点，连接，
因为是的中点，所以，，
底面为矩形，是的中点，所以，，
所以且，
所以四边形为平行四边形，故，
又平面，平面，
所以平面；
（2）底面为矩形，故⊥，
侧面底面，交线为，平面，
所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
侧面是正三角形，为的中点，所以⊥，
因为，平面，
所以平面.
16．(1)400；
(2)105
(3)106.25
（1）由频率分布直方图，先求得课外阅读时间在内的频率，进而求得的值，利用各小组频率之和为1求得a的值；
（2）利用频率分布直方图对应的平均数公式计算即得；
（3）根据中位数的定义，结合频率分布直方图列方程计算即得.
【详解】（1）根据题意，课外阅读时间在内的有80人，频率为，
所以．
由频率分布直方图可知，，
解得．
（2）估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数为：
．
（3）因为，所以中位数位于内，
设中位数为x，则，解得，
所以估计该校学生一个学期课外阅读时间的中位数为106.25．
17．(1)
(2)
（1）由正弦定理边化角变形已知等式，再结合两角和的正弦，辅助角公式和诱导公式可得；
（2）由正弦定理边化角和两角差的正弦得到，再结合锐角范围和三角函数值域可得.
【详解】（1）.
由正弦定理得
在中，
代入上式化简得：
因为，所以，即
为锐角，.
（2）由正弦定理得
所以
，
是锐角三角形，，
，
即，
所以周长的取值范围为.
18．(1)
(2)
（1）根据菱形的几何性质，结合向量的加法以及数量积的运算律，可得答案；
（2）根据菱形的几何性质以及相似三角形的判定与性质，结合向量的线性运算与数量积的运算律，利用二次函数的性质，可得答案.
【详解】（1）在菱形中，易知，，
所以
.
（2）在菱形中，，易知，
由，则，即，
所以
，
故，所以当时，取得最小值为.
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：因为底面，底面，所以，
因为四边形为正方形，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
在中，因为，是的中点，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以．
（2）连接交于点，如图所示：
则，又因为底面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，则点到平面的距离为，因为是的中点，所以，
因为底面正方形边长为，所以，，
所以，，
所以，
，所以．
在中，满足，有，
所以，
设点到平面的距离为，
由可得
（3）由（1）可得平面，因为平面平面，
所以，所以为二面角的平面角，
，
因为，，所以，
所以，解得，
因为，即，所以，
故二面角的余弦值为．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
B
A
C
A
D
ACD
ABD
题号
11









答案
BCD