安徽省安庆市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（试卷+解析）

这是一份安徽省安庆市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（试卷+解析），共25页。试卷主要包含了 若，则x的值为， 抛物线y2=4x的焦点坐标是等内容，欢迎下载使用。
1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内.写在试题卷、草稿纸上均无效.
2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是
A. B.
C. D.
2. 设正数数列的前项和为，数列的前项积为，且，则（ ）
A. B. C. D.
3. 若，则x的值为（ ）
A. 4B. 6C. 4或6D. 8
4. 抛物线y2=4x的焦点坐标是
A. （0,2）B. （0,1）C. （2,0）D. （1,0）
5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则的形状为（ ）
A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
6. 甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为、，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图所示，为了测量A，B处岛屿距离，小张在D处观测，测得A，B分别在D处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则A，B两处岛屿间的距离为（ ）海里.
A. B. C. D. 10
8. 执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）
A. 4B. 9C. 23D. 64
9. 已知抛物线的焦点恰为双曲线的一个顶点，的另一顶点为，与在第一象限内的交点为，若，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知为虚数单位，复数是纯虚数，则（ ）．
A B. 4C. 3D. 2
11. 已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
12. 下列四个命题中，为真命题的是（ ）
A. 若a＞b，则ac2＞bc2
B. 若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
C. 若a＞|b|，则a2＞b2
D. 若a＞b，则
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画切面圆柱体（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是有一个底角为45°的直角梯形（如图所示），则该椭圆的离心率为_____.
14. 若“”是真命题，则实数的最小值为_____________.
15. 在正方体中，，，P，F分别是线段，的中点，则点P到直线EF的距离是___________.
16. 已知双曲线：的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的渐近线方程为__________．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列的前n项和为，，，其中.
（1）记，求证：是等比数列；
（2）设，数列前n项和为，求证：.
18. 已知数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，为数列的前n项和，求.
19. 求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
20. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，和分别是和的中点，点在直线上，且.
（1）证明：无论取何值，总有；
（2）是否存在点，使得平面与平面所成角为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.
21. 某中学共有名学生，其中高一年级有名学生，为了解学生的睡眠情况，用分层抽样的方法，在三个年级中抽取了名学生，依据每名学生的睡眠时间（单位：小时），绘制出了如图所示的频率分布直方图.
（1）求样本中高一年级学生的人数及图中的值；
（2）估计样本数据中位数（保留两位小数）；
（3）估计全校睡眠时间超过个小时的学生人数.
22. 如图，是底面边长为1的正三棱锥，分别为棱上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)
（1）求证：为正四面体；
（2）若，求二面角的大小；
（3）设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台有相同的棱长和? 若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由.
2023-2024学年安徽省安庆市高二上数学期末考试试题
请考生注意：
1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内.写在试题卷、草稿纸上均无效.
2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，可知函数为奇函数，利用导数分析出函数在上的单调性，并得出，然后分别在和解不等式，由此可得出不等式的解集.
【详解】构造函数，该函数的定义域为，
由于函数为上的奇函数，则，
所以，函数为上的奇函数，且，，.
当时，，
此时，函数单调递增，由，可得，解得；
当时，则函数单调递增，由，可得，解得.
综上所述，使得成立的的取值范围是.
故选：B.
本题考查利用函数的单调性求解函数不等式，根据导数不等式的结构构造合适的函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
2. 设正数数列的前项和为，数列的前项积为，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】当可求得；当时，可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式可推导得到，由求得后，利用可求得结果.
【详解】当时，，解得：；
当时，由得：，即，
，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，解得：，，
经检验：满足，，
故选：B.
3. 若，则x的值为（ ）
A. 4B. 6C. 4或6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据组合数的性质可求解.
【详解】,
或，即或.
故选：C
4. 抛物线y2=4x的焦点坐标是
A. （0,2）B. （0,1）C. （2,0）D. （1,0）
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：的焦点坐标为，故选D.
【考点】抛物线的性质
【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单几何性质是我们要重点掌握的内容，一定要熟记掌握．
5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则的形状为（ ）
A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用正弦定理以及已知条件，求出、、的关系，即可判断三角形的形状．
【详解】解：在中，已知，，，分别为角，，的对边），
由正弦定理可知：，
所以，解得，所以为等边三角形．
故选：．
本题考查三角形的形状的判断，正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题．
6. 甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为、，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解.
【详解】甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为、，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为.
故选：D
7. 如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小张在D处观测，测得A，B分别在D处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则A，B两处岛屿间的距离为（ ）海里.
A. B. C. D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】分别在和中，求得的长度，再在中，利用余弦定理，即可求解.
【详解】如图所示，可得，
所以，
在中，可得，
在直角中，因为，所以，
在中，由余弦定理可得
，
所以
故选：C.
8. 执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）
A. 4B. 9C. 23D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】直接按程序框图运行即可求出结果.
【详解】初始化数值，，
第一次执行循环体，，，1≥4不成立；
第二次执行循环体，，，2≥4不成立；
第三次执行循环体，，，3≥4不成立；
第四次执行循环体，，，4≥4成立；输出．
故选：C．
9. 已知抛物线的焦点恰为双曲线的一个顶点，的另一顶点为，与在第一象限内的交点为，若，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，列出的方程组，解得，再利用斜率公式即可求得结果.
【详解】因为抛物线的焦点，由题可知；
又点在抛物线上，故可得；又，
联立方程组可得，整理得，解得（舍）或，
此时，又，故直线的斜率为.
故选：D.
10. 已知为虚数单位，复数是纯虚数，则（ ）．
A. B. 4C. 3D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】化简复数得，由其为纯虚数求参数a，进而求的模即可.
【详解】由为纯虚数，
∴，解得：，则，
故选：C．
11. 已知函数导函数为，若的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据导函数大于，原函数单调递增；导函数小于，原函数单调递减；即可得出正确答案.
【详解】由导函数得图象可得：时，，所以在单调递减，
排除选项A、B，
当时，先正后负，所以在先增后减，
因选项C是先减后增再减，故排除选项C，
故选：D.
12. 下列四个命题中，为真命题的是（ ）
A. 若a＞b，则ac2＞bc2
B. 若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
C. 若a＞|b|，则a2＞b2
D. 若a＞b，则
【答案】C
【解析】
【分析】利用不等式的性质结合特殊值法依次判断即可．
【详解】当c＝0时，A不成立；
2>1，3>－1，而2－3|b|知a>0，所以a2>b2，C正确．
故选：C．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画切面圆柱体（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是有一个底角为45°的直角梯形（如图所示），则该椭圆的离心率为_____.
【答案】
【解析】
【分析】设圆柱的底面半径为，由题意知，，椭圆的长轴长，短轴长为，可以求出的值，即可得离心率.
【详解】设圆柱的底面半径为，依题意知，最长母线与最短母线所在截面如图所示．
．
从而．
因此在椭圆中长轴长，
短轴长，
．
，
故答案为：．
14. 若“”是真命题，则实数的最小值为_____________.
【答案】1
【解析】
【详解】若“ ”是真命题，则大于或等于函数在的最大值
因为函数在上为增函数，所以，函数在上的最大值为1，
所以， ，即实数 的最小值为1.
所以答案应填:1.
考点：1、命题；2、正切函数的性质.
15. 在正方体中，，，P，F分别是线段，的中点，则点P到直线EF的距离是___________.
【答案】
【解析】
【分析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解点P到直线EF的距离.
【详解】解：如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
因为，所以，，，所以，，
所以点P到直线EF的距离.

故答案为：.
16. 已知双曲线：的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的渐近线方程为__________．
【答案】
【解析】
【详解】由题意得双曲线的右焦点F(c,0)，设一渐近线OM的方程为，则另一渐近线ON的方程为．设，
∵，
∴，
∴，解得．
∴点M的坐标为，
又，
∴，整理得，
∴双曲线渐近线方程为．
答案：．
点睛：
（1）已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程就是双曲线的两条渐近线方程．
（2）求双曲线的渐近线方程的关键是求出的关系，并根据焦点的位置确定出渐近线的形式，并进一步得到其方程．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列的前n项和为，，，其中.
（1）记，求证：是等比数列；
（2）设，数列的前n项和为，求证：.
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）应用的关系，结合构造法可得，根据已知条件及等比数列的定义即可证结论.
（2）由（1）得，再应用错位相减法求，即可证结论.
【小问1详解】
证明：对任意的，，，
时，，解得，
时，因为，，两式相减可得：，即有，
∴，又，则，
因为，，所以，
对任意的，，所以，
因此，是首项和公比均为3的等比数列
小问2详解】
由（1）得：，则，
，，
两式相减得：，
化简可得：，又，
∴.
18. 已知数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，为数列的前n项和，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得数列是以2为公差的等差数列，再由可求出，从而可求出通项公式，
（2）由（1）可得，然后利用分组求和可求出
【小问1详解】
因为数列满足，
所以数列是以2为公差的等差数列，
因为，所以，得，
所以
【小问2详解】
由（1）可得，
所以
19. 求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】根据基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则计算可得；
【详解】解：（1）因为
所以，即
（2）因为
所以，即
20. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，和分别是和的中点，点在直线上，且.
（1）证明：无论取何值，总有；
（2）是否存在点，使得平面与平面所成的角为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，计算得出，即可得出结论；
（2）计算出平面的一个法向量，利用空间向量法可得出关于的方程，即可得出结论.
【详解】（1）因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，，，
所以，，则，
因此，无论取何值，总有；
（2），设平面的法向量为，
则，取，则，，
所以，平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量为，
由题意可得，
整理可得，，此方程无解，
因此，不存在点，使得平面与平面所成的角为.
21. 某中学共有名学生，其中高一年级有名学生，为了解学生的睡眠情况，用分层抽样的方法，在三个年级中抽取了名学生，依据每名学生的睡眠时间（单位：小时），绘制出了如图所示的频率分布直方图.
（1）求样本中高一年级学生的人数及图中的值；
（2）估计样本数据的中位数（保留两位小数）；
（3）估计全校睡眠时间超过个小时的学生人数.
【答案】（1）样本中高一年级学生的人数为，；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用分层抽样可求得样本中高一年级学生的人数，利用频率直方图中所有矩形的面积之和为可求得的值；
（2）利用中位数左边的矩形面积之和为可求得中位数的值；
（3）利用频率分布直方图可计算出全校睡眠时间超过个小时的学生人数.
【小问1详解】
解：样本中高一年级学生的人数为.
，解得.
【小问2详解】
解：设中位数为，前两个矩形的面积之和为，
前三个矩形的面积之和为，所以，
则，得，
故样本数据的中位数约为.
【小问3详解】
解：由图可知，样本数据落在的频率为，
故全校睡眠时间超过个小时的学生人数约为.
22. 如图，是底面边长为1的正三棱锥，分别为棱上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)
（1）求证：为正四面体；
（2）若，求二面角的大小；
（3）设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台有相同的棱长和? 若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）存在，构造棱长均为，底面相邻两边的夹角为的直四棱柱即满足条件.
【解析】
【分析】（1）由棱台、棱锥的棱长和相等可得，再由面面平行有，结合正四面体的结构特征即可证结论；（2）取BC的中点M，连接PM、DM、AM，由线面垂直的判定可证平面PAM，即是二面角的平面角，进而求其大小；（3）设直四棱柱的棱长均为，底面相邻两边的夹角为，结合已知条件用表示出即可确定直四棱柱.
【小问1详解】
由棱台与棱锥的棱长和相等，
∴，
故.
又∵截面底面ABC，则棱锥为正三棱锥，即，，
∴，即，
从而，则，
故为正四面体.
【小问2详解】
取BC的中点M，连接PM、DM、AM，
∵，则，，
，平面PAM，
∴平面PAM，
而平面PAM，故，
从而是二面角平面角.
由（1）知，三棱锥的各棱长均为1，所以，
由D是PA的中点，得，
在Rt△ADM中，，
故二面角的大小为.
【小问3详解】
存在满足条件的直四棱柱.
棱台的棱长和为定值6，体积为V.
设直四棱柱的棱长均为，底面相邻两边的夹角为，则该四棱柱的棱长和为6，体积为.
设的中心为，连接，则平面，即为三棱锥的高，
，
∴正四面体的体积是，
则，即，
从而，
故构造棱长均为，底面相邻两边的夹角为的直四棱柱，即满足条件.