安徽省宣城市2025-2026学年高一上学期期末检测数学试题（Word版附解析）

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1、本试卷满分150分，考试时间l20分钟．
2．答题前，考生先将自己的姓名、考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域．
3．考生作答时，请将答案答在答题卷上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米黑色墨水笔在答题卷上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．考生结束时、务必将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据余弦诱导公式直接求值即可．
【详解】．
故选：B．
2. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合A，利用补集的概念即可求解.
【详解】，
故选：C
3. 已知，则“”是“”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】由，
而推不出，
“”是“充分不必要条件
4. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对A和B，先求出相应函数的最小正周期，再利用正弦函数和余弦函数的性质，即可求解；对C，作出的图象，数形结合，即可求解；对D，利用正切函数的性质可得是的一个周期，即可求解.
【详解】对于A，因为的最小正周期为，
又当时，，由正弦函数的性质知在区间上不单调，故A错误，
对于B，因为的最小正周期为，
又当时，，由余弦函数的性质知在区间上单调递增，故B错误，
对于C，的图象如图所示，由图可知的最小正周期为，且在区间上单调递减，所以C正确，

对于D，令，因为，
所以是的一个周期，故最小正周期不是，所以D错误，
故选：C.
5. 已知幂函数的图象经过点，则函数的零点所在区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】待定系数法求得，进而结合函数单调性，零点存在性定理判断即可.
【详解】设幂函数，
因为幂函数的图象经过点，所以，解得，
所以，，
因为函数，在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
因为，
所以，根据零点存在性定理，函数的零点所在区间是.
故选：B
6. 甲型流感的爆发高峰通常在冬春季节，奥司他韦是一种常用于治疗甲型流感的药物、患者口服该药物治疗后，血药浓度（单位：ng/mL）随时间（单位：h）的变化过程通常分为吸收期（浓度上升）和消除期（浓度下降）．当血药浓度达到峰值后，进入消除期，其浓度随时间t的变化可以用指数衰减模型近似描述：（为峰值浓度，k为消除速率常数）．根据临床数据，某患者服用奥司他韦2小时后血药浓度达到峰值，服用10小时后血药浓度降至峰值的50%，则k的值大约为（ ）（参考数据：，）
A. 0.087B. 0.076C. 0.0693D. 0.092
【答案】A
【解析】
【分析】依题意得，，即可求解．
【详解】某患者服用奥司他韦2小时后血药浓度达到峰值，即进入消除期，
则，
得，
得，
故选：A
7. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意引入，对进行估值．
【详解】，，，
所以．
故选：D．
8. 已知，，，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由题可求得，进而得到，即，进而得到，再代入求即可．
【详解】，即，
，
，
由解得，
，
，则，
，又，
，即，
则，即，
解得或（舍去）．
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 关于的一元二次不等式的解集为，则下列成立的是（ ）
A.
B.
C. 关于的一元二次不等式的解集为
D. 函数为其定义域上减函数
【答案】AB
【解析】
【分析】由题意可得和是方程的两个根，且，利用韦达定理可得，再逐项判断即可.
【详解】因为一元二次不等式的解集为，
所以和是方程的两个根，且，
所以，解得，
故，故A正确，B正确.
即为，即，解得,故C错误.
，函数上定义域为上的偶函数，在定义域上不单调，故D错误.
故选：AB
10. 已知函数（）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数
D. 当时，曲线与有4个交点
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数的解析式判断A；求出的值判断B；利用平移变换求解判断C；作出图形判断D.
【详解】观察函数的图象，得，最小正周期，解得，
由，得，而，则，
对于A，，故A正确；
对于B，由，得，
则或，
解得或，
又，则，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，在同一坐标系内作出函数与在上的图象，
如图，作出符合题意的图形，
观察图象得，两个函数图象有4个交点，故D正确.
故选：ABD
11. 已知函数，则（ ）
A. 是奇函数
B. 单调递增区间为
C. 不等式解集为
D. 的值域为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的定义可判断A；时，；时，，再结合双勾函数的单调性即可判断B；代入，结合不等式的性质分、两种情况求解即可判断C；利用，再结合不等式的性质即可得到的值域，进而确定D．
【详解】定义域为，
，是奇函数，故A正确；
时，；时，，
又在和单调递增，在和单调递减，
的单调增区间为，故B错误；
，
或 ，
解得或，即不等式的解集为，故C正确；
时，，
时，，
又，则，
所以的值域为，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 命题“，都有”的否定是______．
【答案】，
【解析】
【分析】利用全称命题的否定的形式即可求解
【详解】“，都有”的否定是“”。
故答案为：
13. 已知函数在R上单调递减，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用分段函数单调性，结合二次函数、反比例函数单调性列式求解.
【详解】由函数在R上单调递减，得，解得，
所以a的取值范围是.
故答案为：
14. 已知正实数a，b满足，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】对式子进行变形得，，结合在单调递增，则有唯一的零点，得到即可求解．
【详解】，，即，
，，则，即，
又在单调递增，且，
有唯一的零点，
，则．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，
（1）当时，求；
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用交集的含义借助数轴即可求解；
（2）分与两种情况讨论即可.
【小问1详解】
当时，
【小问2详解】
因为，当时，，即
当时，，此时
综上，实数m取值范围为或．
16. 如图，在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边、分别与单位圆交于两点，，，．

（1）若的横坐标为，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用三角函数的定义及平方关系求出，再由余弦的和角公式，即可求解；
（2）根据条件及诱导公式得，再由平方关系可得，进而可求出，即可求解.
【小问1详解】
因为点在单位圆上且横坐标为，所以，
因为，所以，
所以，，
所以.
【小问2详解】
因为，，所以①，
由，得，
所以，
因为，所以，所以②，
联立①②得，，，
所以.
17. 随着“广德三件套”（炖锅、奶茶、桃酥）火爆出圈，广德市凭借长三角几何中心区位优势和文旅融合发展机遇，迎来海量游客，民宿需求持续激增、为承接旅游热潮、带动村民增收，某村集体计划投资改造一批精品民宿，于2026年初正式运营．据市场调研和成本核算：项目初期需投入固定成本（如基础设施升级、公共区域装修等）30万元；此外，装修及年度维护x栋民宿的变动成本为万元，且，调研数据显示，每栋装修完成的精品民宿，依托当地旅游热度，2026年一年可带来稳定的40万元收入．
（1）请写出该批民宿改造后的2026年年利润（万元）关于民宿栋数x（x为正整数）的函数关系式；
（2）为了实现2026年年利润最大化，该村应装修多少栋民宿？并求出年利润的最大值．
（附：年利润年收入变动成本固定成本）
【答案】（1），
（2）投资13栋民宿时获得的利润最大，最大利润为130万元
【解析】
【分析】（1）根据利润与成本关系是利用分段函数写出表达式即可；
（2）利用二次函数性质以及基本不等式计算可得利润最大化时的民宿栋数.
【详解】（1）由题意可得，
当时，
当时，
所以；
（2）当时，
因为在内单调递增，所以当时，最大值为70，
当时，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，
因为130>70，所以当时，的最大值为130，
所以投资13栋民宿时获得的利润最大，最大利润为130万元．
18. 已知函数.
（1）若为奇函数，判断在R上的单调性，并证明；
（2）若对任意，总有成立，其中，求a的取值范围．
【答案】（1）函数为R上的增函数，证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先由奇函数的性质可得，求出，再利用函数奇偶性的定义验证是否满足，再运用作差法证明函数的单调性即可；
（2）分析可知当时，，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
对任意的，，则函数的定义域为，
因为函数为奇函数，则，可得，即.
对任意的，，
此时，函数为奇函数，故，
所以函数，
任取且，则，
则，
所以，故函数为上的增函数．
【小问2详解】
由题意可知，
，
任取且，则，
则，
因为，故：
（i）当时，即当时，，即，
此时，函数在上为增函数，
所以当时，，，
所以，解得，此时；
（ii）当时，即当时，，则有，符合题意；
（iii）当时，即当时，，即，
此时函数在上为减函数，
所以当时，，，
所以，解得，此时，
综上所述，实数的取值范围是.
19. 若存在实数对，使等式对定义域中每一个实数x都成立，则称函数为型函数．
（1）若函数是型函数，求a的值；
（2）若函数是型函数，求a和b的值；
（3）已知函数定义在上，恒大于0，且为型函数，当时，．若在恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）根据型函数的定义，得，再解方程即可；
（2）由题可得，则恒成立，再求解即可；
（3）根据题意，再分、、三种情况，结合恒成立问题求解即可．
【小问1详解】
函数是型函数，
得，即，
所以；
【小问2详解】
由是型函数，
得，
则，即对定义域内任意x恒成立，
又因为，解得且，由于x可取除0外的任意数，
于是必有，则，解得；
【小问3详解】
由是型函数，得，
①当时，，而，则，满足；
②当时，恒成立，
令，则当时，恒成立，于是恒成立，
而函数在单调递增，则，
当且仅当时取等号，因此，
③当时，，
则，
由，得，
令，则当时，，
由②知，则只需时，恒成立，
即恒成立，
又，当且仅当时取等号，因此，
所以实数m的取值范围是．