山东省济南市2026届高三下学期开学学情调研测试数学试卷含答案（word版+pdf版）

这是一份山东省济南市2026届高三下学期开学学情调研测试数学试卷含答案（word版+pdf版），文件包含山东济南2026届高三下学期开学学情调研测试数学试题及答案docx、山东济南2026届高三下学期开学学情调研测试数学试题+答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 A={x∣10 的右焦点为 F ，上顶点为 A ，直线 AF 交 C 于另一点 B . 若 OF=13OA+23OB ,则 C 的离心率为
A. 13 B. 12 C. 33 D. 22
7. 在等差数列 an 和等比数列 bn 中,有 a1=b1=t>0 ,且 a2n+1=b2n+1 ,则下列关系式中正确的是
A. an+1bn+1
8. 设函数 fx=3sinωx+π6,ω>0 在区间 0,π 内恰有三条对称轴、两个零点,则 ω 的取值范围是
A. 53,136 B. 73,176 C. 73,176 D. 136,103
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多 项是符合题目要求的。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 正方体 ABCD−A1B1C1 中， P 为 BC 的中点，则下列条件中，能使 PQ// 平面 A1BD 的有
A. Q 为 A1B1 的中点 B. Q 为 CC1 的中点
C. Q 为 DD1 的中点 D. Q 为 A1D1 的中点
10. 玩家进行如下游戏, 用几个完全相同的圆形小纸片去覆盖一个大圆纸片, 若不留任何缝隙地将大圆纸片完全盖住，则获胜. 记小圆纸片的半径为 1 ，大圆纸片的半径为 rr>1 ,则 (参考数值: 2≈1.41,3≈1.73,5≈2.24 )
A. 仅使用 2 个小圆纸片时, 可以保证玩家有获胜机会
B. 仅使用 3 个小圆纸片时, r=1.1 可以保证玩家有获胜机会
C. 仅使用 3 个小圆纸片时, r=1.15 可以保证玩家有获胜机会
D. 仅使用 4 个小圆纸片时, r=1.4 可以保证玩家有获胜机会
11. 抛物线 C:y2=4x 的焦点为点 F ，过点 F 的直线 L 交 C 于 A,B 两点， P 为准线上一点， O 为坐标原点，记 △OAB 的面积为 S ，则
A. △OAP 为等边三角形时，点 A 的横坐标为 3
B. 1AF+1BF=1
C. S≤22
D. S2AB=1
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 若函数 fx=ax2+x+1ex 的极小值点为 -1,则 fx 的极小值为_____.
13. 在 △ABC 中, b=4,A=π6 ,若角 B 有两个解,则 a 的取值范围是_____.
14. 已知 θ>0 ,若存在实数 φ ,使得对任意的正整数 n ,都有 csnθ+φ2sxi2+syi26,i=1,2 ,则认为技术 i 能显著降低土壤可溶性盐含量,否则不认为有显著降低).
16. (15 分)
已知数列 an 满足 an=4n−n⋅4n−1+Cn2⋅4n−2−Cn3⋅4n−3+⋯+−1n−1⋅4n+−1n .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若数列 bn=n⋅an ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn .
17. (15 分)

在三棱柱 ABC−A1B1C1 中，侧面 AA1C1C 和侧面 AA1B1B 是都是边长为 2 的菱形, D 是 AA1 中点， BC=3 ， ∠CAA1=∠BAA1=60∘ .
(1)证明: AA1⊥ 平面 BCD ；
(2)求二面角 B−AC−A1 的余弦值.
18. (17 分)
已知 P,Q 是双曲线 Γ:x2a2−y2=1a>0 上两个不同的点， O 为坐标原点，点 A2,32 .
(1)若点 A 在 Γ 上，求 Γ 的渐近线方程.
(2) 当 O,P,Q,A 四点共线时, PQ=1077 ,点 B2,0 .
(i) 求 Γ 的方程;
(ii) 若 B,P,Q 三点共线, P,Q 两点均不在 x 轴上, M、N 分别为 Γ 的左、右顶点, 直线 PM 与 QN 交于点 D ,证明: 动点 D 在一条定直线上.
19. (17 分)
已知函数 fx=nx−xn,x∈R ,其中 n∈N∘,n≥2 .
(1)讨论 fx 的单调性;
(2)设曲线 y=fx 与 x 轴正半轴的交点为 P ，曲线在点 P 处的切线方程为 y=gx ， 求证: 对于任意的正实数 x ,都有 fx≤gx ;
(3)若关于 x 的方程 fx=a ( a 为实数)有两个正实根 x1,x2 ，求证: x2−x10 ,所以 a=413 ,
故 Γ 的渐近线方程为 y=±bax=±134x .
∴ 应用技术 2 后,土壤可溶性盐含量显著降低。
16. (1) an=Cn04n−10+Cn14n−1−11+Cn24n−2−12+⋯+Cnn−141−1n−1+Cnn40−1n , 所以 an=4−1n=3n ,
所以数列 an 的通项公式为 an=3n ;
(2)因为 Tn=1⋅31+2⋅32+3⋅33+⋯+n−1⋅3n−1+n⋅3n ，
所以 3Tn=1⋅32+2⋅33+3⋅34+⋯+n−1⋅3n+n⋅3n+1 ,
两式相减得 −2Tn=3+32+33+34+⋯+3n−n⋅3n+1 ,
−2Tn=3+32+33+34+⋯+3n−n⋅3n+1=31−3n1−3−n3n+1 ,
Tn=2n−1⋅3n+1+34.
17. (1)证明:因为侧面 AA1C1C 为菱形，且 ∠CAA1=60∘
所以 △AA1C 为等边三角形,又因为 D 是 AA1 的中点,所以 CD⊥AA1
同理可证: BD⊥AA
又因为 BD∩CD=D,BD,CD⊂ 平面 BCD .
所以 AA1⊥ 平面 BCD .
(2)过 C 作 CH⊥BD 交 BD 于 H ，
在直角 ΔACD 中, AC=2,AD=1 ,所以 CD=3 ,同理可得 BD=3 ,
又因为 BC=3 ,即 △BCD 为等边三角形,所以 H 为 BD 中点, CH=32 ,
由( 1 )可知， AA1⊥ 平面 OBC ， AA1⊂ 平面 AA1B1B
所以平面 AA1B1B⊥ 平面 BCD
又因为平面 AA1B1B⋅ 平面 BCD=BD
所以 CH⊥ 平面 AA1B1B ,即 HC,DA1,DB 两两垂直
以 D 为原点， DA1 ， DB ， HC 的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 D−xyz
答案第 2 页，共 6 页
(2)(i)直线 OA 的方程为 y=34x .
由 y=34xx2a2−y2=1 ,得 x2=16a216−9a2 .
因为 a>0 ,所以 x=±4a16−9a2 ,
所以 PQ=1+3424a16−9a2−−4a16−9a2=10a16−9a2=1077 ,
解得 a2=1 ,
故 Γ 的方程为 x2−y2=1 .
(ii) 证明: 因为 P,Q 两点均不在 x 轴上,所以直线 PQ 的斜率不为 0,则可设直线 PQ 的方程为 x=my+2 .

由 x=my+2x2−y2=1 得 m2−1y2+4my+3=0 ,
则 Δ=16m2−12m2−1=4m2+12>0,m2−1≠0 .
设 Px1,y1,Qx2,y2 ,则 y1+y2=−4mm2−1,y1y2=3m2−1 .
直线 PM:y=y1x1+1x+1 ,直线 QN:y=y2x2−1x−1 ,
由 y=y1x1+1x+1y=y2x2−1x−1 ,得 x−1x+1=x2−1y1x1+1y2=my2+1y1my1+3y2
=my1y2+y1+y2−y2my1y2+3y2=3mm2−1−4mm2−1−y23mm2−1+3y2=13,
解得 x=12 , 故动点 D 在定直线 x=12 上.
19. ( 1 )由 fx=nx−xn ，可得，其中 n∈N∗ 且 n≥2 ，
下面分两种情况讨论:
①当 n 为奇数时:
令 f′x=0 ,解得 x=1 或 x=−1 ,
当 x 变化时, f′x,fx 的变化情况如下表:
所以, fx 在 −∞,−1,1,+∞ 上单调递减,在 −1,1 内单调递增.
②当 n 为偶数时，
当 f′x>0 ,即 x0 ,当 x∈x0,+∞ 时, F′x0