黑龙江省哈尔滨市呼兰区2025-2026学年下学期九年级开学考数学试卷含答案

这是一份黑龙江省哈尔滨市呼兰区2025-2026学年下学期九年级开学考数学试卷含答案，共14页。试卷主要包含了答题前，考生先将自己的“姓名”，选择题必须使用 2B 铅笔填涂，保持卡面整洁，不要折叠等内容，欢迎下载使用。
1、本试卷满分为 120 分，考试时间为 120 分钟。
2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码” 准确粘贴在条形码区域内。
3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、 试题纸上答题无效。
4、选择题必须使用 2B 铅笔填涂:非选择题必须使用 0.5 毫未黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
第 I 卷 选择题 (共 30 分) (涂卡)
一、选择题(每题 3 分，计 30 分，每题只有一个正确的答案)
1. 下列方程是一元二次方程的是 ( )
A. 2x2=6−7x . B. 2x+3x=5x2 C. x+y2=x2+y2 D. 2x3+3x2=7
2. 下列各式运算正确的是( )
A. a24=a6 B. 2a×3a=6a2 C. a8÷a2=a4 D. 3a+5b=8ab
3. 如图的四个标志中，是轴对称图形的是( )
4. 如图是由一些相同的小正方体搭成的的几何体，它的主视图是( )
5. 将抛物线 y=x−22+3 向下平移 2 个单位，再向右平移 2 个单位，所得到的抛物线解析式是( )
A. y=x−32+1 B. y=x+32−1 C. y=x−32+2 D. y=x−32−1
6. 已知反比例函数 y=m−3x 的图象位于第一、第三象限，则 k 的取值范围是( )
A. m>3 B. m≥3 C. m≤4 D. m0 的解集是_____.
15. 分式方程 2x−1=3x+1 的解为_____.
16. 如图，AB是圆0的弦，半径 0⊂ 1.4 B 于点 D，且 AB=6 ，DC=1. 则半径0C 的长为_____.

第16题图
17. 一个扇形的圆心角为 90∘ ，扇形的面积为 9π ，则扇形半径长是_____.
18. 不透明袋中装有 4 个白球, 3 个黑球, 这些小球除颜色外无差别, 从袋中随机摸出一个小球是黑球的概率为_____。
19. 已知 △ABC 中 △AD 为 BC 边上的高，AC=10，BC=12，△ABC 的面积为 48，AB 边长为_____.
20. 如图，已知四边形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 交于点 E7 AB⊥ AC, BD⊥CD, AB=AC, 则下列说法:①∠ADB=45°；②∠CBD =∠CAD : ③若 BD 平分 ∠ABC ,则 BE=2CD; ④若 tan∠CAD=13 , DE=1，则 ΔABC 的面积为5；其中正确结论的序号是_____.

第20题图
三、解答题(其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分)
21. (本题 7 分) 先化简,再求代数式 1+1x−2÷x2−2x+1x−2 的值,其中 x=2cs60∘+tan60∘ .

22.(本题 7 分)如图，在每个小正方形的边长均为1、的方格纸中，点 A、B、C、D 均在小正方形的顶点上;
(1)将线段 AB 向下平移 1 个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到线段 MN (点 A 、 B 对应点 M、N )，请画出四边形 ABNM ；
(2)画出等腰直角 △CDF ，点 F 在小正方形的顶点上，且 △CDF 的面积为 10；
(3)连接 FN，并直接写出线段 FN 的长_____。
23. (本题 8 分)哈市某校为了解学生对本学期的数学知识的掌握情况，从中随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按优秀、良好、及格和不及格四个级别进行了统计，并绘制了如图的统计图，抽调的学生成绩为及格的占抽调学生总人数的 30%，请根据图中提供的信息回答下列问题:

(1)求本次一共抽调多少名学生？
(2)请通过计算补全条形统计图；
(3)若该校共有学生 2400 名，请估计该校学生中有多少人的成绩为优秀?
24.(本题 8 分)如图，菱形 ABCD ， BC⊥AD 于点 E ， BF⊥CD 于点 F ；
(1)如图 1，求证: DE=DF ；
(2)如图 2，若 ∠BAD=60∘ ，连接 AC 分别交 BE、BF 于点 G、H，在不添加辅助线的情况下， 请你直接写出所有的钝角等腰三角形。

图1

图2
25.(本题 10 分)闭着 2025 年 12 月 17 日第二十七届冰雪大世界的开园，哈市中央大街某商店购进了甲、乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品 2 件、乙种纪念品 3 件，共需 130 元； 若购进甲种纪念品 4 件、乙种纪念品 5 件, 共需 230 元;
(1)求甲、乙两种纪念品每件的进价各是每多少元?
(2)如果该商店计划购进两种纪念品共 100 件，所花费用不超过 2700 元，则该商店最多购进乙种纪念品多少件?
26. 如图，已知 △ABC 内接于 00，点D在 00 上，连接 BD 交 AC 于点 E ，连接 OB ， ∠OBC=∠ABD ；
(1)如图1，求证: AC⊥BD ；
(2)如图2，点F在弧 AB 上，连接 CF 交 AB 于点G，交 BD 于点H，若DE=EH，求证: FG =CH；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接EG，若 EG=3,tan2∠OBC=34 ，求 O ① 的半径。

图1

图2

图3
27. 如图，已知抛物线 y=ax2−2ax−3a 交 x 轴负半轴于点 A . 交 x 轴正半轴于点 B ,交 y 轴负半轴于点 C ,连接 AC,tan∠CAO=3 :
(1)如图 1，求抛物线的解析式；
(2)如图 2，点 P 为第四象限抛物线上的一个动点，连接 AP 交 y 轴于点 D ，设点 P 的横坐标为 t ，线段 CD 的长度为 d ，求 d 与 t 间的函数关系式(不要求写出 t 的取值范围)；
(3)如图3，在(2)的条件下，点 E 为线段 AP 延长线上一点，点 F 为线段 OB 上一点，连接 BE、EF，若∠BEF=2∠OBC=∠BFE，3∠BAE+2∠AEF=180°，0′D:BF=3:4，求点F的坐标。
参考答案
一、选择题
二、填空题
21、解: 原式 =x−2x−2+1x−2÷x−12x−2 . -1 分
=x−1x−2•x−2x−12 1 分
=1x−1 1 分
x=2×12+3
1 分
=1+3代入
-1 分
∴ 原式 =11+3−1 -1 分
=33 -1 分

22、(1)画图并标注字母正确各 3 分
(2) 13 1 分
23、解(1)30÷30% 1 分
=100(名) -1 分
答: 本次一共抽查 100 名学生 1 分
(2)100-10-30-20=40(名) -1 分
补图如图所示一_____1 分
(3)2400× 20100 -1 分
=480(名) -1 分
=18
答:估计该校学生中有 480 人成绩为优秀。 -1 分

24.(1)证明: ∵ 菱形 ΛВСD， ∴ΛB=BC=CD=ΛD ， ∠A=∠C ， -1 分 ∵BE⊥AD,BF⊥CD ,
∴∠AEB=90∘=∠BFC , 1 分
∴△ABE≅△CBF ,
∴AE=CF , 1 分
∴AD−AE=CD−CF ,
∴DE=DF . -1 分
(2) △ABC ， △CBH ， △ABC ， △ADC (每个 1 分计 4 分)
25、(1)设甲、乙两种纪念品每件的进价分别为 x 、 y 元
∴2x+3y=1304x+5y=230 . -3 分
-1 分
答: 甲、乙两种纪念品每件的进价分别为 20 元和 30 元。 -1 分
(2)设购进乙种纪念品m件
∴30m+20100−m≤2700 -3 分
∴m≤70 -1 分
答: 最多购进乙种纪念品 70 件。 -1 分
26.(1)证明:连接 OC ， ∵OB=OC ， ∴∠OCB=∠OBC=α ，
∴∠ABD=∠OBC=α,∠BOC=180∘−2α , -1 分
∵ 弧 BC= 弧 BC,∴∠BAC=12∠BOC=90∘−α ,
∴∠A+∠ABD=90∘,∴∠AEB=90∘ ， -1 分
:AC LBD -1 分
(2)证明:如图:连接 BF 、 CD ，由 (1) 知 ∠BAC=90∘−α ，
∵ 弧 BC=弧 BC, ∴∠BFC=∠BDC=∠BAC=90∘−α ,
∵DE=EH,AC⊥BD,∴CH=CD , -1 分
∴∠CHD=∠BDC=90∘−α ，
∴∠BHF=∠CHD=90∘−α=∠BFC,∴BF=BH , -1 分
∵∠ABD+∠BHF=90∘,∴∠BGC=90∘ ,
∴AB⊥CF,∴FG=HG . -1 分
解(3)如图:连接 DF,∵FG=GH,DE=EH ，
∴EG=12DF ，且 EG=3,∴DF=6, -1 分
由(1)(2)知 ∠ABD=∠OBC=α ，
∠CDB=∠CHD=90∘−α,∠AEB=90∘ ,
∴∠ACD=α=∠ACF,∴∠DCF=2α=2∠OBC ,
∵tanα∠OBC=34,∴tan∠DCF=34 . -1 分
如图 连接 D0 并延长交 ⊙0 于 P ,连接 FP
∴ DP 是 ⊙0 的直径， ∴∠DFP=90∘ ， ∵ 弧 DF=弧 DF，
∴∠DPF=∠DCF,∴tan∠DPF=tan∠DCF=34 ,
∴DFFP=34,∴FP=8, -1 分
∴DP2=DF2+PF2,∴DP=10,∴OD=4×0.0 的半径为 5, -1 分

27. ( 1 )把 y=0 代入， ∴ax2−2ax−3a=0 ，
∵a≠0,∴x2−2x−3=0,∴x1=3,x2=−1 ,
∴A−1,0,B3,0,∴0A=1,∵tan∠CAO=3 , -1 分
且 ∠AOC=90∘,∴OCOA=3,∴OC=3,∴C0,−3
代入 y=ax2−2ax−3a
∴−3a=−3,∴a=1,∴y=x2−2x−3 。 -1 分
(2) ∵ 点 P 的横坐标为 t,∴Pt,t2−2t−3 ，
作 PM⊥x 轴于点 M,∴∠PMA=90∘,∴tan∠PAM=PMAM=ODOA, _____ 1 分
∴−t2+2t+3t+1=OD1,∴OD=3−t , -1 分
∴CD=OC−OD=t,∴d=t . -1 分
(3)把 y=0 代入 y=x2−2x−3 中， ∴ 2x−3=0,∴x1=−1,x2=3,∴B3,0 ，
∴OB=3=OA ，且 ∠BOC=90∘,∴∠BC=∠OCB=45∘,∴∠BEF=2×45∘−∠BFE,
∴∠BEF+∠BFE=90∘,∴∠FBE=90∘,∴BE⊥x 轴,设 ∠BAE=2α,∴∠AEF=90∘−3α ,
∴∠AFE=180∘−∠BAE−∠ΛEF=90∘+α ,
∴∠BFE=90∘−α , -1 分
∴ 在 x 轴上, AB 的延长线上取一点 N ,使 BN=BF ,连接 EN,∴EF=EN ,
∴∠ANE=∠EFB=90∘−α,∴∠AEN=180∘−∠BAE−∠ANE=90∘−α=∠ANE ,
∴AN=ΛE ， -1 分
∵∠AMP=90∘=∠ABE,∴tan∠PAB=PMAM=BEAB ,
∴−t+2t+3t+1=BE3−−1 ,
∴BE=12−4t ， -1 分
∵OD:BF=3:4 ，设 OD=3m ， BF=4m=BN ，由(2)知， CD=t ，
∴OD=3−t,∴3−t=4m ，
∴t=3−3 m , -1 分
∴BE=12−4t=12m,AE=AN=4+4m,AB=4,∴∠ABE=90∘,∴AB2+BE2=AE2 ,
∴12m2+42=4+4m2,∴m1=0,m2=14,∴0D=3m=34 ,
∴3−t=34,∴t=94 ,
∴P94,3916 。 -1 分
题号
1
2
3
4
5
答案
A
B
D
D
C
题号
6
7
8
9
10
答案
B
B
A
C
D
题号
11
12
13
14
15
答案
4×105
x≠−3
3nm+1m−1
−1