四川省成都树德中学2026届高三下学期开学考数学试卷含答案（word版）

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所以 m=40,n=20,p=30,q=30 . 5 分
(2)能. 理由如下:零假设为 H0 :该市居民了解冰雪运动与性别无关，由题意知， 6 分
χ2=120×40×30−20×30270×50×60×60=247≈3.429>2.706 , 12 分
所以根据小概率值 α=0.1 的独立性检验,认为该市居民了解冰雪运动与性别有关. 13 分
16.【解】(1)分别以向量 DA,DC,DS 的方向为 x,y,z 轴正方向,建立空间直角坐标系,
则 D0,0,0,A1,0,0,B1,1,0,C0,2,0,S0,0,2 .
∵E∈SB,∴BE=λBS,λ∈0,1 ,得 E1−λ,1−λ,2λ .
设平面 SBC 的法向量为 m=x1,y1,z1,SB=1,1,−2,BC=−1,1,0 ,
由 m⋅SB=x1+y1−2z1=0m⋅BC=−x1+y1=0 ,令 x1=1 ,则 m=1,1,1 .
设平面 EDC 的一个法向量为 n=x2,y2,z2,DC=0,2,0,DE=1−λ,1−λ,2λ ,
由 n⋅DC=2y2=0n⋅DE=1−λx2+1−λy2+2λz2=0 ,令 z2=1 ,则 n=2λλ−1,0,1 .
由 m⋅n=0 得: λ=13 ，即 BS=3BE ，故 SEEB=2 ，即 SE=2EB . 7 分
(2)由(1)知: DA=1,0,0,DE=23,23,23 ，且 n=−1,0,1 ，
设平面 ADE 的一个法向量为 k=x3,y3,z3 ,
则 k⋅DA=x3=0k⋅DE=23x3+23y3+23z3=0 ,取 y3=1 ,得 k=0,1,−1 ,
故 cs=n⋅kn⋅k=12 ,
又二面角 A−DE−C 的平面角为钝角,故其大小为 2π3 .8 分
17. 【解】(1)设等差数列 an 的首项为 a1 ,公差为 d ,
由 S4=16 ,得 4a1+4×32d=16 ,化简,得2a1+3d=8 ,又 T3=b1+b2+b3=a1−2+2a2+a3−2 ,
因为 an 为等差数列,故 a1+a3=2a2 ,代入得 T3=2a2+2a2−4=10 ,即 2a2+2a2=14 ①
结合 an 各项为整数,则 a2=3 为满足题意的一个解,
又函数 fx=2x+2x−14 在 R 上单调递增,
所以 2a2+2a2=14 当且仅当 a2=3 ,即 a1+d=3 ②
联立①②，解得: a1=1,d=2 ，所以 an 的通项公式为 an=2n−1 分
(2)由(1)得 an=2n−1,bn=2n−3,n为奇数22n−1,n为偶数 ，
情形 1: 当 n=2k , k∈N∗ ,设 an 前 2k 项和 T2k 分为奇数项和与偶数项和,
奇数项和 (共 k 项): 首项 b1=−1 ,末项 b2k−1=4k−5 ,公差为 4 的等差数列,其和为 k−1+4k−52=2k2−3k ,偶数项和 (其 k 项): 首项 b2=8 ,公比为 16 的等比数列,其和为 816k−116−1=816k−115 ,将 k=n2 代入,化简得 Tn=2n22−3⋅n2+816n2−115=n2−3n2+84n−115;
情形 2: 当 n=2k−1,k∈N∗ 为,设 an 前 2k−1 项和 T2k−1=T2k−b2k ,其中 b2k=24k−1 。 由情形 1 得 T2k=2k2−3k+816k−115 ,代入得 T2k−1=2k2−3k+816k−115−24k−1 ,将 k=n+12 代入,化简得 2n+122−3⋅n+12+816n+12−115−24⋅n+12−1=n2−n−22+2⋅4n−815 ,即 Tn=n2−n−22+2⋅4n−815 ,
综上所述 Tn=n2−n−22+2⋅4n−815,n为奇数n2−3n2+84n−115,n为偶数(或Tn=n2−n−22+22n+1−815,n为奇数n2−3n2+22n+3−815,n为偶数 . 15 分
18. 【解】(1)根据双曲线的定义，动点 M 满足 MF1−MF2=40x1+x2=32k24k2−3>4x1x2=64k2+124k2−3>4 ,因此,中点 N 的坐标为 x0=x1+x22=16k24k2−3,y0=kx0−4=12k4k2−3
由 TN⊥PQ ,向量 TN=x0−8,y0 ,向量 PQ 的方向向量为 1,k ,故 x0−8⋅1+y0⋅k=0 ,代入 x0,y0 并化简 16k24k2−3−8+k⋅12k4k2−3=0 ,即 k2=6 ,即 k=6 ,又 x1−x2=x1+x22−4x1x2 ,代入 k2=6 ,得 x1+x2=32×64×6−3=19221=647 , x1x2=64×6+1221=39621=1327 ,因此, x1−x2=6472−4×1327=207
PQ=1+6⋅207=2077 . 当 k=6 时,由直线 PQ 的方程 3x−4ty−12=0 与 y=kx−4 等价,得 t=34k ,即 A1,346 ,点 A 到直线 PQ:6x−y−46=0 的距离为 dA ,则 dA=6×1−346−467=75442 ,同理,点 T8,0 到直线 PQ 的距离为 dT ,则 dT=467 ,
四边形 ATPQ 的面积为 △APQ 与 △TPQ 的面积和: S=12×PQ×dA+dT ,
代入数值化简 S=12×2077×75442+467=285628 ; 当 k=−6 时,由对称性,知面积仍为 285628 .
综上所述,四边形 ATPQ 的面积为 21 或 285628 17 分
19. 【解】(1) 由题知, gx=mcs2x+m−11+csx,g′x=−2msin2x−m−1sinx . 3 分
(2)(i)当 m≥1 时，
gx=mcs2x+m−1csx+1≤m+2m−1=3m−2=g0 ,因此 hm=3m−2 .
当 0