湖南省新高考教学教研联盟（长郡二十校联盟）2026届高三年级下学期3月联考数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由 ,得 ,因为 ,所以 .
2. “ ” 是 “ 为第二象限角” 的
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若 ,则 为第一象限、第二象限角或终边在 轴正半轴上; 若 为第二象限角,则 ,所以 “ ” 是 “ 为第二象限角” 的必要不充分条件.
3.已知圆锥的表面积为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 设这个圆锥底面半径为 ,母线为 ,则底面面积为 ,底面周长为 ,侧面展开图的半圆弧长为 ,由弧度制的定义知 ,所以 ,则侧面积为 ,所以这个圆锥的表面积为 ,所以 ,则直径为 .
4.化简
A. B. C. 5 D. 3
【答案】A
【解析】.
5.国家能源集团研发的“擎源”大模型用于预测关键节点电价，研究人员利用模型对某节点连续 8 个小时的实际与预测电价数据进行记录，并利用上述数据绘制成实际值与预测值对比的折线图(两条折线): 观察图表与数据，下列结论不能直接从中得出的是
A. 实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段(第 5 小时左右)达到峰值
B. 这 8 小时内，预测值与实际值的差异(两个值的差的绝对值)平均在 10 元/MWh 左右
C. 模型对所有“价格下跌时段”(如第 5-6 小时)的预测都出现了滞后性(即预测反应慢于实际变化)
D. 模型的预测精度较高，趋势与实际基本一致，对电网调度有重要参考价值
【答案】C
【解析】由图易知 正确; 对于 ,差异平均值为 正确; 平均相对误差为 ,精确度较高, 正确 (或由图可知两折线的趋势基本一致，且误差较小，故精确度高，D正确)；对于 ，没有足够的理由说明预测变化慢于实际变化.
6.若 ,且 ,则 的最小值为
A. 12 B. 16C. D.
【答案】C
【解析】因为 ,所以 ,令 ,
所以 ,解得 (舍去) 或 ,所以 的最小值为 .
7.已知圆 与直线 相切于点 ,与直线 相交于 两点,且 ,则圆 的半径为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设圆心 ,由圆 与 相切于点 可得 ,所以圆心 到直线 的距离为 ,又弦 长为 4,故圆 的半径 .
8.如图，Rt 中， ， ， 为 边靠近 的三等分点， 为 中点，过 作 垂线交 于点 ， ，若 ，则
A. B. 4 C. D. 8
【答案】A
【解析】由 三点共线可知, ,
不妨设 ,由 三点共线可知 ;
设 ,所以 ,与 比较可得 ;
所以 在 方向的投影向量模长为 ,
由 可知 ,所以 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知 是复数， 为 的共轭复数，则下列计算结果一定为实数的是
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】设 ,所以 ,不一定为实数, R, ,不一定为实数.
10.已知数列 的前 项和为 ,且 ,则下列说法正确的是
A. B. 数列 为等差数列
C. D.
【答案】BC
【解析】因为 ,当 时, ,所以 ,
所以 ,当 时, ,由 ,得 ,所以 , A 错误.
因为 ,所以数列 是以 为首项, 为公比的等比数列,
所以 ,则 ,
因此数列 是首项为 ,公差为 的等差数列, 正确.
当 为奇数时, .
当 为偶数时, ,所以 正确.
因为 在 上单调递增, ,所以 错误.
11.已知双曲线有如下光学性质: 从一个焦点发出的光线经过双曲线反射后, 反射光线的反向延长线通过另一个焦点. 其几何事实为: 若双曲线的两个焦点为 为双曲线上任意一点,则 处的切线平分 ,已知椭圆 的左、右焦点分别为 , ,双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 作直线 与双曲线 相切于点 , 与椭圆相交于点 ，且点 ， 均位于第一象限，若 ，则下列说法正确的是
A. 直线 的斜率为定值 1B. 椭圆 的离心率为
C. 双曲线 的离心率为 D. 为定值
【答案】ABD
【解析】设椭圆 的半焦距为 ,离心率为 ,双曲线 的半焦距为 ,离心率为 ,
设直线 为 ,
联立 与 ,得 ,
由 得 ,又 ,所以直线 的斜率为定值 1,切点 ,故 正确;
由双曲线光学性质知,直线 为 的平分线,由角平分线定理知 ,
设 ,则 ,从而 ,椭圆 的离心率为 ,
由选项 知 ,又 ,所以 ,
中,由正弦定理知 ,
所以椭圆 的离心率为 正确；
因为 ,所以 ,双曲线 的离心率为 ,故 错误;
法一: 设 ,又点 ,
由定比分点坐标公式知 ,
代入椭圆 的方程，得 ,化简得 ,
故 ,故 D 正确.
法二:切点 在椭圆的右准线上，过点 作 轴的垂线，交 轴于点 ，
过点 作准线 的垂线交准线于点 ，由椭圆第二定义知 ，又 ，
故 ,故 D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.某电竞战队从 6 张不同地图中选择 3 张，按顺序用于 3 场比赛，且每张地图最多使用一次. 若第一场比赛不能使用地图“峡谷之巅”，则不同的选择方案共有_____种.
【答案】
【解析】先从非“峡谷之巅”的 5 张地图中任选 1 张作为第一场地图，有 5 种选法；
再从剩下 5 张地图 (含“峡谷之巅”) 中任选 2 张，按顺序用于第二、三场比赛，有 种选法，
总计 种不同选择方案 .
13.如图所示,若 ,点 与 分别在直线 两侧，且 ，则 长度的最大值为_______.
【答案】
【解析】设 ，则 ，
在 中,由余弦定理得
当 ,即 时, ,所以 的最大值为 .
14.函数 的所有零点的和为________.
【答案】-4
【解析】令 ,
则 ,
所以 ,即 的图象关于直线 对称,
当 时, 在 上单调递增,
当 时, ,则 ,
所以 在 上单调递减,
结合 的图象关于直线 对称可得 在 上单调递减,在 上单调递增,在 上单调递减，在 上单调递增.
又 ,
故 有 4 个零点,且关于 对称,则所有零点的和为-4 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知函数 的部分图象如图所示.
(1)求 的解析式，并写出 的单调递减区间；
( 2 )若 ，且 ，求 的值.
【解析】(1)由图象可知 ,
又 , 2 分
代入 可知 ,即 ,
又因为 ,所以 , 4 分
可知当 时， 单调递减，
所以 的单调递减区间为 . 6 分
(2) ,又 , 9 分
所以由二倍角公式可得: ,解得 , 11 分
又 , 12 分
所以 . 13 分
16.如图，在三棱锥 中， .
(1)证明: ；
(2)若 和 所在平面垂直，且平面 与平面 所成角的余弦值为 ，求 .
【解析】(1)如图: 取 中点 ,连接 . 因为 ,所以 . 2 分
又由题 ,所以 ,即 ,所以 . 4 分
又 ,所以 平面 ,又 平面 ,所以 . 6 分
(注:用基向量法参照给分)
(2)(注:学生从开始就只认为只有一个情况得出一个角扣 2 分)
法一:设 ，由平面 平面 且平面 平面 ，所以可知图，以点 为坐标原点，过点 垂直于平面 的直线为 轴，直线 为 轴，过点 垂直于平面 的直线为 轴建立空间直角坐标系. 8 分
则有 ,
易知平面 的一个法向量为 , 10 分
设平面 的一个法向量为 ,
又 ,
则有 即
令 ,则 ,所以 , 12 分
由题可知 ,解得 , 14 分
所以 或 . 15 分
法二:如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，连接 .
因为平面 平面 且平面 平面 ,
所以 平面 ,即 . 8 分
又 ,所以 平面 ,即 为平面 与平面 所成的角, 由题 ,可知 . 10 分
设 ，则 ，
所以在 中, ,所以 , 12 分
在 Rt 中, ,
所以 ,即 , 14 分
所以 或 . 15 分
17.已知椭圆 过点 ，两个焦点坐标分别为 ，.
(1)求椭圆 的方程.
(2)已知 为椭圆 上异于 的两点，且直线 与 轴围成一个以 为顶点的等腰三角形.
(i)求证:直线 的斜率为定值；
(ii)求 面积的最大值.
【解析】
(1)由题意，设椭圆 的方程为 ，其中 ， ，
将点 代入椭圆方程 得 ，
所以椭圆 的方程为 . 3 分
(2)(j)法一:设直线 的方程为 (由对称性知 存在)，
联立 得 ，
化简得 , 4 分
由 知 , 5 分
则 6 分
因为 ,所以 ,
即 ,
化简得 , 8 分
因为直线 不过点 ,所以 ,
故 . 9 分
法二: 设直线 的方程为 ,
联立 ,得 ,
化简 ,
得 , 4 分
由 知 ,即 , 5 分
则 ,又 ,
所以 , 6 分
因为直线 与 轴围成一个以 为顶点的等腰三角形,所以 ,
同理可得 , 7 分
由此可知: ,
则直线 的斜率 ,
故直线 的斜率为定值 . 9 分
法三:因为直线 ， 与 轴围成一个以 为顶点的等腰三角形，所以 ， 4 分
因为 为椭圆上异于 的两点,
所以可设直线 为 不同时为 0, 5 分
联立 与 ,
得 , 7 分
等式两边同时除以 ,记 ,
化简得 , 8 分
由于 ,
所以 ,说明直线 的斜率为定值 . 9 分
(ii) 设直线 为 ,
联立 与 ,
得 ,
因为 ,所以 ,
由韦达定理知 11 分
法一:过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，则点 的坐标为 ，
12 分
即 ,
化简得 , 14 分
当且仅当 时, 的面积取最大值 2 . 15 分
法二: , 12 分
点 到直线 的距离 , 13 分
所以 , 14 分
当且仅当 时, 的面积取最大值 2 . 15 分
18.某研究团队为分析社交网络中的消费行为传播规律，构建如下概率模型:研究团队选定 人进行研究,假设每人对消费行为的“基础易感性”参数均相同,记为 ,该值越高表示越容易被影响. 传播逐天进行，规则如下:第一天，研究团队随机选择其中 ( ,且 ) 人推送广告,每位被选中的人被成功影响 (称为“感染者”) 的概率为 ,且是否被影响是相互独立的，从第二天起，每一天，每一位当前的“感染者”会尝试影响每一位当前的 “非感染者”(即 人中还未被成功影响的人)，且一旦被影响即称为“感染者”，并参与后续的影响传播.
(1)求第一天结束时，被影响的人数的数学期望；
(2)求第一天结束时，被影响的人数为偶数的概率；
(3)对于任意一位“非感染者”,若某天有 位“感染者”尝试影响他，则他当天被成功影响的概率为 ,当 时,求在两天后,甲被成功影响的概率 (用含 的式子表示)；基于此模型，简要说明为什么在实际社交网络中，某种消费行为有时会突然 “爆发式”传播.
【解析】(1)设 表示第一天结束时被影响的人数，则 ，由二项分布的期望公式，
. 3 分
( 2 )由( 1 )可知 ，考虑二项展开:
6 分
当 为偶数时, ; 当 为奇数时, , 7 分
故 ,
故 . 9 分
(3)情形一:若甲是初始选中的两人之一，其概率为 ，甲在两天后被成功影响有两种情形:
①第一天被影响，概率为 ；
②第一天未被影响，概率为 ，且第二天被影响，
若甲第二天被影响，则第一天另一位初始被选中者乙一定被影响，乙作为感染者尝试影响甲，甲被影响的概率为 1
故甲在第一天未被影响,第二天被成功影响的概率为 ,
因此，在甲是初始选中的两人之一的条件下，甲在两天后被成功影响的概率为:0.4+0.24a. 11 分
情形二:若甲不是初始选中的两人，其概率为 ，甲在两天后被成功影响有两种情形:
①第一天有 1 人被成功影响，再由此人成功感染甲，概率为:
②第一天有 2 人被成功影响，甲在第二天被成功影响，概率为:
因此,在甲不是初始选中的两人的条件下,甲在两天后被成功影响的概率为: . 13 分
综上,甲在两天后被成功影响的概率为: . 15 分
“爆发式传播”的原因:随着感染者人数增加，每天尝试影响非感染者的感染者人数 增大，使得非感染者被影响的概率 迅速提高,传播速度急剧加快,形成爆发态势. 17 分
19.已知 .
(1)若 ，证明: 恒成立.
(2)令 ，且 有唯一的正零点 .
( i ) 求 的取值范围;
(ii) 当 时,证明: .
【解析】(1) 令 ,则 ,
当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以有 ,即 . 1 分
当 时, 恒成立. 3 分
(2)(j)由题意有 有唯一的正零点 ，
因为 ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增, 4 分
当 时, ,
当 时, ,
由零点存在性定理可知, 在 有唯一零点 , 5 分
当 时， ，则 满足题意； 6 分
当 时,要保证 ,则只要 ,
即 恒成立，所以 ,
综合可得 . 8 分
(ii) 由题意可知 ,
由 (1) 知 ,则 ,即 ,且 ,
因此有 ,
即 , 10 分
所以有 ,
故 , 12 分
又因为 ,所以有 ,
根据题意有 ,
从而有 ,
即 , 14 分
又 ,所以 ,所以 ,故 ,
所以 , 15 分
由 可得 ,
令 得 ,
所以 , 16 分
故 ,
综上有 . 17 分