河南郑州市中牟县2025-2026学年九年级上学期第一次教学质量监测数学试题-自定义类型

这是一份河南郑州市中牟县2025-2026学年九年级上学期第一次教学质量监测数学试题-自定义类型，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.实数﹣3的相反数是（）
A. 3B. ﹣3C. -D.
2.下列方程属于一元二次方程的是（）
A. B. C. D.
3.已知四个数．如果，那么的值是（ ）
A. B. C. 1D.
4.如图，古希腊数学家泰勒斯通过测量标杆的长度、同一时刻标杆的影长和金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，是运用我们所学过的（）
A. 图形的相似B. 图形的平移C. 图形的轴对称D. 图形的旋转
5.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）．
A. B. C. D.
6.一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 只有一个实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根
7.二次函数的开口方向和顶点坐标是（ ）．
A. 开口向上，B. 开口向上，
C. 开口向下，D. 开口向下，
8.如图所示的6个三角形中，相似三角形是（）．
A. ①与③B. ④与⑥C. ②与⑤D. ②与⑥
9.在《特殊平行四边形》回顾与思考课上，李芳整理的本章知识结构图如图，同桌张丽在①②③④处添加了条件，则下列条件添加错误的是（）
A. ①处可填B. ②处可填
C. ③处可填D. ④处可填
10.在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A. 当时，甲、乙物质的溶解度相同
B. 在温度从升高至的过程中，甲物质的溶解度随着温度的升高而减小
C. 当时，用等质量的甲、乙物质分别配制成饱和溶液，甲物质需要的水的质量更多
D. 当时，乙物质的溶解度大于甲物质的溶解度
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.方程的解是 ．
12.如图，点，，在上，，则的度数是 ．
13.二十四节气是中国古代用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．正面印有“惊蛰”“白露”“霜降”的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率是 ．
14.如图①，是李凯购买的一个手工编织品，把它抽象成如图②的几何图形，李凯发现它是由一个正方形的内切圆和外接圆组成，已知内切圆的半径是，阴影部分的面积是 ．
15.已知，矩形中为上一点，且为上一点，且，连接，，．若是直角三角形，则的长为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
16.
(1) 计算：；
(2) 解方程：．
四、解答题：本题共7小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题7分)
2026年元旦假期期间，河南旅游收入再创新高，同时促进了文创产品的销售．某网红景点的超市购进一批文创商品，平均每天可售出20件，每件的销售利润44元．在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降低1元，那么每天可多售5件．
(1) 若每件文创商品降价2元，则每天可售出 件，每天的销售利润为 元．
(2) 如果每天的销售利润是1600元，每件文创商品应降价多少元？
18.(本小题7分)
如图．在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，点A的坐标为．
(1) 画出关于x轴对称的；
(2) 以原点O为位似中心，在第四象限内，画一个，使它与的相似比为，写出点的坐标．
19.(本小题6分)
如图①，郑州之眼摩天轮位于郑州海昌旅游度假区，是中原地区最高的摩天轮建筑，也是中牟网红打卡地之一．如图②，某校数学社团利用周末测量摩天轮的高度，他们在点处测得摩天轮的最高点的仰角为，再往摩天轮方向前进至点处，测得最高点的仰角为，已知点在一条直线上，求摩天轮的高度(结果精确到，参考数据)．
20.(本小题7分)
已知内接于，为的直径．
(1) 请用无刻度的直尺和圆规，在线段上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）；
(2) 在（1）的条件下，连接并延长，交于点，连接，求证：．
21.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、的坐标分别为、，反比例函数的图象经过正方形的中心．
(1) 求反比例函数表达式：
(2) 画出函数的图象，若图象与的延长线交于点，与交于点，连接，，求的面积．
22.(本小题7分)
2025年10月教育部正式推行课间15分钟政策，某校利用大课间阳光体育跳大绳．李刚在观察中发现绳摇到最高处时的形状是抛物线．如图．正在摇绳的李刚和张凯，拿绳的手间距，到地面的距离．小飞在的中点D跳起后，绳子刚好通过他的头顶．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，解决以下问题：
(1) 求该抛物线的函数表达式：
(2) 若身高的小丽站在距离原点的水平距离为的点P处，绳子摇到最高处时，能否通过她的头顶？请说明理由．
(3) 如果在跳绳活动中，王明站在O，C之间，且距离原点，他跳起后头顶距离地面的高度是，当绳子摇到最高处时，a在什么范围内，绳子能顺利通过王明头顶？结合图象．直接写出a的取值范围．
23.(本小题7分)
已知，矩形中，，点，是线段上异于点的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点落在点处．
(1) 【初步探究】如图①，当点是线段的中点时，延长交于点，求证：；
(2) 【深入探究】如图②，点在线段上，，点在移动过程中，求的最小值；
(3) 【拓展应用】如图②，点在线段上，，点在移动过程中，点在矩形内部，当是以为斜边的直角三角形时，请直接写出的长度．
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】或
12.【答案】55
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】或
16.【答案】【小题1】
原式
；
【小题2】
，
，
或，
，．

17.【答案】【小题1】
30
1260
【小题2】
解：设每件文创商品降价x元，
由题意得，，
解得，，
∵，
∴舍去，
∴每件文创商品应降价4元．

18.【答案】【小题1】
解：如图所示，即为所求：
【小题2】
解：如图所示，即为所求：
由图象可知，点的坐标为．

19.【答案】解：设摩天轮的高度为．
在中，，，
，
；
，且点、、共线，
；
在中，，，
，
，
解得．
检验：当时，，且符合题意．
答：摩天轮的高度约为．

20.【答案】【小题1】
解：如图所示，作的垂直平分线交于点，则点即为所求；
∵垂直平分，
∴；
【小题2】
证明：如图
为的直径
由（1）知，

21.【答案】【小题1】
解：∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴正方形的中心的坐标为，
将点代入，得，
，
解得，
∴反比例函数表达式为；
【小题2】
解：反比例函数的图象如图所示，
将代入，得，
，
解得，
∴点的坐标为，
∴，
．

22.【答案】【小题1】
解：由题意可知，，，
把，代入得，
，
解得，
∴该抛物线的解析式为．
【小题2】
解：绳子不能通过她的头顶，
理由：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，即绳子甩到最高处时的高度为1.8米，
由图象可知，，
当时，，
∵，
∴绳子不能通过她的头顶．
【小题3】
解：由题意知，令，
∴，
解得：，，
∴．

23.【答案】【小题1】
证明：连接，
由折叠可得，．
∵四边形为矩形，．
∵为的中点，
∴，
∴．
在与中，
∵，，
∴，
∴．
【小题2】
解：，
点在移动过程中，不变，
∴点在以为圆心，为半径的的弧上．
连接，
当点在线段上时，有最小值．
∵，，，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【小题3】
解：过点作于，交于点，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
设，，
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
解得．
∴，，，，．
设，则，．
在中，
，
∴，
解得，
即的长为．