山西省大同市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷含解析（word版）

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（考试时间120分钟，满分150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 圆与圆的位置关系是（ ）
A 内切B. 相交C. 外切D. 外离
2. 已知向量，若共面，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
3. 已知直线过定点，若为圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A 3B. 5C. 7D. 9
4. 椭圆的右焦点为，定点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
5. 若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ）
A. 2B. 0或C. 0或2D.
6. 在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则当时，的最大值为（ ）
A. 11B. 12C. 13D. 14
7. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为，底面ABCD为直角梯形，，，，三棱锥的外接球为球O，则平面PBC截球O所得截面圆的面积为（ ）

A. B. C. D.
8. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 点关于平面对称的点的坐标是
B. 若直线l方向向量为，平面的法向量为，则
C. 已知O为空间中任意一点，A，B，C，P四点共面，且A，B，C，P中任意三点不共线，若，则
D. 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为30°，则直线l与平面所成的角为30°
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为5B. 的最大值为
C. 圆心到直线的距离最大为4D. 直线与圆相切时，
10. 在菱形中，，，E为AB的中点，将沿直线DE翻折至的位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则（ ）
A. 平面
B.
C. 异面直线，所成的角为
D. 与平面所成角的余弦值为
11. 已知函数，则（ ）
A. 必有两个极值点
B. 存在实数使得
C. 点是曲线的对称中心
D. 若曲线有两条过点切线，则或
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在等差数列中，若，则的值为__________．
13. 已知抛物线，且是抛物线上一点，设是抛物线的焦点，，则的最小值为__________.
14. 已知函数的两个极值点为、，且，则实数的最小值是_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的标准方程；
（2）求过点且与曲线相切的直线的方程.
16. 等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式，并求取到最小值时的值；
（2）求数列的前16项的和．
17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，点是的中点，，，
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角正弦值.
18. 已知O为坐标原点，双曲线的焦距为6，且经过点.
（1）求双曲线C标准方程；
（2）已知点，点P在双曲线C上，设直线的斜率分别为，请问是否为定值，如果是求出其值，如果不是，请说明理由．
19. 已知函数．
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）若有两个不同的零点，求实数a的取值范围．