浙江省绍兴市诸暨市2026届高三上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

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注意：
1.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用集合的并集和补集运算求解.
【详解】因为集合 ， ，
所以 ，
又集合 ，
所以 ，
故选：B
2. 若复数 z 满足 ，其中 为虚数单位，则 z 在复平面上所对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的乘法运算和共轭复数的概念求解.
【详解】因为复数 z 满足 ，其中 为虚数单位，
所以 ，则 ，
所以 z 在复平面上所对应的点在第四象限，
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故选：D
3. 已知四边形 为正方形，P 为线段 上一点（不包括端点 A，C），则 （ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量共线的条件及向量加法的几何意义可得
【详解】因为 P 为线段 上一点（不包括端点 A，C），如图：
所以存在 ，使得 .
故选：A
4. 新能源汽车具有零排放、能源利用率高等特点，近年来备受青睐.某新能源汽车制造企业为调查其旗下 A
型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km）情况，随机调查得到了 1000 个样本，据统计该型号新能源
汽车的耗电量 ，若 ，则样本中耗电量小于 12kW·h/100km 的汽车大约
有（ ）
A. 700 辆 B. 350 辆 C. 300 辆 D. 150 辆
【答案】D
【解析】
【分析】根据正态分布的性质，求得 的值，再由样本容量求得频数，即可得到答案.
【详解】因为 ，且 ，
所以 ，
所以样本中耗电量小于 12kW·h/100km 的汽车大约有 （辆）.
故选：D.
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5. 双曲线 C： 的一个焦点坐标为 ，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据焦点结合 计算得出 ，进而得出 ，最后得出渐近线方程即可.
【详解】双曲线 C： 的一个焦点坐标为 ，则 ，所以 ，
即得 ，
所以双曲线 C 的渐近线方程为 .
故选：C.
6. 已知直线 与抛物线 （ ）交于 两点，且 （O 为坐标原点），则
（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】设点 、 ，将直线 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由题意可
得出 ，结合韦达定理可求得 的值.
【详解】设点 、 ，
联立 可得 ，
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，由韦达定理可得 ， ，
所以， ，
解得 ，
故选：A
7. 若 是圆锥 底面圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于 A，B 的一点，则（ ）
A. B.
C. 的面积小于 的面积 D. 的面积小于 的面积
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆锥的性质，在 和 中，可得 ，再由三角形面积公式可得
， 与 的长度不定，所以无法确定 的面积与 的面积的大小关系，故可
判断.
【详解】在 中，无法确定 与 的大小，A 错误；
取 中点 ，连接 ，
因为 圆 面， 圆 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
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则在 中， ，
在 中， ，
因为 ，则 ，则 ，B 错误；
因为 ，又 ，
所以 ，C 正确，
，
因为 与 的长度不定，所以无法确定 的面积与 的面积的大小关系，
D 错误.
故选：C
8. 已知数列 各项均为正数， 的前 n 项和为 ，且满足 （ ），则下列结论
正确的是（ ）
A. 为定值 B. 为定值
C. 为定值 D. 为定值
【答案】D
【解析】
【分析】由条件可得 ，然后进行累加求和可得 ，再分别对 ABC 选项进行排除
可得.
【详解】因为 ，所以 ， ， .
所以 ， ， ， ， ，
将上述 n 个式子左右分别相加得：
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.
即 ，得 ，
所以 ,即 定值，所以 D 正确.
对于 A：由 ，当 时得 ，所以 可以是任意正数，均符合题意，所以 A 不
正确；
对于 B：由 A 的分析可知， 随 的变化而变化，所以 B 不正确；
对于 C：当 时， ，随 的变化而变化，所以 C 不正确；
故选：D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 在平面直角坐标系中，已知圆 C： ，则（ ）
A. 直线 是圆 C 的切线
B. 直线 是圆 C 的对称轴
C. 圆 C 与直线 （ ）恒有公共点
D. 圆 C 与圆 M： 关于直线 对称
【答案】BC
【解析】
【分析】根据圆的几何性质，逐一判断各选项的真假.
【详解】由题干可知圆 的基本信息：圆心 ，半径 ；
选项 A：计算直线 到圆的距离， ， ，直线与
圆相交，不是切线，选项 A 错误；
选项 B：圆的对称轴是过圆心的直线，将圆心 代入直线方程 中，得 ，故
圆心在直线上，因此该直线是圆的对称轴，选项 B 正确；
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选项 C：直线 可以化为 ，则圆心 到该直线的距离为 ，
要判断是否恒有公共点，只需要判断 是否对任意的 成立， ，两边平方后整理可
得 ，由于 对任意实数 恒成立，因此 恒
成立，选项 C 正确；
选项 D：圆 的圆心为 ，半径为 ，点 关于直线 的对称点为 ，因此两圆
圆心不关于 对称，则两圆也不关于 对称，选项 D 错误.
故选：BC
10. 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，且知 为奇函数， 为偶函数，且
，则（ ）
A. 4 为函数 的周期 B. 是函数 的对称轴
C. 是函数 的对称中心 D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先由函数 的性质可判断函数的对称轴及对称中心，周期，故可判断 AB 选项；再由函数
的性质求导后可得函数 的奇偶性，对称中心及周期，进而可判断 CD 选项.
【详解】由 为奇函数，所以 ——①.
又因为 为偶函数，所以 ，以 代换 得 ——②.所以函数
关于 对称.
由①②得 ，即 ,以 x 代换 得 ，
所以 ，即 ，所以 4 是函数的一个周期，所以
A 正确；
又由 ， ，再由奇函数性质 ，所以函数关于
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对称，故 B 正确；
再由 两边求导得 ，即 ，所以函数 偶函数；
同理 两边求导得 ，
即 ，所以函数 为关于 点成中心对称；故 C 不正确；
再 两边求导得 ，所以 4 是函数 的一个周期；
因为 ，且 ，所以 ，得 .
再 ，得 ，得 ，同理 ；
所以 ，
，故 D 正确.
故选：ABD
11. 长方体 ，点 E 是棱 的中点，点 O 是 AC 与 BD 的交点，以适当方式建立空间直
角坐标系后； ，则（ ）
A. B. 长方体外接球的体积为
C. D. 的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A，注意到 ，据此可判断选项正误；对于 B，注意到 为长方体外接球直径，
据 此 可 判 断 选 项 正 误 ； 对 于 C， 由 题 可 证 ， 再 设 ， 则
，据此可判断选项正误.对于 D，如图连接 ，取 中点为 ，由 为
到 平 面 距 离 结 合 C 分 析 可 得 ： ， 最 后 构 造 函 数
，利用导数知识可得答案．
【详解】对于 A，因 分别 中点，则 ，故 A 正确；
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对于 B，注意到 为长方体外接球直径，由 A 分析， ，
则外接球半径为３，外接球体积为： ，故 B 正确；
对于 C，由题可得 平面 ，又 平面 ，则 ，
从而 ，又设 ，由 B 分析可得：
，则 无法确定，故 C 错误；
对于 D，如图连接 ，取 中点为 ，易得 为 到平面 距离，
设 为 ，由 C 分析，可得 ．
又注意到
．
则 ．
令 ， ．
令 ， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，即 最大值为 ，故 D 正确．
故选：ABD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 二项式 的展开式中的常数项为__________.
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【答案】
【解析】
【分析】直接根据二项式定理的展开式的通项公式计算可得.
【详解】由二项式 ，所以展开式的通项公式 .
令 ，得 ，所以常数项为 .
故答案为：
13. 已知 为奇函数，当 时， ，则曲线 在点 处的切线方
程是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数的性质求出 时函数 的表达式，再对其求导，最后利用导数的几何意义求出
切线方程.
【详解】设 ，则 ，所以 ，
因为 为奇函数，所以 ，
所以 ，
当 时， ，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 .
故答案为：
14. 已知△ABC 中，D 为边 AB 上一点，且 ，设 .当 时， 的最大
值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先判断 为锐角，再根据 ，得出 ，从而确定 的范围，再利用正切函数的单调
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性，确定 的最大值，最后再验证取最大值时的三角形存在.
【详解】因为 为三角形的内角，所以 ，
即 ，所以 ，即 为锐角，而 ，
所以 ，即 ，故 .
由 在 上单调递增，所以当 时， 的值最大，最大值为 .
下面验证最值成立，当 时， ，如图，
满足题意，故 的最大值为 .
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 （ ， ， ）的最大值为 3，其图
象的相邻两个对称中心之间的距离为 1，且过点 .
（1）求 A， ， 的值；
（2）若 ， ，求数列 的前 100 项的和 .
【答案】（1） ， ，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式化简函数，再由最大值、周期和过点条件求 ；
（2）利用函数周期性求数列前 100 项和.
【小问 1 详解】
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∵ ，
∴ ，
最大值 ，
相邻两个对称中心之间的距离为 ，
∴ ，可得 ，即 ，所以 .
∵ ，
∴
【小问 2 详解】
∴
∴
16. 如图，在直四棱柱 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， ， ，E，
F 分别为 AB， 的中点.
（1）求四棱柱 被平面 截得的截面周长；
（2）求直线 与平面 所成角的正切值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
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【分析】（1）根据线面平行性质定理得出线线平行得出截面再根据图形特征计算边长即可；（2）几何法：
先根据线面角定义得出 与平面 所成角为 ，再利用等面积法求边长比即可得出正切值；向
量法：建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，再利用线面角的向量求法进行求解.
【小问 1 详解】
∵ 平面 ，
∴平 面 CEF 与 平 面 的 交 线 与 EF 平 行 ， ∴交 线 为 ， 连 接 ， ， CE， 则 四 棱 柱
被平面 CEF 截得的截面为四边形 ，
，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 的周长为 ；
【小问 2 详解】
几何法：过点 D 作 ，垂足为 G，连接 ，
∵ 平面 ABCD， 平面 ABCD，
∴ ，
∵ ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 CEF，
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∴平面 平面 CEF，
∴D 在平面 CEF 上 射影必在 上，
∴直线 与平面 CEF 所成角为 ，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
即直线 与平面 CEF 所成角的正切值为 .
向量法：以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
∴ ， ， ，
设平面 CEF 的法向量为 ，
由 ，解得 ，
∴ ， ，
∴ ，
即直线 与平面 CEF 所成角的正切值为 .
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17. 袋中装有标有数字 1 到 6 的六个大小、形状相同的小球，从袋中任取 3 个小球，每个小球被取出的可能
性都相等，用 表示取出的 3 个小球上的最大数字.
（1）求取出的三个球的标号和为奇数的概率；
（2）已知取出的三个小球的标号和为奇数，求 的概率；
（3）计算随机变量 的数学期望.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）三个球的标号和为奇数有一个奇数两个偶数和三个奇数，有 种，再由古典概型求概
率；
（2）根据条件概率求解；
（3）随机变量 的取值为：3，4，5，6，计算出分布列并求得数学期望.
【小问 1 详解】
记事件 A：取出的三个球的标号和为奇数，事件 B：
；
【小问 2 详解】
，
；
【小问 3 详解】
随机变量 的取值为：3，4，5，6，
， ，
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， ，
的分布列为：
3 4 5 6
P
.
18. 设 ， .
（1）当 时，求证： ；
（2）求证： （ ， ）
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先证明函数为偶函数，再通过研究 时的导数单调性，得出 在[0,+∞)上的最小值，
从而证明 ；
（2）利用（1）的结论得到 ，再对 进行放缩并裂项相消求和，最终证明不等式.
【小问 1 详解】
∵ ，且 ，
∴ 为偶函数，
下面取 ，可知 ，
令 .
∵ ，则 ，则 在 上单调递增，
可得 ，即 在 上恒成立，可知 在 上单调递增，
∴ 在 上的最小值为 ，结合偶函数性质可知 .
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【小问 2 详解】
由（1）可得，当 时， ，
当且仅当 时，等号成立，即 .
令 ， ， ，则 ，
当 时， ，
即 ，
则 ， ，…， ，
相加可得 .
因为 ，则 ，
所以 ，
即 （ ， ）.
19. 已知椭圆 C： （ ）的右焦点为 ，离心率 .
（1）求 C 的方程；
（2）设 O 为坐标原点，过点 F 且不与 x 轴重合的直线与 C 交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），且与直线
l： 交于点 P，过 F 且平行于 OP 的直线与 OA，OB 分别交于 M，N 两点.
①证明：F 为线段 MN 的中点；
②若△AOB 与△FBN 的面积之比为 25∶3，求点 A 的坐标.
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）由椭圆性质可得 与 ，进而解出 ,得到方程
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（2）①设 AB 方程： ，得 ，表示出 与 ，求得 ，同理得 ，联立 AB 与椭圆得
韦达定理，代入 可得
②设 ，由 得出 ，再由 F 为线段 MN 的中点逐步得出 ，进
而 ，解出 ，由 解出 A 坐标
【小问 1 详解】
由题意易知： ，
∴C 的方程为 ；
【小问 2 详解】
①设 AB 方程： ， ，
由 ，
∴ ， ，
， ，
∴ ：
又 ： ，
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∴ ，同理：
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴F 为 MN 中点.
②设 ，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ， ，
∴ ，解得 或 （舍），
∴ ，又 ， ，解得： ，
∴ .