河南省新乡市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷含解析（word版）

这是一份河南省新乡市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷含解析（word版），文件包含河南新乡市2025-2026学年高二上学期期末考试_数学试题含解析docx、河南新乡市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上.
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 过点 −1,2 且斜率为 32 的直线的方程为 ( )
A. 2x−3y+4=0 B. 2x−3y+8=0
C. 2x−2y+5=0 D. 3x−2y+7=0
【答案】D
【解析】
【分析】利用点斜式列出方程化简判断选项.
【详解】过点 −1,2 且斜率为 32 的直线的方程为: y−2=32x+1 ,
化为一般式 3x−2y+7=0 .
故选: D
2. 已知向量 a=−1,2,x,b=2,−4,2 ，若 a⊥b ，则 x= ()
A 5 B. 3 C. 1 D. -1
【答案】A
【解析】
【分析】由 a⊥b ,得 a⋅b=0 即可求解.
【详解】由 a⊥b ,得 a⋅b=0 ,
得 −1×2+2×−4+2x=0 ,
得 x=5 ,
故选:A
3. 已知等比数列 an 的公比为 2,前 n 项和为 Sn ,若 S3=7 ,则 S6= ( )
A. 21 B. 42 C. 63 D. 84
【答案】C
【解析】
【分析】由等比数列的求和公式进行求解.
【详解】已知等比数列 an 的公比为 2,则 q=2 ,
S6S3=a11−q61−qa11−q31−q=1+q3=1+23=9,
由 S3=7 ,得 S6=9S3=9×7=63 .
故选:C
4. 已知 F 是抛物线 y2=2pxp>2 的焦点,点 Px0,22 在该抛物线上, PF=3 ,则该抛物线的准线方程为( )
A. x=−3 B. x=−2 C. x=−1D. x=−12
【答案】B
【解析】
【分析】利用抛物线的定义得到 PF=x0+p2 ,将点 P 代入抛物线的方程,通过解方程组得到 p 的值, 从而得到抛物线的准线方程.
【详解】 ∵F 是抛物线 y2=2pxp>2 的焦点,点 Px0,22 在该抛物线上,
∴222=2px0 ①, ∴PF=x0+p2 ,
∵PF=3,∴x0+p2=3 ②,
①②联立方程组，解得 x0=1p=4 或 x0=2p=2 ，
∵p>2,∴p=4,∴ 该抛物线的准线方程为 x=−2 .
故选: B.

5. 已知数列 an 满足 3an+1−an+2an+1an=0,a1=1 ,则()
A. 1an 是等差数列 B. 3an 是等差数列
C. 1an+2 是等比数列 D. 1an+1 是等比数列
【答案】D
【解析】
【分析】由 3an−1an+1+2=0 ,得 1an+1+1=31an+1 即可判断.
【详解】由 3an+1−an+2an+1an=0 ,得 3an−1an+1+2=0 ,
得 1an+1=3an+2 ,
得 1an+1+1=31an+1 ,
则数列 1an+1 为等比数列,首项为 1a1+1=2 ,公比为 3,
故选:D
6. 如图,在三棱台 ABC−A1B1C1 中, AB=2A1B1,AB=a,AC=b,AA1=c,E,F 分别为 CC1,A1B1 的中点,则 EF= ( )
A. 14a−34b+12c B. 12a+14b−34c
C. −34a+12b+14c D. 34a+14b−12c
【答案】A
【解析】
【分析】由空间向量的线性运算求解即可.
【详解】在三棱台 ABC−A1B1C1 中， AB=2A1B1,AB=a,AC=b,AA1=c ,
所以 A1B1=12a,A1C1=12b ,
则 AF=AA1+A1F=c+14a ，
AE=12AC+12AC1=12b+12AA1+A1C1=12b+12c+12b=34b+12c ,
所以 EF=AF−AE=c+14a−34b+12c=14a−34b+12c ,
故选: A
7. 若一个椭圆与一个双曲线的焦点相同,且离心率之积为 1 , 则称椭圆为该双曲线的伴生椭圆. 已知双曲线 C:x22−y22=1 的左焦点为 F,C 的伴生椭圆 E 与 C 在第一象限的交点为 M ,则 MF= ( )
A. 4 B. 32 C. 42 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由新定义求出双曲线 C 的伴生椭圆 E 的方程为: x28+y24=1 ,再求出点 M2,2 ,即可求解.
【详解】已知双曲线 C:x22−y22=1 ,得 a=2,b=2 ,得 c=a2+b2=2 ,
得双曲线的左焦点为 F−2,0 ,离心率为 e=ca=22=2 ,
则双曲线 C 的伴生椭圆 E 的离心率为: 1e=12=22 ,
而椭圆 E 的左焦点也为 F−2,0 ,
得椭圆 E 的方程为: x28+y24=1 ,
由 x28+y24=1x22−y22=1 ,解得 x2=4y2=2 ,
设双曲线 C 的伴生椭圆 E 与 C 在第一象限的交点为 Mx0,y0,x0>0,y0>0 ,
得点 M2,2 ,而 F−2,0 ,
则 MF=2+22+2−02=32 ,
故选: B
8. 若函数 fx=−x2+4x−2−x−t 恰有 2 个零点,则实数 t 的取值范围是( )
A. −4,0 B. [2−2,0)
C. −2−2,2−2 D. −2−2,2−2
【答案】B
【解析】
【分析】由 fx=0 ,得 −x−22+2=x+t ,则函数 y=−x−22+2 与函数 y=x+t 的图象恰有两个不同的交点,再结合图象进行求解.
【详解】由 fx=0 ,得 −x2+4x−2−x−t=0 ,
得 −x−22+2=x+t ,
若函数 fx=−x2+4x−2−x−t 恰有 2 个零点,
则函数 y=−x−22+2 与函数 y=x+t 的图象恰有两个不同的交点,
在同一个坐标系中画出两个函数的图象,如图所示:

由 −x−22+2=0 ,得 x=2±2 ,得 A2−2,0 ,
由 y=x+ty=−x−22+2 ,消去 y ,得 2x2+2t−4x+t2+2=0 ,
由 Δ=2t−42−4×2t2+2=0 ,得 t=0 或 t=−4 ,
结合图象,得 t∈[2−2,0) ,
故选: B
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知点 M 在直线 m:x−ty−t=0 上,点 P−2,0,Q3,2 ,若存在实数 λ∈0,1 ,满足 PM=λPQ ,则实数 t 的可能取值为 ( )
A. -3 B. -2 C. 0 D. 1
【答案】BCD
【解析】
【分析】设 Mx0,y0 ,由点 M 在直线 m:x−ty−t=0 上得到 x0=ty0+t ,求出 PM,PQ ,利用 PM=λPQ ,得到 ty0+t+2=5λy0=2λ ,通过计算得到, t=52−922λ+1 ,利用 λ∈0,1 求出 −2≤t≤1 ,从而得到选项.
【详解】设 Mx0,y0 ,点 M 在直线 m:x−ty−t=0 上,
∴x0−ty0−t=0,∴x0=ty0+t ,
∴Mty0+t,y0,∵P−2,0,Q3,2 ,
∴PM=ty0+t+2,y0,PQ=5,2 ,
∵PM=λPQ,∴ty0+t+2,y0=λ5,2 ,
∴ty0+t+2=5λy0=2λ, ∴2tλ+t+2=5λ,∴t=5λ−22λ+1=52−922λ+1 ,
∵λ∈0,1,∴1≤2λ+1≤3,∴13≤12λ+1≤1,∴−1≤−12λ+1≤−13 ,
∴−92≤−922λ+1≤−32,∴−2≤52−922λ+1≤1,∴−2≤t≤1 ,
∴ 实数 t 的可能取值-2,0,1.
故选: BCD.
10. 已知 O 为坐标原点,动点 M 到点 F1,0 的距离比它到直线 x+3=0 的距离小 2,记动点 M 的轨迹为曲线 C ,过点 F 的直线交 C 于 A,B 两点(点 A 在第一象限)，且 AF=4 ，则()
A. C 的方程为 y2=4x
B. 直线 AB 的方程为 y=3x−3
C. AB=143
D. △AOB 的面积为 433
【答案】ABD
【解析】
【分析】由抛物线的定义可判断 A 项,由 A3,23,F1,0 及两点式方程可判断 B 项,由弦长公式可判断 C 项,由三角形的面积可判断 D 项.
【详解】由动点 M 到点 F1,0 的距离比它到直线 x+3=0 的距离小 2,可得动点 M 到点 F1,0 的距离等于它到直线 x+1=0 的距离,
故动点 M 的轨迹是焦点为 F1,0 的抛物线,故 C 的方程为 y2=4x ,故 A 正确;
设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,点 A 在第一象限,则 x1>0,y1>0 ,
由 AF=4 ,得 x1+1=4 ,得 x1=3 ,代入 y2=4x ,解得 y1=23 ,则 A3,23 ,
而 F1,0 ,故直线 AB 的方程为: y−023−0=x−13−1 ,得 y=3x−3 ,故 B 正确;
由 y=3x−3y2=4x ,消去 y ,得 3x2−10x+3=0,x1+x2=103,x1x2=1 ,
则 AB=x1+x2+2=103+2=163 ,故 C 错误;
点 O 到直线 AB:y=3x−3 的距离为: −32=32 ,
则 △AOB 的面积为 12AB⋅32=12×163×32=433 ,故 D 正确.
故选: ABD
11. 在正项数列 an 中, a1+a2=10 ,且对任意 m,n∈N∗,mnam+n=m+naman ,数列 bn 的前 n 项和为 Sn,bn=11an−λn−tn2+62n+1 ,则下列说法正确的是 ( )
A. a2=6
B. a10=10240
C. 若 t=0 ，且 bn 是递增数列，则 λ 的取值范围为 −∞,44
D. 若 λ=0,t=1 ，则 Sp−Sqp>q 的最大值为 32
【答案】BD
【解析】
【分析】由递推关系得数列 ann 为等比数列,且首项为 a11=2 ,公比为 2,则 ann=2⋅2n−1 ,
得 an=n⋅2n ,可以判断 A,B 两项,由 bn 是递增数列,得 bn0 ,所以 a1=2 ,
对任意 m,n∈N∗,mnam+n=m+naman ,令 m=1 ,
得 na1+n=1+na1an ,
得 an+1n+1=2⋅ann ,
所以数列 ann 为等比数列,且首项为 a11=2 ,公比为 2,
则 ann=2⋅2n−1 ,得 an=n⋅2n ,
则 a2=2×22=8 ,故 A 项错误;
a10=10×210=10240 ,故 B 项正确;
对于 C 项,若 t=0 时, bn=11an−λn=11n⋅2n−λn ,
由 bn 是递增数列,得 bn0 的左、右焦点, M 为椭圆上在 y 轴右侧的一动点，且 MF1−MF2=MO ( O 为坐标原点)，则该椭圆离心率的取值范围为_____.
【答案】 12,1
【解析】
【分析】设 MF2=m ,由椭圆定义并利用余弦定理可得 3m2−6am+2a2+c2=0 ,结合方程有解以及 m∈[a−c,a) ,得出不等式即可求出离心率的取值范围.
【详解】根据题意设 MF2=m ,因为 M 为椭圆上在 y 轴右侧,
易知 OF1=OF2=c ,所以 m∈[a−c,a) ,如下图:

由椭圆定义可知 MF1=2a−MF2=2a−m ,可得 MF1−MF2=MO=2a−m ; 易知 cs∠MOF1+cs∠MOF2=0 ,即 MO2+OF12−MF122MOOF1+MO2+OF22−MF222MOOF2=0 ; 即 4a−m2+c2−2a−m22×2a−mc+4a−m2+c2−m22×2a−mc=0 ,
整理可得 3m2−6am+2a2+c2=0 ;
解得 m=6a±36a2−122a2+c26=a±12a2−c26=a±3b3 ,
结合 m∈[a−c,a) ,可得 a−3b3≥a−c ,即 b≤3c ,
因此可得 a2=b2+c2≤4c2 ,即 a≤2c ,
所以离心率 e=ca≥12 ,又 e∈0,1 ,
可知该椭圆离心率的取值范围为 12,1 .
故答案为: 12,1
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 记 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和,已知 S6=a1,a3+a6=2 .
(1)求 an 的通项公式；
(2)求使 Sn>an 成立的 n 的最小值.
【答案】(1) an=2n−8
(2) 9.
【解析】
【分析】(1)利用等差数列的通项公式和求和公式求解；
(2)根据等差数列前 n 项和公式及等差数列通项公式结合条件即得.
【小问 1 详解】
设 an 的公差为 d .
由题可得 S6=6a1+15d=a1a3+a6=2a1+7d=2 ,解得 a1=−6d=2 ,
所以 an=2n−8 .
【小问 2 详解】
由( 1 )可知 Sn=−6n+nn−12×2=n2−7n .
由 Sn>an ,得 n2−7n>2n−8 ,
整理得 n2−9n+8>0 ,解得 n8 ,
所以 n 的最小值为 9 .
16. 已知圆 C:x−a2+y−2a2=r2a>0,r>0 过原点，且与直线 2x+y−9=0 相切.
(1)求圆 C 的方程；
(2)判断圆 C 与圆 M:x2+y2+2y−2=0 是否相交，若相交，请求出公共弦的长.
【答案】(1) x−12+y−22=5
(2)相交，且公共弦长为 2355
【解析】
【分析】(1) 利用圆 C 过原点,以及直线 2x+y−9=0 与圆 C 相切,可得出关于 a、r 的方程组, 解出这两个量的值,即可得出圆 C 的方程;
(2)利用圆与圆的位置关系可判断出圆 C 与圆 M 相交,将两圆方程作差,可得出相交弦方程,再利用勾股定理可求出相交弦所在直线截圆 M 所得弦长即可.
【小问 1 详解】
∵ 圆 C 过原点, ∴−a2+−2a2=r2 ,①
∵ 圆 C 与直线 2x+y−9=0 相切, ∴2a+2a−912+22=r ,②
联立①②，解得 a=1 ， r=5 ，
∴ 圆 C 的方程为 x−12+y−22=5 .
【小问 2 详解】
圆 M:x2+y+12=3 的圆心 M0,−1 ,半径 R=3 .
则 MC=12+2−−12=10,r+R=5+3,r−R=5−3 ,

∵r−R0 的右焦点为 F2,0 ,一条渐近线的方程为 y=3x.
(1)求 E 的方程.
(2)过直线 y=3x 上一点 P 作直线 l ，与 E 交于 A,B 两点.
(i) 证明: 当 PA=PB 时, P 必与原点重合;
(ii) 求 PA⋅PB 的最小值.
【答案】(1) x2−y23=1
(2)(i)证明见解析；(ii)1
【解析】
【分析】(1) 由焦点坐标得到 c 的值,由渐近线得到 ba 的值,结合公式 a2+b2=c2 计算得到 a,b 的值,从而得到 E 的方程;
(2)(i)方法一:设 P 的坐标及直线 l 的方程. 与双曲线联立方程组，设 Ax1,y1 ， Bx2,y2 ， 写出 x1+x2 ,由 PA=PB ,得到 x1+x2 的值,整理得到 t 的值,从而得解.
方法二: 设 Px0,y0,Ax1,y1,Bx2,y2 . 利用点差法求解,结合斜率的公式得到证明; (ii) 设 P 的坐标,讨论 l 与 x 轴垂直和 l 与 x 轴不垂直这两种情况求解,当 l 与 x 轴垂直时,设点 At,y1 ,则 Bt,−y1 ,利用向量的数量积求出 PA⋅PB 的值. 当 l 的斜率存在时,利用点斜式设出 l 的方程,直线 l 和双曲线联立方程组,韦达定理,利用数量积求出 PA⋅PB ,即可得解.
【小问 1 详解】
设双曲线 E 的半焦距为 cc>0 . 由题知 c=2,ba=3 ,
∴b=3a,∴a2+b2=a2+3a2=4a2=c2=4 ,
∴a2=1,∴b2=3a2=3 ,
∴E 的方程为 x2−y23=1 .
【小问 2 详解】
(i) 方法一: 设 Pt,3t ,因为直线 l 与 E 交于 A,B 两点,
由题意直线 l 的斜率一定存在,设 l:y=kx−t+3t .
由 3x2−y2−3=0y=kx−t+3t ,
得 3−k2x2−2kt3−kx−3−k2t2−3=0 ,
设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,则 3−k2≠0Δ>0x1+x2=2kt3−k3−k2 ,
∵PA=PB, ∴x1+x2=2kt3−k3−k2=2t ,整理得 3k−3t=0 ,
∵3−k2≠0,∴k≠±3,∴t=0 ,即点 P 与原点重合.
方法二: 设 Px0,y0,Ax1,y1,Bx2,y2 .
由 x12−y123=1,x22−y223=1 ,作差可得 y1−y2y1+y2=3x1−x2x1+x2 .
∵PA=PB, ∴x0=x1+x22,y0=y1+y22 ,
∴y1−y2y0=3x1−x2x0 ,
又 y0=3x0,∴y1−y2x0=3x1−x2x0 .
由题意知,直线 l 的斜率一定存在,且斜率不能等于 3 ,即 y1−y2≠3x1−x2 ,
∴x0=0,y0=0 ,即点 P 与原点重合.
(ii) 设 Pt,3t .
当 l 与 x 轴垂直时, l:x=tt>1 ,设点 At,y1 ,则 Bt,−y1 ,
∴PA⋅PB=3t−y13t+y1=3t2−y12 .
又点 A 在 E 上, ∴t2−y123=1 ,即 3t2−y12=3,∴PA⋅PB=3 .
当 l 的斜率存在时,由 3x2−y2−3=0y=kx−t+3t ,
得 3−k2x2−2kt3−kx−3−k2t2−3=0 ,
设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,则 3−k2≠0Δ>0x1+x2=2kt3−k3−k2x1x2=−3−k2t2−33−k2 ,
PA⋅PB=1+k2t−x1⋅1+k2t−x2
=1+k2t2−x1+x2t+x1x2
=1+k2t2−2kt23−k3−k2+−3−k2t2−33−k2
=3+3k2k2−3=3+12k2−3≥1,
当 k=0 时,等号成立.
综上, PA⋅PB 的最小值为 1 .