吉林省吉林市永吉县2025届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份吉林省吉林市永吉县2025届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共22页。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解：A.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B.是中心对称图形，故该选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D.不是中心对称图形，故该选项不符合题意．
故选：B．
2. 在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是3500cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是( )
A. (60+x)(40+2x)=3500B. (60+x)(40+x)=3500
C. (60+2x)(40+x)=3500D. (60+2x)(40+2x)=3500
答案：D
解：挂图长为（60+2x）cm，宽为（40+2x）cm，
所以根据矩形的面积公式可得：（60+2x）（40+2x）=3500．
故选D．
3. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 且
答案：D
解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴且，
解得：且 ．
故选：D．
4. 点经过某种图形变化后得到点，这种图形变化可能是（ ）
A. 关于轴对称B. 关于轴对称C. 绕原点逆时针旋转D. 绕原点顺时针旋转
答案：C
解：∵点在第一象限，点在第二象限，
∴点绕原点逆时针旋转，
如图所示，

∴，则，
，则，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点绕原点逆时针旋转得到点，
故选：C．
5. 如图，已知上三点A，B，C，半径，，切线交延长线于点P，则的长为（ ）
A. 2B. C. D.
答案：B
解：连接，
∵，
∴，
∵是切线，
∴，
∴
∴．
故选：B
6. “七巧板”是一种古老的中国传统智力玩具，由“七巧板”组成的正方形如图所示，若在正方形区域内随意取一点，则该点取在阴影部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解：由题意可知，阴影部分是一个正方形，
设大正方形的边长为，
大正方形的对角线长为，面积为，
阴影部分的边长为，
，
(该点取到阴影部分)，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 方程的解是________．
答案：，
原方程变形为：，
解得，，
故答案为：，．
8. 如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则的度数是________．
答案：##40度
解：∵绕点O逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
9. 袋中装有个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．现进行摸球试验，每次摸出一个记下颜色后放回，经过大量的试验，发现摸到黑球的频率稳定在附近，则袋中随机摸出一个球是黑球的概率为_________．
答案：
解：经过大量的试验，发现摸到黑球的频率稳定在附近，
随机摸出一个球是黑球的概率为，
故答案为：．
10. 若点与点都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是____________（填“”或“”）
答案：
解：∵，
函数图象位于一、三象限，在每个象限内，随增大而减小，，
又∵，
，
故答案为：．
11. 若一个正多边形的中心角为，则这个正多边形的边数是__________．
答案：
解：设这个正多边形的边数为，
这个正多边形的中心角是，
，
，
这个正多边形是九边形，
故答案为：9．
12. 设、是方程的两个根，且，则m的值是______．
答案：1
解：∵、是方程的两个根，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：1．
13. 如图，圆锥的底面直径，，则该圆锥的表面积是______（结果保留）．
答案：
解：，，
，
，
圆锥的表面积，
故答案为：．
14. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得新抛物线的解析为______．
答案：
解：将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得新抛物线的解析为，
故答案为：．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 求x的值：．
答案：，
解：
或
解得：或
∴原方程的解为：，．
16. 已知二次函数．
（1）求该二次函数的顶点坐标；
（2）该二次函数的图象的开口向 ，并判断点 该函数的图象上（填“在”或“不在” ）．
答案：（1）
（2）上；不在．
【小问1详解】
解：由题意，二次函数为，
该二次函数的顶点坐标为．
【小问2详解】
由题意，二次函数为，
．
该二次函数的图象的开口向上．
又当时，，
点不在该函数的图象上．
故答案为：上；不在．
17. 某公司今年4月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相同，到6月份的生产成本是324万元．
（1）求每个月生产成本下降的百分率；
（2）该公司7月份的生产成本是否会超过300万元？请说明理由．
答案：（1）
（2）不会，理由见解析
【小问1详解】
解：设每个月生产成本的下降率为x，由题意，得：
，
解得：，（舍去），
∴每个月生产成本的下降率为；
【小问2详解】
解：预测月份的生产成本为：（万元），
，
∴该公司7月份的生产成本不会超过300万元．
18. 如图，与关于点G中心对称，若点E，F分别在上，且，求证：．
答案：见解析
证明：∵与关于点G中心对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，．

（1）画出关于轴对称的，直接写出点的坐标；
（2）画出绕点逆时针旋转后的；
（3）在（2）的条件下，求点到经过的路径长（结果保留）．
答案：（1）见解析，
（2）见详解 （3）
【小问1详解】
如图所示：点的坐标为：；
【小问2详解】
如图所示；
【小问3详解】
解：，
故；
20. 直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点．
（1）求直线的表达式；
（2）若，请直接写出满足条件的的取值范围；
（3）过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积．
答案：（1）
（2）或
（3）4
【小问1详解】
解：分别将点、点代入中，
即，，
解得：，，
点坐标为，点坐标为
把点坐标，点坐标分别代入，
即，解得：
一次函数表达式为．
【小问2详解】
解：由图象可知，当时，或．
【小问3详解】
解：把代入中，得，
点坐标为，
，
．
21. 在一个不透明的口袋中装有分别标有数字4，5，6，7的四个小球（除标号外，其余都相同），从中随机抽取一个球，再从余下的球中随机抽取一个球．
（1）第一次从口袋中随机抽取一个球，抽到数字6的概率是 _______．
（2）用列表法或画树状图法中的一种方法，求抽取的两个小球的数字之和大于11的概率．
答案：（1）
（2）
【小问1详解】
解：一共四个小球，球上数字是6的有一个，故摸到小球上的数字是6的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图为：

一共有12种等可能的情况，其中抽取的两个小球的数字之和大于11的情况有4种，
∴抽取的两个小球的数字之和大于11的概率为．
22. 如图，为的直径，为上一点，，交于，且，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）为上一点，连接，若，，，求的半径．
答案：（1）见解析；
（2）．
【小问1详解】
证明：如下图所示，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
【小问2详解】
解：如下图所示，延长交于点，
，
，
，
，
设，
则，
，
，
解得：．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 如图，二次函数的图象交轴于、两点并经过点，已知点坐标是，B点的坐标是
（1）求二次函数的解析式；
（2）若抛物线对称轴上是否存在一个动点，使点到点、点的距离之和最短，若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）该二次函数的对称轴交轴于点，连接，并延长交抛物线于点，连接，，求的面积．
答案：（1）
（2）存在，
（3）
【小问1详解】
解：将，代入，得：
，解得：，
二次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：，
对称轴为直线，
连接交抛物线对称轴与点，如图1所示．
点，点是抛物线与轴的交点，
点和点关于对称轴对称，
，
最小．
设所在直线解析式为，
将，代入，得：
，解得：，
所在直线解析式为，
当时，，
点坐标为，
在抛物线对称轴上存在一个动点，使点到点、点的距离之和最短．
【小问3详解】
解：由（2）知，函数图象的顶点坐标为，点坐标为，
点，点关于对称轴直线对称且，
点的坐标为，
，
设所在的直线解析式为，
将点，代入，得：
，解得：，
所在的直线解析式为，
联立直线与抛物线的解析式成方程组，得：，
解得：，（舍去），
点的坐标为，
．
24. 问题情境：已知矩形，，，将矩形绕点按逆时针方向旋转（），得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连接．

数学发现：
（1）如图，当时，___________，如图，当时，___________；
初步探究：
（2）如图，当边经过点时，求的长；
（3）如图，当点落在的延长线上时，直接写出四边形的面积．
答案：（1），
（2）
（3）
解：（1）如图，由旋转的性质可得：，，
，
，
是等边三角形，
；
如图，由旋转的性质可得：，，
在中，根据勾股定理可得：
；
故答案为：，；
（2）如图，由旋转的性质可得：，，，
四边形和都是矩形，
，，，
，，
在中，根据勾股定理可得：
，
，
在中，根据勾股定理可得：
，
的长为；
（3）如图，连接，

由旋转的性质可得：，，，
四边形和都是矩形，
，，
点落在的延长线上，
，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形的面积为．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设运动的时间为.
（1）出发后，求的长；
（2）当点在边上运动时，出发几秒钟，是等腰三角形?
（3）当点在边上运动时，直接写出能使成为等腰三角形的的值.
答案：（1）
（2）
（3）或或
【小问1详解】
解：当时，，.
，
，
在中，由勾股定理可得，.
故答案为：.
【小问2详解】
解：由题意可知设出发秒，是等腰三角形，则，，
又，
，
当为等腰三角形时，则有，
，
解得.
故答案为：.
【小问3详解】
解：在中，由勾股定理可求得，
当点在上运动时，，
，
①当时，过作于点，
则，
在中，，可求得.
在中，由勾股定理可得，即，
解得或（舍去）.
②当时，则，解得.
③当时，则，
，
，
，
，即，解得.
故答案为：或 或.
26. 如图，已知抛物线（、是常数）的顶点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，点为抛物线与轴的正半轴的交点，作直线，点是抛物线上的任意一点，其横坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，过点作于点，以、为邻边作矩形．

（1）填空：________，________；
（2）当点在线段上（点不与、重合）时，求的长度与的函数关系式，并直接写出的最大值；
（3）当抛物线被矩形截得的部分图象的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为2时，求点的坐标．
答案：（1）；；
（2），最大值为；
（3）或．
【小问1详解】
解：∵抛物线（b、c是常数）顶点B坐标为，
∴，
∴，，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：令，由得，，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
根据题意，，则，，
∴，
∵，
∴当时，最大，最大值为，
【小问3详解】
解：由题意，，则，
当点P在对称轴的左侧时，点P在直线的下方，则，抛物线被矩形截得的部分图象的
最高点纵坐标为2，最低点纵坐标为，
由题意，，解得（舍去），，
∴；
当点P在对称轴的右侧且在直线上方时，抛物线被矩形截得的部分为点P，不符合题意；
当点P在对称轴的右侧且在直线的下方时，，抛物线被矩形截得的部分图象的最高点纵坐标为，最低点纵坐标为，
由题意，，解得，（舍去），
则，
∴，
综上，满足条件的点P坐标为或．