黑龙江省哈尔滨市第三中学2022-2023学年高三数学下学期3月第一次模拟试卷（Word版附答案）

2023年哈三中高三学年

第一次高考模拟考试数学试卷

一、选择题（共60分）

（一）单项选择题（共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合，，则（    ）

A．  B．

C．  D．

2．在△ABC中，是△ABC为钝角三角形的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

3．定义在R上的奇函数满足．当时，，则（    ）

A．-4 B．4 C．14 D．0

4．苏轼是北宋著名的文学家、书法家、画家，在诗词文书画等方面都有很深的造诣．《蝶恋花春景》是苏轼一首描写春景的清新婉丽之作，表达了对春光流逝的叹息词的下阙写到：“墙里秋千墙外道．墙外行人，墙里佳人笑．笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼．”假如将墙看作一个平面，秋千绳、秋千板、墙外的道路看作直线，那么道路和墙面平行，当秋千静止时，秋千板与墙面垂直，秋千绳与墙面平行．在佳人荡秋千的过程中，下列说法中错误的是（    ）

A．秋千绳与墙面始终平行  B．秋千绳与道路始终垂直

C．秋千板与墙面始终垂直  D．秋千板与道路始终垂直

5．已知，，若在直线上存在点P，使得∠APB=90°，则实数k的取值范围为（    ）

A．  B．

C．  D．

6．哈尔滨市第三中学古诗词大赛中，12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3组（每组4个人），则3个种子选手恰好被分在同一组的概率为（    ）

A． B． C． D．

7．在边长为3的菱形ABCD中，∠BAD=60°，将△ABD绕直线BD旋转到．，使得四面体外接球的表面积为，则此时二面角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

8．已知（，b=0.21，，则（    ）

A．a>b>c B．c>a>b C．c>b>a D．b>c>a

（二）多项选择题（共4小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）

9．已知函数，则下列说法中正确的是（    ）

A．的最小正周期为π

B．的图象关于对称

C．若的图象向右平移（）个单位后关于原点对称，则的最小值为

D．在上的值域为

10．已知圆锥SO（O是圆锥底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为3，底面半径为．若P，Q为底面圆周上的任意两点，则下列说法中正确的是（    ）

A．圆锥SO的侧面积为 B．△SPQ面积的最大值为

C．三棱锥O-SPQ体积的最大值为 D．圆锥SO的内切球的体积为

11．已知抛物线，O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，点P在抛物线上，则下列说法中正确的是（    ）

A．若点，则的最小值为4

B．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条

C．若正三角形ODE的三个顶点都在抛物线上，则△ODE的周长为

D．点H为抛物线C上的任意一点，，，当t取最大值时，△GFH的面积为2

12．已知a≠0，b≠0且b>-1，，则下列说法中错误的是（    ）

A．

B．若关于b的方程有且仅有一个解，则m=e

C．若关于b的方程有两个解，，则

D．当a>0时，

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．的展开式中，常数项为______．

14．已知x+y=4，且x>y>0，则的最小值为______．

15．设是数列的前n项和，，令，则______．

16．如图，椭圆（a>b>0）与双曲线（m>0，n>0）有公共焦点，（c>0），椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为两曲线的一个公共点，且，则______；I为的内心，，I，G三点共线，且，x轴上点A，B满足，，则的最小值为______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC外接圆的半径为R，且．

（1）求角A的大小；

（2）若D为BC边上的点，AD=BD=2，CD=1，求．

18．（本题满分12分）

已知递增等差数列满足：，，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

19．（本题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，PB⊥BC．

（1）求点A到平面PBC的距离；

（2）E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值．

20．（本题满分12分）

在数学探究实验课上，小明设计了如下实验：在盒子中装有红球、白球等多种不同颜色的小球，现从盒子中一次摸一个球，不放回．

（1）若盒子中有8个球，其中有3个红球，从中任意摸两次．

①求摸出的两个球中恰好有一个红球的概率；

②记摸出的红球个数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

（2）若1号盒中有4个红球和4个白球，2号盒中有2个红球和2个白球，现甲、乙、丙三人依次从1号盒中摸出一个球并放入2号盒，然后丁从2号盒中任取一球．已知丁取到红球，求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球的概率．

21．（本题满分12分）

已知平面内动点M到定点F（0，1）的距离和到定直线y=4的距离的比为定值．

（1）求动点M的轨迹方程；

（2）设动点M的轨迹为曲线C，过点的直线交曲线C于不同的两点A、B，过点A、B分别作直线x=t的垂线，垂足分别为、，判断是否存在常数t，使得四边形的对角线交于一定点?若存在，求出常数t的值和该定点坐标；若不存在，说明理由．

22．（本题满分12分）

已知函数．

（1）当a=0时，求函数的最小值；

（2）当的图象在点处的切线方程为y=1时，求a的值，并证明：

当时，．

答案

一、选择题：

二、填空题：

13．-10 14．2 15．31 16．4；

三、解答题：

17．（1），

，

，，

（2）

，

，即

18．（1），∵d>0，∴．

∴

（2）

∴

19．（1）取AD中点O，连接OB，OP

∵为等边三角形，∴，OA=1，

又∵平面平面ABCD，平面平面ABCD=AD，平面PAD

∴平面ABC，又∵平面ABCD，∴

∵，∴，∴

又∵，平面POB，平面POB，

∴平面PO，又∵平面POB，∴

∴，

设点A到平面PBC的距离为h

则

∴

（2）分别以OA，OB，OP为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系

则，，，

设，则，

∵平面ABC，D平面AB的法向量

，解得，∴

∴平面ADE的法向量

∴平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为

20．（1）①设事件A=“摸出的两个球中恰好有一个红球”

（2）X可取0，1，2，，k=0，1，2

∴X的分布列为

（2）设事件B=“丁丁取到红球”，事件C=“甲、乙、丙三人中至少有1人取出白球”

21．（1）

（2），

，，

若存在常数t，使得四边形的对角线交于一定点，

由对称性知，该定点一定在x轴上，设该定点为，则，B，D共线，A，，D共线

设，，，

则，，则

则t-1=2，t=3，s=2

同理，A，，D共线，t=3，s=2

∴存在常数t=3，使得四边形的对角线交于一定点，该定点为

22．（1）当a=0时，．

方法一：定义域，

令，，∴在上递增

∵，，∴在上有唯一零点

即

在上，，即，在递减

在上，，即，在上递增

∵，∴

∴

方法二：先证：，当x=0时，取“=”

（存在使）

∴成立

（2），依题意，∴a=1

即，

∴在递增，递减．∴

∴在上，，即，

取，则，即

∴

而

∴