江西省吉安市永丰县2023—2024学年上学期九年级期末考试数学试卷（试卷+解析）

这是一份江西省吉安市永丰县2023—2024学年上学期九年级期末考试数学试卷（试卷+解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，该几何体的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
3. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有（ ）
A. 15个B. 20个C. 30个D. 35个
4. 已知点是反比例函数的图象上的两点，若，则下列结论正确的是（ ）
A B. C. D.
5. 在Rt中，，若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，点是边长为正方形的对角线上的动点，过点分别作于点，于点，连接并延长，交射线于点，交射线于点，连接交于点，当点在上运动时（不包括两点），以下结论中：①；②；③；④的最小值是．其中正确的结论是（ ）
A. ①③B. ①②③C. ②③④D. ②④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2．
8. 设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则x12﹣4x1x2+x22的值为 _____．
9. 如图，是由9个小等边三角形组成的等边三角形网格，点A、B、C是网格的格点，连接，则的值为_______．
10. 如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则______．
11. 若从，0，1这三个数中任取两个数，其中一个记为a，另一个记为b，则点恰好落在反比例函数图象上的概率是_____．
12. 若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1） 解方程：
（2）计算：
14. 将甲、乙两名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、知道速滑和冰球（分别用字母A，B，C表示）个项目进行培训，每名志愿者可被随机分配到其中任何一个项目．
（1）甲志愿者被分配到项目A进行培训概率是________；
（2）请用列表法或画树状图法求甲、乙两名志愿者恰好都被分配到项目A的概率．
15. 下图是一个长方体的三视图（单位：cm），其中俯视图为正方形，求这个长方体的表面积．
16. 如图，已知正方形和等腰直角，，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（不写画法，保留画图痕迹）
（1）在图1中，画出的平行线；
（2）在图2中，找出的三等分点、．
17. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）根据图象，直接写出时的取值范围．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 某商场以每千克20元的价格购进某种榴莲，计划以每千克40元的价格销售．为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种榴莲的销售量y（kg）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式．
（2）该商场在销售这种榴莲中要想获利1105元，则这种榴莲每千克应降价多少元？
19. 如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE，
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
20. 如图（1）是一台灯，它可以灵活调节高度，图（2）、图（3）是它的抽象示意图、其中MN是桌面、底座OA始终垂直MN，点A，B，C处可转动，CD始终平行桌面MN．现测得 OA=1cm．AB=36cm，BC=32cm．
（1）如图（2）当AB与MN垂直，∠ABC=150°时，求点D到桌面MN的距离（结果精确到0.1）．
（2）如服（3），将（1）中的AB绕点A逆时针旋转，使得∠OAB=150°，当点D到桌面MN的距离为50cm时，求∠ABC的大小．
（结果精确到0.1，参考数据：sin 55.9°≈0.83，cs 55.9°≈0.56，sin 34.1°≈0.56，cs 34.1°≈0.83）
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图，点A、B分别是双曲线和上的两个动点，轴，过A、B两点分别作轴的垂线，垂足分别为D、C，连接、．
（1）四边形的面积为 ；
（2）设点C的坐标为．
① 当 时，四边形为正方形；
② 当是直角三角形时，求的值．
22. 如图1，矩形纸片中，点边上．连接，将矩形纸片沿折叠，使点、分别与点、重合，与交于点；如图2，继续将纸片沿折叠，使点、分别与点、重合，、分别与交于点、．
（1）如图2，若，则= ．
（2）如图3，点恰好落在边上（即点与点重合）．
①若，，求长．
②已知，，若，，三点恰好在同一条直线上，试探究、之间的数量关系并写出证明过程．
六、（本大题共1小题，共12分）
23. 如图，点P是坐标平面上一动点，过点P作直线，垂足为A，点B的坐标为，连接，动点P移动时始终保持．
（1）当且点P在第一象限时，点P的坐标为 ．
（2）设点P的横坐标为．
①请用含的代数式表示点P的纵坐标；
②试说明点P总在同一条抛物线上移动．
（3）将抛物线沿轴翻折后得到抛物线，再将抛物线沿直线平移后得到抛物线，当抛物线与抛物线只有一个公共点时，求抛物线的解析式．
（4）将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位后得抛物线，若抛物线的顶点恰好落在抛物线上，试说明抛物线恒过原点．
2023—2024学年（上）永丰县九年级期末考试
数 学 试 卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程；熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义即可判断．
【详解】解：A．是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元三次方程，故本选项不符合题意；
C．是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．是分式方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
2. 如图，该几何体的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出从左面看到的图形即可．
【详解】解：该几何体的左视图是一个长方形，并且有一条隐藏的线用虚线表示，如图所示：
，
故选：D．
本题考查三视图，具备空间想象能力是解题的关键，注意看不见的线要用虚线画出．
3. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有（ ）
A. 15个B. 20个C. 30个D. 35个
【答案】D
【解析】
【分析】利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，根据概率公式计算即可．求出黄球的个数，即可求解．
【详解】解：∵摸到黄球的频率稳定在左右
∴黄球的个数为
∴布袋中白球可能有
故选：D
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
4. 已知点是反比例函数的图象上的两点，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数比例系数k的符号判断图象所在象限，再结合点的横坐标的正负确定点所在象限，进而判断纵坐标的正负与大小关系．
【详解】解：∵反比例函数的解析式为，且，
∴反比例函数的图象分布在第二、四象限，
∵点是反比例函数的图象上的两点，且，
∴点A在第二象限，点B在第四象限，
∴，
故选：A．
5. 在Rt中，，若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，
在中，已知，且，利用三角函数定义及勾股定理即可求解的值.
【详解】解：如图，在中，，且，
设对边为，则斜边为，
根据勾股定理，得，
∴.
故选：D.
6. 如图，点是边长为的正方形的对角线上的动点，过点分别作于点，于点，连接并延长，交射线于点，交射线于点，连接交于点，当点在上运动时（不包括两点），以下结论中：①；②；③；④的最小值是．其中正确的结论是（ ）
A. ①③B. ①②③C. ②③④D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，根据相关知识的性质对各个结论逐一分析即可．
【详解】解：①连接交于点，
∵四边形是正方形，为对角线，
，，，
，
，
，
，，且，
∴四边形是矩形，
，
，
故①正确；
②根据正方形的对称性可知，，
∵四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
故②正确；
③平行于，
，
，
，
，
，
，
，
根据正方形的对称性可知：，
，
故③正确；
④∵四边形是矩形，
∴，
∴当时，的值最小，
此时共线，
，
的最小值为，
的最小值为1，
故④错误；
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2．
【答案】24
【解析】
【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．
【详解】解：该菱形的面积是S=ab=×6×8=24cm2，
故答案为：24．
本题考查了菱形的面积计算公式，解题的关键是牢记公式．
8. 设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则x12﹣4x1x2+x22的值为 _____．
【答案】15
【解析】
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=-1，再利用完全平方公式得到x12﹣4x1x2+x22=（x1+x2）2-6x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据题意得x1+x2=3，x1x2=-1，
所以，x12﹣4x1x2+x22
=（x1+x2）2-6x1x2
=
=9+6
=15．
故答案为15．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=．
9. 如图，是由9个小等边三角形组成的等边三角形网格，点A、B、C是网格的格点，连接，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正切、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握正切的定义是解题关键．过点作于点，先根据等边三角形的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，再设每个小等边三角形的边长为，则，，，利用勾股定理可得，然后根据正切的定义求解即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
由题意可知，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
设每个小等边三角形的边长为，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
故答案为：．
10. 如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．
【详解】四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，
，
则，
故答案为．
本题考查了位似的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键.
11. 若从，0，1这三个数中任取两个数，其中一个记为a，另一个记为b，则点恰好落在反比例函数图象上的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列表法或树状图法．也考查了反比例函数的图象上点的坐标特征．画树状图列出所有可能的结果，再判断找出点恰好落在反比例函数的图象上的结果，根据概率公式计算即可．
【详解】解：画树状图如下
由树状图知，共有6种等可能结果，其中使点恰好落在反比例函数的图象上的结果有，，共2种结果，
故点恰好落在反比例函数的图象上的概率是．
故答案为：．
12. 若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____．
【答案】-1或2或1
【解析】
【分析】分该函数一次函数和二次函数两种情况求解，若为二次函数，由抛物线与x轴只有一个交点时b2-4ac=0，据此求解可得．
【详解】∵函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，
当函数为二次函数时，b2-4ac=16-4(a-1)×2a=0，
解得：a1=-1，a2=2，
当函数为一次函数时，a-1=0，解得：a=1.
故答案为：-1或2或1
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1） 解方程：
（2）计算：
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的求解和特殊三角函数值的计算．
（1）通过移项，因式分解将方程转化为两个因式相乘等于的形式，再根据“若两个数的乘积为，则至少其中一个数为”求解；
（2）牢记特殊角的三角函数值，将其代入式子进行计算即可解答．
【详解】解：（1）
，
（2）
14. 将甲、乙两名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、知道速滑和冰球（分别用字母A，B，C表示）个项目进行培训，每名志愿者可被随机分配到其中任何一个项目．
（1）甲志愿者被分配到项目A进行培训的概率是________；
（2）请用列表法或画树状图法求甲、乙两名志愿者恰好都被分配到项目A的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）列举出甲参加培训项目的结果，根据题意进行计算即可；
（2）画树状图法或列表法，根据题意利用概率计算公式，进行计算即可．
【小问1详解】
解：由题意得
甲参加的培训项目有A，B，C，个项目，
，
故答案：．
【小问2详解】
解：由题意得
列表如下：
共有种等可能结果，其中甲、乙两名志愿者恰好都被分配到项目A的是的种结果，
．
答：甲、乙两名志愿者恰好都被分配到项目A的概率为．
本题考查了等可能情形下的概率计算，掌握列表法求概率是解题的关键．
15. 下图是一个长方体的三视图（单位：cm），其中俯视图为正方形，求这个长方体的表面积．
【答案】
【解析】
【分析】根据三视图图形得出AC=BC=3，EC=4，然后求出这个长方体的表面积．
【详解】解：如图所示：AB=3，
∵AC2+BC2=AB2，
∴AC=BC=3，
∴正方形ACBD面积为：3×3=9，
侧面积为：4AC×CE=3×4×4=48，
故这个长方体的表面积为：48+9+9=．
此题主要考查了利用三视图求长方体的表面积，得出长方体各部分的边长是解决问题的关键．
16. 如图，已知正方形和等腰直角，，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（不写画法，保留画图痕迹）
（1）在图1中，画出的平行线；
（2）在图2中，找出的三等分点、．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．
（1）连接，根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质可得，所以，故直线即为所求；
（2）连接、分别交于点、，根据，证，由等腰直角三角形的性质可得，，由正方形的性质得，故，再由相似三角形的性质得，同理可证，，从而得证点、即为的三等分点．
【小问1详解】
解：如图1，直线即为所求；
【小问2详解】
解：如图2，点、即为所求．
17. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）根据图象，直接写出时的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据反比例函数与一次函数解析式的交点列方程即可解答；
（2）由（1）可知，，再根据反比例函数与一元一次不等式即可解答．
【小问1详解】
解：∵反比例函数图象与一次函数图象交于两点，
∴，
∴，，
∴反比例函数的解析式为．
【小问2详解】
解：∵反比例函数图象与一次函数图象交于两点，
∴，
∴，，
∴，，
∴由图象可知：或；
本题考查了反比例函数与一次函数解析式的交点，反比例函数与一元一次不等式，熟练运用反比例函数与一次函数解析式的交点列方程是解题的关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 某商场以每千克20元的价格购进某种榴莲，计划以每千克40元的价格销售．为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种榴莲的销售量y（kg）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式．
（2）该商场在销售这种榴莲中要想获利1105元，则这种榴莲每千克应降价多少元？
【答案】（1）
（2）7元
【解析】
【分析】（1）观察函数图象，根据各点的坐标，利用待定系数法即可求出y关于x的函数表达式；
（2）利用销售这种榴莲获得的总利润=每千克的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，结合为了让顾客得到更大的实惠，即可确定x的值，再将其代入y=5x+50中即可求出销售这种榴莲的数量．
【小问1详解】
解：设y关于x的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
将（2，60），（4，70）代入y=kx+b得：
，解得，
∴y关于x的函数解析式为y=5x+50（0＜x＜10）；
【小问2详解】
解：依题意，得（40-x-20）（5x+50）=1105，
整理得，解得，．
又∵要让顾客得到更大的实惠，
∴，
答：这种榴莲每千克应降价7元．
本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19. 如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE，
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）当∠BAC=90°时，矩形AEBD是正方形．理由见解析．
【解析】
【分析】（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得出答案；
（2）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可．
【详解】（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；
（2）当∠BAC=90°时，理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
本题考查矩形和正方形的判定，等腰三角形“三线合一”的性质．掌握特殊四边形的判定方法是解题关键．
20. 如图（1）是一台灯，它可以灵活调节高度，图（2）、图（3）是它的抽象示意图、其中MN是桌面、底座OA始终垂直MN，点A，B，C处可转动，CD始终平行桌面MN．现测得 OA=1cm．AB=36cm，BC=32cm．
（1）如图（2）当AB与MN垂直，∠ABC=150°时，求点D到桌面MN的距离（结果精确到0.1）．
（2）如服（3），将（1）中的AB绕点A逆时针旋转，使得∠OAB=150°，当点D到桌面MN的距离为50cm时，求∠ABC的大小．
（结果精确到01，参考数据：sin 55.9°≈0.83，cs 55.9°≈0.56，sin 34.1°≈0.56，cs 34.1°≈0.83）
【答案】（1）cm
（2）
【解析】
【分析】（1）过点作于点，过点作于点，解直角三角形，进而求得，即可求得点D到桌面MN的距离；
（2）过点作于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，则四边形是矩形，三点共线，解直角三角形，求得，进而求得的长，解，可得，进而即可求得的大小．
【小问1详解】
解：如图，过点作于点，过点作于点，
，
共线，四边形是矩形，
，
，
，
在中，，
，
，
，
点D到桌面MN的距离约为cm.
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，则四边形是矩形，三点共线，
，
，
，
，
点D到桌面MN的距离为50cm，，
，
，
在中，，
，
.
本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图，点A、B分别是双曲线和上两个动点，轴，过A、B两点分别作轴的垂线，垂足分别为D、C，连接、．
（1）四边形的面积为 ；
（2）设点C的坐标为．
① 当 时，四边形为正方形；
② 当是直角三角形时，求的值．
【答案】（1）5 （2）①；②的值为
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数系数的几何意义，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相应知识是解题的关键．
（1）由反比例函数系数的几何意义即可求解；
（2）由四边形为正方形可得，则点的纵坐标为，利用函数解析式即可求得点的横坐标，即可得的值；
由点，可得点，点，当是直角三角形时，利用即可求解．
小问1详解】
解：由反比例函数系数的几何意义可得：．
故答案为：5．
【小问2详解】
解：∵四边形为正方形，
∴，
∴点的纵坐标为，
把代入得，，
∴，即点的横坐标为，
∵轴，
∴点的横坐标为，即．
故答案为：．
∵轴，，
∴点，点，
∴，，，
∵是直角三角形，
∴，即，
解得，
∴的值为．
22. 如图1，矩形纸片中，点在边上．连接，将矩形纸片沿折叠，使点、分别与点、重合，与交于点；如图2，继续将纸片沿折叠，使点、分别与点、重合，、分别与交于点、．
（1）如图2，若，则= ．
（2）如图3，点恰好落在边上（即点与点重合）．
①若，，求的长．
②已知，，若，，三点恰好在同一条直线上，试探究、之间的数量关系并写出证明过程．
【答案】（1）
（2）①②，证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质以及勾股定理．
（1）由，可得，，由折叠性质得，，故，由，可得，最后折叠性质即可解答；
（2）①两次利用折叠的性质以及平行线的性质得到，设，则，，在中，由勾股定理可得：，求解方程即可解答；②先证明四边形是平行四边形，进一步推导是等边三角形，结合等边三角形的性质以及由①可知即可解答．
【小问1详解】
解：，
，，
，
由折叠性质得，，
，，
，
，
由折叠性质得，，
；
【小问2详解】
解：①，
，，
由折叠可知：，
,
，
，
，
由折叠可知：，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
由折叠可知：，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理可得：，
解得，（舍去），
的长为；
②，证明如下：
四边形是矩形，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，
，，
由①可知,
，
化简得．
六、（本大题共1小题，共12分）
23. 如图，点P是坐标平面上一动点，过点P作直线，垂足为A，点B的坐标为，连接，动点P移动时始终保持．
（1）当且点P在第一象限时，点P的坐标为 ．
（2）设点P的横坐标为．
①请用含的代数式表示点P的纵坐标；
②试说明点P总在同一条抛物线上移动．
（3）将抛物线沿轴翻折后得到抛物线，再将抛物线沿直线平移后得到抛物线，当抛物线与抛物线只有一个公共点时，求抛物线的解析式．
（4）将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位后得抛物线，若抛物线的顶点恰好落在抛物线上，试说明抛物线恒过原点．
【答案】（1）
（2）①；②见解析
（3）
（4）见解析
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系点的坐标、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
（1）设点的坐标为，则，解方程即可；
（2）①设的纵坐标为，过点B作于点C，则、、，根据勾股定理列方程求解即可；
②令点，则，化简得到，从而得到结论；
（3）设抛物线：（），根据题意得到，化简得到，根据抛物线与抛物线只有一个公共点，列出方程，解方程即可；
（4）易得抛物线的解析式为，其顶点坐标为，由于抛物线的顶点恰好落在抛物线上，则，当时，代入抛物线的解析式计算即可．
【小问1详解】
解：根据题意得：、直线，
则点的纵坐标为，
设点的坐标为，
则，
解得或（舍去），
因此，点P的坐标为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：①设的纵坐标为，过点B作于点C，
则、、，
由勾股定理得：，
化简得，
即点P的纵坐标为；
②令点，则，
即，
因此点P总在同一条抛物线上移动；
【小问3详解】
解：设抛物线：（），
由，得，
化简得，
由于抛物线与抛物线只有一个公共点，
则，
解得（舍去），，
因此，抛物线的解析式为：；
【小问4详解】
解：将抛物线：向右平移个单位，再向上平移个单位后得抛物线，
则抛物线的解析式为，其顶点坐标为，
由于抛物线的顶点恰好落在抛物线上，
则，
当时，
，
则抛物线恒过原点．
乙
甲