浙江省台州市2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

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2026.02
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数，则的值为（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】代值计算即可求解.
详解】函数，则;
故选：B
2. 已知，，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量的坐标运算即可求解．
【详解】依题意，则．
故选：D．
3. 已知集合，那么下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过解一元二次不等式可求得集合，再根据元素与集合的关系即可判断.
【详解】因为，
所以.
故选：C.
4. 在中，“”是“为锐角三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用充分性和必要性的定义，结合三角形的性质即可求解.
【详解】在中，若，不妨取,,，此时为直角三角形；
若为锐角三角形，则为锐角，则，
所以在中，“”是“为锐角三角形”的必要不充分条件；
故选：B
5. 若函数的定义域为，则此函数的值域为（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据定义域求出的范围，即可求解.
【详解】函数的定义域为，则,或,
当时，，
当时，,
综上，函数的值域为
故选：D
6. 已知函数的部分图象如图所示，那么的解析式可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据的函数图象变化以及逐个选项判断即可．
【详解】对于A，与图象一致，且在时，随着x的减小，越来越接近于0，的大小主要由决定，偏向于正弦函数图象，而在时，由于随x不断增长呈爆炸性增长，此时的大小主要由决定，偏向于指数函数图象，故A正确；
对于B，当时，由于在内波动，函数图象主要由x决定，而非图中展示的偏向于正弦函数图象，故B错误；
对于CD，，与图象中的矛盾，故CD错误．
故选：A．
7. 若非零向量，的夹角为，，，则的值为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得，代入可得，运算求解即可.
【详解】由题意可知：，
因为，则，
可得，
又因为，则，解得.
故选：A.
8. 已知是实数，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两角和的正弦公式化简即可求解.
【详解】，可得,
所以，
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据不等式性质以及指数函数的单调性分别判断各选项即可.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为在上是单调递增函数，由，可得，故B正确；
对于C，取，满足，此时,故C不正确；
对于D，取，,，此时，故D不正确；
故选：AB
10. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 若，则的面积为
C. 若，则是等腰三角形D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断；对于B，由余弦定理求出,利用三角形面积公式即可求解；对于C，利用余弦定理即可求解；对于D，由，结合正弦定理求,可得是直角三角形，利用勾股定理即可求解.
【详解】对于A，由,可得,故A正确，
对于B，若，则，所以，则的面积为，故B正确；
对于C，若，则，即,解得：或，满足条件，
当时，则是等腰三角形，
当时，则是直角三角形，故C不正确；
对于D，若，则，由正弦定理可得：,
所以，因为，所以，，，
则是直角三角形，，故D正确；
故选：ABD
11. 设函数，若函数恰有4个不同的零点，，，，且，则实数可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】令，则，由选项可知实数均满足，可得，分类讨论和两种情况，结合图象分析交点以及零点的性质，进而求解即可.
【详解】作出函数的图象，如图所示，
令，即，
令，则，
由选项可知实数均满足，则与有且仅有一个交点，即.
且，，即，.
对于选项AB：若，则，
可知与至多有3个交点，不合题意，故AB错误；
对于选项CD：若，则，
可知与有4个交点，
不妨设，则，，
因为，即，
可得，则，即，
可得，，
令，可知在内单调递增，
且，，可得在内的值域为，
即，符合题意，故CD正确；
故选：CD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则________.
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式求解即可.
【详解】由诱导公式可得，所以,
故答案为：
13. 已知函数，若，则实数的值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据求出的值，进而可以得到a的值．
【详解】，，
所以依题意有，令（），
则方程变为，可解得，也即，解得．
故答案：．
14. 已知，，且，则的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】对已知等式进行变形，得到，将其代入，化简得到，最后利用基本不等式求出最小值，并验证等号成立条件即可.
【详解】因为，，且，
所以，则，
整理得，
又，，所以，
所以.
因此，
当且仅当，即时取等号.
此时，满足题意.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，或．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出集合B后，再求两者交集即可；
（2）根据可得，解出即可．
【小问1详解】
当时，或，
故．
【小问2详解】
由，有，解得，
所以实数的取值范围为．
16. 在中，点上一点且满足，设，，，.
（1）用、表示向量；
（2）若，求边的长度.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式；
（2）利用平面向量数量积的运算性质可求得的值，再利用平面向量数量积的性质可求得的值.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
因为，
；
由题意得，解得，
所以
.
17. 为预防流感，某医药公司生产了一种口服抗病毒药品，服用该药品后，血液中药品的浓度（单位：mg/100ml）会以每小时的比率减少.已知刚服用药品后血液中药品浓度为，当药品浓度不低于时，才能起到有效预防流感的作用，现有甲、乙两人口服该药品.
（1）若血液中药品的浓度在甲体内每小时下降比率为，求甲的有效预防时长；（最后结果保留一位小数）
（2）经过检测发现该药品对乙的有效预防时长不小于6小时且不超过7小时，估算乙血液中药品浓度每小时下降比率的取值范围.（最后结果保留两位小数）
（参考数据：，，，，）
【答案】（1）4.7小时；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出不等式计算，即可得到结果；
（2）根据题意，列出不等式组，结合指数的运算代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
由题意，经过小时后，甲体内血液中药品的浓度为，
令，得，即，
，
故甲的有效预防时长为4.7小时；
【小问2详解】
设血液中药品的浓度在乙体内每小时下降比率为，
则经过小时后，乙血液中药物的浓度为，
根据题意有
对于，有，即，故；
对于，即，则，故；
所以乙血液中药品浓度每小时下降比率的取值范围为
18. 已知函数．
（1）求函数图象的对称中心；
（2）当，时，用定义证明在上单调递增；
（3）当，时，若函数在定义域上单调，且函数的值域为，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求的值即可判断的对称中心；
（2）直接根据单调性定义证明即可；
（3）求出函数的单调区间，根据题意分、两种情况讨论，并结合在区间的单调性，以及该区间内的值域列等式并转化为一元二次方程根的问题求解即可．
【小问1详解】
，
所以可知函数可由平移变换过来，而仅有一个对称中心，
故只有一个对称中心，
，
所以是函数图象的对称中心．
【小问2详解】
，，且，
有
，
由，得，，于是，
即，
所以，函数在区间上单调递增．
【小问3详解】
，为对勾函数，
根据对勾函数的图像性质可知函数在上递减，在上递增，
①当时，函数在区间上单调递增，
于是，所以方程在上有两个不同的根，
即方程在上有两个不同的根，
由函数在上单调递增，故不符合；
②当，函数在区间上单调递减，
于，即，两式相减得，
所以，将代入方程得，
同理可得，
所以，方程在上有两个不同的根，
记，则，解得，
综上所述，实数的取值范围是．
19. 已知函数.
（1）若函数的最小正周期为，求函数的单调递增区间；
（2）若函数在上有最大值和最小值，求的取值范围；
（3）当时，若存在，使得对任意的，都有，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）或.
（3）
【解析】
【分析】（1）通过三角恒等变形得到，再利用整体思想，结合正弦函数的单调性，建立不等式，可得答案；
（2）由函数的周期性与对称性，建立不等式求解可得答案；
（3）设，，由题意得，设，求得即可得答案.
【小问1详解】
，
由题意，，得，
由，解得，.
所以函数的单调递增区间为，
【小问2详解】
由，得，
由题意，得或
解得或.
【小问3详解】
当时，，
设，
由题意可知，，
设，取，，，
得，，
.
所以，
当且仅当，
即时，取等号.
故，.
所以，的取值范围是.