【数学】山西省吕梁市2025-2026学年高二上学期2月期末总结考试试题（学生版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 一个直线运动的质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，所以，
即该质点在时的瞬时速度为．
故选：A．
2. 在等比数列中，，，则（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】B
【解析】设的公比为，所以，因为公比为实数，所以，所以，所以.
故选：B.
3. 函数的导数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意知．
故选：D．
4. 已知平面的一个法向量，点为上一点，则点到平面的距离为（ ）
A 4B. 3C. 2D.
【答案】C
【解析】由题意得，所以点到平面的距离.
故选：C
5. 已知函数，则（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，所以，
可得．
故选：B．
6. 已知数列满足，，则的前2026项和（ ）
A. 2023B. 2025C. 2026D. 2137
【答案】D
【解析】由，得，，，
，所以，
所以是以3为周期的周期数列，
又，
所以.
故选：D.
7. 直线：被圆：所截得的弦长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】由题意得圆心在直线：上，直线，二者之间的距离，
所以圆心到直线的距离为，
所以直线被圆所截得的弦长.
故选:C.
8. 已知抛物线：的焦点为，准线为，点为上一点，为上一点，，若，则点的横坐标为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】不妨设在轴上方，由抛物线定义得，所以，
所以直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
又，所以直线的方程为，
令，得，则，
令，则变为，得，即点的横坐标为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线：，：，则下列说法中正确的有（ ）
A. B. 存在，使得
C. 直线过定点D. 直线过定点
【答案】AC
【解析】若，：，：，显然成立，
若，的斜率为，的斜率为，，所以，所以无论为何值，，故A正确，B错误；
的方程可化为，即，所以过定点，故C正确，
，所以过定点，故D错误.
故选：AC.
10. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A. B.
C. 与的公差相等D. 取得最小值时
【答案】AD
【解析】因为，，所以，，故公差，所以，故A正确；
又，所以，故B错误；
，则，所以也是等差数列，公差为，又，故二者公差不相等，故C错误；
因为，所以，则取得最小值时，故D正确.
故选：AD.
11. 如图，在棱长为的正方体中，动点满足，其中，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则三棱锥的体积为定值
C. 若，则的最小值为
D. 若，则直线一定不与平面垂直
【答案】ABC
【解析】若，则点为的中点，易求，故A正确；
若，则点在线段上，易证，
因为平面，平面，所以平面，
又，故点到平面的距离不变，又的面积为定值，
故三棱锥的体积为定值，故B正确；
若，则，，三点共线，连接，，，
易知，所以当为的中点时，，最小，
此时，故C正确；
若，则点为棱上的点，当点与点重合，
即时，平面，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若圆的半径为1，则______.
【答案】或
【解析】原方程可化为标准方程得：，
所以，解得.
故答案为：.
13. 已知双曲线：的左焦点为，为上在第一象限内的一点，则直线的斜率的取值范围为______.
【答案】
【解析】由渐近线的定义知，当的横坐标时，点无限接近于渐近线，
的斜率趋近于，当趋近于右顶点时，的斜率趋近于0，
所以的斜率的取值范围为.
故答案为：.
14. 已知数列满足，，则数列的通项公式为______.
【答案】
【解析】由，
当时，，
当时，，
两式相减，得，即，
所以，
所以，
所以，
由于时，不满足上式，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）求的最小值；
（2）求的极值及在上的值域．
解：（1）由题意得的定义域为，求导得，
由基本不等式，
可知，当且仅当时等号成立；
所以的最小值为.
（2）由（1）知．
令，得，或，令，得，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
所以的极大值为，极小值为，
又，，
显然，，
所以在上的值域为．
16. 已知等差数列的前项和为，，.
（1）求的通项公式；
（2）若等比数列的公比为3，且，求的前项和.
解：（1）设等差数列的公差为，由题意得，，
解得，
所以.
（2）由（1）知，
由题意得，所以，所以，
所以，
则.
所以，
两边同乘以3，得，
两式相减，得
，
所以.
17. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为棱，的中点，为棱上一点，.

（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
（1）证明：分别取，的中点，，连接，，易证，，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
所以，，两两垂直，以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量，则即
令，得，，所以，
所以，
因为平面，所以平面.
（2）解：由（1）知，平面的一个法向量，，，
设平面的一个法向量，则即
令，得，，所以，
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面的夹角的余弦值为.
18. 已知函数．
（1）若，求曲线在点处切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若，函数恰有三个零点，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，则，所以，
又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
（2）的定义域为R，
，
①当时，，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
②当时，在上恒成立，所以在上单调递增；
③当时，令，得，或，令，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
④当时，令，得，或，令，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减.
（3）函数的零点个数等价于曲线与直线的公共点的个数，
当时，由（2）得在和上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，极小值为，
又，
，
所以要使曲线与有三个公共点，必有，
即符合条件的实数的取值范围为．
19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，，分别为的上、下顶点，四边形的面积为2，的离心率为.
（1）求的方程；
（2）已知过的直线与交于，两点，且不过的任何一个顶点.
（ⅰ）若的倾斜角为，求的面积；
（ⅱ）若点在轴的上方，直线，的斜率分别为，，且，求直线的方程.
解：（1）记，由题意知，
解得，，所以的方程为.

（2）（ⅰ）由（1）得，，，因为直线的倾斜角等于，
所以的斜率为，所以的方程为，
由得，
设，，则，，
所以，，
所以的面积
.
（ⅱ）由题意知的斜率不为0且不过，点，故设的方程为，，，
由得，
则，且，，
因为，所以，，
所以
，
所以，所以的方程为，即.