浙江省湖州市2025-2026学年高二上学期2月期末考试数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．
2．本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的斜率为（ ）
A. B. C. D. 2
2. 已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A. B. 3C. 4D. 5
3. 已知数列中，，则的值为（ ）
A. 15B. 30C. 31D. 57
4. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知等差数列公差不为零，且，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
6. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
7. 设函数，若恒成立，则的最大值为（ ）
A. -1B. C. 1D.
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线第一象限内的一点，的角平分线为，过原点作的平行线，分别与和交于两点，若，则的周长为（ ）
A. 48B. 50C. 52D. 56
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知直线与圆相交于，两点，则（ ）
A. 圆心的坐标为B. 圆的半径为
C. 圆心到直线的距离为D.
10. 在棱长为1正方体中，为棱的中点，为棱上一点（含端点），则（ ）
A 平面
B. 直线可能相交于同一点
C. 平面与平面可能平行
D. 正方体表面上满足的动点的轨迹长度为
11. 已知函数有两个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 记为等差数列的前项和．若，则___________．
13. 若函数的图象在点 处的切线过点，则 _________．
14. 已知分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上的点满足，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知圆经过点，且圆心在直线上．
（1）求圆方程；
（2）设点在圆上运动，求的最大值与最小值．
16. 已知数列的前项和为，且满足．
（1）求及数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，且为正三角形，，点为中点，点为棱上一点，且．

（1）证明：；
（2）若直线与平面所成角的余弦值为，求的值．
18. 设为抛物线的焦点，的三个顶点均在抛物线上，且直角顶点在第一象限内，直线过点且倾斜角为锐角，直线分别交轴于点．
（1）若，求；
（2）求证：；
（3）求的取值范围．
19. 已知函数．
（1）若，求函数的极值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数取值范围；
（3）若，且，求证：．