安徽铜陵市2025-2026学年度第一学期期末质量抽测高一数学试题（试卷+解析）

这是一份安徽铜陵市2025-2026学年度第一学期期末质量抽测高一数学试题（试卷+解析），共24页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（时间：120分钟 总分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的零点所在的区间是（ ）
A B. C. D.
5. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积是（ ）
A. B. C. D.
6. 将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数满足：对任意的，有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 利用函数的单调性计算对数小数点后第一位数字是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“”的否定是“”
B. 已知，则“”是“”的充分不必要条件
C. 已知，则
D. 函数的最小正周期为
10. 已知正数满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 最小值为D. 的最大值为
11. 已知函数，定义域均为R，为奇函数，的图象关于对称，且，则（ ）
A. B.
C. 函数图象关于点对称D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的单调递增区间是__________．
13. 已知函数部分图象如图所示，则该函数解析式为__________．
14. 已知函数，若方程恰有4个不同实数根，且，则取值范围是__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合．
（1）用区间表示集合；
（2）已知，求实数的取值范围．
16. 已知函数是定义在R上偶函数，且．
（1）求实数的值；
（2）判断在区间上的单调性，并用定义证明；
（3）已知，求实数的取值范围．
17. 已知函数．
（1）若，求的值；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）已知函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．
18. 已知函数．
（1）求函数在区间上的值域；
（2）若方程在区间上有实数解，求实数的取值范围；
（3）若存在，使得不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
19. 已知函数的定义域为．对于，若函数在上的值域为，且存在使得，则称是上的阶“界近函数”．
（1）试判断函数是否是上的阶“界近函数”；
（2）若，函数是其定义域上的阶“界近函数”，求的最小值；
（3）已知函数是上的阶“界近函数”，求实数的取值范围．
铜陵市2025—2026学年度第一学期期末质量抽测
高一数学试题
（时间：120分钟 总分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值求解即可.
【详解】易知.
故选：A
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法，可得集合A，根据交集运算的定义，即可得答案.
【详解】由，解得，所以，
又集合，所以.
故选：D
3. 已知集合，下列对应关系不能视作函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的定义，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数.
选项A：，当时，，
当时，，
当时，，满足函数定义，不符合题意；
选项B：，当时，，
当时，，
当时，，满足函数定义，不符合题意；
选项C：，当时，，
当时，，
当时，，满足函数定义，不符合题意；
选项D：，当时，无意义，不满足函数定义，符合题意.
故选：D
4. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断函数的单调性，求，，，，结合零点存在性定理确定零点所在的区间.
【详解】因为函数和函数在上都单调递增，
所以函数为增函数，
又，，，，
由零点存在性定理可得函数的零点所在的区间是.
故选：C.
5. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据弧长、半径和圆心角的关系，可求得扇形半径，代入面积公式，即可得答案.
【详解】设扇形的半径为r，由题意圆心角为，
所以弧长，解得，
则该扇形的面积.
故选：B
6. 将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象平移、伸缩变换的方法，即可得答案.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得，
再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得.
故选：B
7. 已知函数满足：对任意的，有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据单调性的定义，可得在R上单调递增，根据解析式，结合单调性，分析求解，即可得答案.
【详解】因为对任意的，有，
所以在R上单调递增，
因为，
所以，解得，
则实数的取值范围是.
故选：A
8. 利用函数的单调性计算对数小数点后第一位数字是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据指对数互化的方法，可得，根据指数函数的单调性，结合特殊值，分析即可得答案.
【详解】令，得，
由在R上单调递增，则可通过比较与3的大小来确定x的范围，
由，则，所以，
由，则，
又，所以，则，
所以，所以，则小数点后第一位数字是5.
故选：B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“”的否定是“”
B. 已知，则“”是“”的充分不必要条件
C 已知，则
D. 函数的最小正周期为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，可判断A的正误；根据充分、必要条件的定义，可判断B的正误；根据同角三角函数的关系，分子分母同除以，可判断C的正误；根据正切函数的周期性，可判断D的正误.
【详解】选项A：命题“”的否定是“”，故A正确；
选项B：已知，则“”是“”的必要不充分条件，故B错误；
选项C：已知，则，故C正确；
选项D：函数的最小正周期为，故D错误.
故选：AC
10. 已知正数满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本不等式计算可判断A错误，结合基本不等式中“1”的应用可得B正确，将代入并利用二次函数性质即可求得最小值，可得C正确，根据为定值，利用基本不等式计算可知D正确.
【详解】对于A，由可得，所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，因此A错误；
对于B，易知，
当且仅当时，即时，等号成立，所以B正确；
对于C，由可得，所以；
当且仅当时，等号成立，此时的最小值为，即C正确；
对于D，易知，所以；
当且仅当，即时，等号成立，因此D正确.
故选：BCD
11. 已知函数，定义域均为R，为奇函数，的图象关于对称，且，则（ ）
A. B.
C. 函数图象关于点对称D. 当时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据奇函数的定义及条件，可判断A的正误；根据条件，结合函数对称性，整理计算，可得关于对称，代入数据，可判断B的正误；根据条件，赋值代入，可得的对称中心，结合其对称轴，分析可判断C的正误；根据函数的周期性，可得，代入数据，可判断D的正误.
【详解】选项A：因为为奇函数，
所以，则，故A正确；
选项B：由A项得关于对称，即，，
，
因为 的图象关于对称，所以，
又，所以，
所以，即，
所以关于对称，即，
因此，，
所以
，故B正确；
选项C：因为，，
所以，即，
所以关于点对称，又的图象关于，
所以的对称中心为，不是，故C错误；
选项D：因为，所以，
又，所以，
则，所以，
则的周期为4，所以，
又因为，所以，
所以，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的单调递增区间是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据复合函数单调性的求法，结合对数函数及二次函数的单调性，分析求解，即可得答案.
【详解】令，解得或，即的定义域为，
因为为开口向上，对称轴为的抛物线，
所以在上单调递减，在单调递增，
又在上单调递减，
由复合函数单调性“同增异减”原则，
得的单调递增区间是.
故答案为：
13. 已知函数的部分图象如图所示，则该函数解析式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据最大值与最小值，可得A值，根据点的坐标，结合周期公式，可得值，代入点坐标，结合的范围，可得值，即可得答案.
【详解】由图象得的最大值为3，最小值为-3，所以，
，解得，
因为，所以，
又过点，代入可得，
则，解得，
因为，所以，
所以
故答案为：
14. 已知函数，若方程恰有4个不同实数根，且，则取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】令，则方程可化为，解得，分析的单调性，结合反比例函数、对勾函数的性质，作出，和的图象，根据交点个数，可得a，b的值及c，d的关系，代入所求，结合对勾函数的性质，即可得答案.
【详解】令，则方程可化为，解得，
当时，，单调递增，
当时，，
当时，，
当时，，当且仅当，即时取等号，
根据对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增，
且时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且，当时，，
因为恰有4个不同实数根，
所以和与图象共有4个不同的交点，
作出，和的图象，如下图所示，
由图象得，，，则，，
则，即的两根为，
由韦达定理得，则，
所以，
令，根据对勾函数的性质可得在上单调递减，
所以，则的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合．
（1）用区间表示集合；
（2）已知，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据分式不等式的解法，可得答案.
（2）由题意，分别讨论和两种情况，根据集合的包含关系，列出不等式组，分析求解，综合即可得答案.
【小问1详解】
由，得，则，
所以，解得，即集合，
【小问2详解】
因为，所以，
当时，判别式，解得；
当时，可得，
由题意，
当时，，解得，即集合，
由，得，解得；
当时，，解得，即集合，
由，得，此时无解；
综上，实数的取值范围为
16. 已知函数是定义在R上的偶函数，且．
（1）求实数的值；
（2）判断在区间上的单调性，并用定义证明；
（3）已知，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）在区间上的单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数定义，可得b值，根据条件，代入求解，可得a，c的值.
（2）由（1）可得解析式，利用定义，按照取值，作差，整理，定号，得结论的步骤，证明即可.
（3）由（2）得的单调性，结合偶函数的性质，可得，求解即可得答案.
【小问1详解】
因为是定义在R上的偶函数，
所以，即，即得，
结合,解得，则，
因为，
所以，解得.
所以.
【小问2详解】
由（1）得，在区间上的单调递增，证明如下：
在上任取，且，
则
，
因为，所以，
则，即，
所以在区间上的单调递增.
【小问3详解】
由（2）得在上的单调递增，且为偶函数，
因为，
所以，则，整理得，
解得，则实数取值范围为.
17. 已知函数．
（1）若，求的值；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）已知函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据二倍角正弦、余弦公式，结合辅助角公式，化简整理，可得解析式，根据条件，结合诱导公式，化简计算，即可得答案.
（2）由（1）得解析式，根据正弦函数的单调减区间，代入求解，即可得答案.
（3）根据x的范围，可得，根据值域，分析可得的范围，即可得答案.
【小问1详解】
由题意，
若，则，
则.
【小问2详解】
由（1）得，
令，
解得，即的单调递减区间为.
【小问3详解】
因为，所以，
因为的值域为，
所以，解得，则实数的取值范围为.
18. 已知函数．
（1）求函数在区间上的值域；
（2）若方程在区间上有实数解，求实数的取值范围；
（3）若存在，使得不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据对数的运算法则，对进行化简整理，利用换元法，结合二次函数的性质，即可得答案.
（2）令，利用换元法，将所求转化为在上有实数解，根据对勾函数的性质，即可得答案.
（3）分析可得，根据（1）得的最大值，根据二次函数的性质，分别求出对称轴在各个区间内时函数的最值，综合分析，即可得答案.
【小问1详解】
由题意
，
令，由，得，
则为开口向上，对称轴为的抛物线，
所以在上单调递增，
所以当时，，
当时，，
所以函数在区间上的值域为.
【小问2详解】
令，由，得，
方程在区间上有实数解，可化为在上有实数解，
即在上有实数解，
因为，当且仅当，即时取等号，
根据对勾函数的性质可得在单调递减，在上单调递增，
所以，当时，，当时，，
所以，则实数的取值范围为.
【小问3详解】
由（1）得在区间上的值域为，即，
因为存在，使得不等式对任意恒成立，
所以，即，
令，由，得，
则，，为开口向上，对称轴为的抛物线，
当，即时，在上单调递减，
所以，解得，此时；
当，即时，在上单调递增，
所以，解得，此时无解；
当，即时，在单调递减，在上单调递增，
所以，解得，此时；
当，即时，在单调递减，在上单调递增，
所以，解得，此时；
综上，实数的取值范围为
19. 已知函数的定义域为．对于，若函数在上的值域为，且存在使得，则称是上的阶“界近函数”．
（1）试判断函数是否是上的阶“界近函数”；
（2）若，函数是其定义域上的阶“界近函数”，求的最小值；
（3）已知函数是上的阶“界近函数”，求实数的取值范围．
【答案】（1）是 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出函数的值域，再根据题意比较大小，即可判断；
（2）根据题意求出定义域，结合方程的解的转化求出函数的值域，利用函数构造，根据函数单调性即可求出结果；
（3）利用函数单调性分类讨论函数的值域，根据题意，即可求出结果.
【小问1详解】
因为，所以，
因为为偶函数，且在上单调递减，
所以，
所以值域为，
根据题意，，
因为，所以，
则，
又，
所以，
即存在使得，则称是上的阶“界近函数”.
【小问2详解】
由题知，，，解得，
即，
令，
所以函数为，
即，两边平方得，，
整理得，，
所以，可得，
即函数最大值，
又，
当时，，当时，，
所以函数值域为，
则，需满足，
令，
其中分母关于是递增函数，
所以在上单调递减，
所以，
所以的最小值为.
【小问3详解】
当时，
，，
其中，且，
所以，单调递增，
所以，
所以，解得，
所以；
当时，函数，
两边平方得，，
即，
该方程有实数解，则，
可得，
即当时，函数最小值，
若，即时，
函数在上单调递减，，，
所以；
若，即时，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
且，
因为，所以，
所以或，而,
所以恒成立，
所以；
当时，，
其中分母是关于的递增函数，
所以函数在上单调递减，
所以，，
所以成立，所以时成立.
综上，的取值范围为.